গাণিতিক বিজ্ঞানে প্রায়শই অনেক অসুবিধা এবং প্রশ্ন থাকে এবং অনেকের উত্তর সবসময় পরিষ্কার হয় না। সেটের কার্ডিনালিটি হিসাবে কোনও ব্যতিক্রম ছিল না। আসলে, এটি বস্তুর সংখ্যার সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি ছাড়া আর কিছুই নয়। একটি সাধারণ অর্থে, একটি সেট একটি স্বতঃসিদ্ধ; এর কোন সংজ্ঞা নেই। এটি যেকোন বস্তুর উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়, বা বরং তাদের সেট, যা খালি, সসীম বা অসীম হতে পারে। এছাড়াও, এতে পূর্ণসংখ্যা বা প্রাকৃতিক সংখ্যা, ম্যাট্রিক্স, সিকোয়েন্স, সেগমেন্ট এবং লাইন রয়েছে।
বিদ্যমান ভেরিয়েবল সম্পর্কে
কোন অন্তর্নিহিত মান ছাড়া একটি শূন্য বা খালি সেট একটি মূল উপাদান হিসাবে বিবেচিত হয় কারণ এটি একটি উপসেট। একটি অ-খালি সেট S এর সমস্ত উপসেটের সংগ্রহ হল সেটের একটি সেট। সুতরাং, একটি প্রদত্ত সেটের শক্তি সেট অনেক, অনুমেয়, কিন্তু একক বলে মনে করা হয়। এই সেটটিকে S-এর শক্তির সেট বলা হয় এবং P(S) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদি S-এ N উপাদান থাকে, তাহলে P(S) 2^n উপসেট ধারণ করে, যেহেতু P(S) এর একটি উপসেট হয় ∅ অথবা একটি উপসেট যা S, r=1, 2, 3, … থেকে অসীম সবকিছু নিয়ে গঠিতসেট M কে শক্তির পরিমাণ বলা হয় এবং প্রতীকীভাবে P (M) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
সেট তত্ত্বের উপাদান
এই জ্ঞানের ক্ষেত্রটি জর্জ ক্যান্টর (1845-1918) দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। বর্তমানে এটি গণিতের প্রায় সব শাখায় ব্যবহৃত হয় এবং এটির মৌলিক অংশ হিসেবে কাজ করে। সেট তত্ত্বে, উপাদানগুলি একটি তালিকার আকারে উপস্থাপন করা হয় এবং প্রকারগুলি (খালি সেট, সিঙ্গলটন, সসীম এবং অসীম সেট, সমান এবং সমতুল্য, সর্বজনীন), মিলন, ছেদ, পার্থক্য এবং সংখ্যার সংযোজন দ্বারা দেওয়া হয়। দৈনন্দিন জীবনে, আমরা প্রায়ই জিনিসের সংগ্রহের কথা বলি যেমন একগুচ্ছ চাবি, পাখির ঝাঁক, তাসের প্যাকেট ইত্যাদি। গণিত গ্রেড 5 এবং তার পরে, প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।
নিম্নলিখিত সেট বিবেচনা করা যেতে পারে:
- প্রাকৃতিক সংখ্যা;
- বর্ণমালার অক্ষর;
- প্রাথমিক মতভেদ;
- বিভিন্ন বাহু সহ ত্রিভুজ।
এটা দেখা যায় যে এই নির্দিষ্ট উদাহরণগুলি বস্তুর সু-সংজ্ঞায়িত সেট। আরও কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন:
- বিশ্বের সবচেয়ে বিখ্যাত পাঁচজন বিজ্ঞানী;
- সমাজের সাত সুন্দরী মেয়ে;
- তিনজন সেরা সার্জন।
এই কার্ডিনালিটি উদাহরণগুলি বস্তুর সু-সংজ্ঞায়িত সংগ্রহ নয়, কারণ "সবচেয়ে বিখ্যাত", "সবচেয়ে সুন্দর", "সেরা" এর মানদণ্ড ব্যক্তিভেদে পরিবর্তিত হয়৷
সেট
এই মানটি বিভিন্ন বস্তুর একটি সু-সংজ্ঞায়িত সংখ্যা।ধরে নিচ্ছি:
- শব্দসেট একটি সমার্থক, সমষ্টিগত, শ্রেণী এবং এতে উপাদান রয়েছে;
- বস্তু, সদস্য সমান পদ;
- সেটগুলি সাধারণত বড় অক্ষর A, B, C দ্বারা চিহ্নিত করা হয়;
- সেট উপাদানগুলি ছোট অক্ষর a, b, c দ্বারা উপস্থাপিত হয়।
যদি "a" সেট A-এর একটি উপাদান হয়, তাহলে বলা হয় যে "a" A এর অন্তর্গত। গ্রীক অক্ষর "∈" (epsilon) এর সাথে "অন্তর্ভুক্ত" বাক্যাংশটি বোঝাই। এইভাবে, দেখা যাচ্ছে যে একটি ∈ A. যদি 'b' একটি উপাদান হয় যা A এর অন্তর্গত নয়, তবে এটিকে b ∉ A হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। গ্রেড 5 গণিতে ব্যবহৃত কিছু গুরুত্বপূর্ণ সেট নিম্নলিখিত তিনটি পদ্ধতি ব্যবহার করে উপস্থাপন করা হয়:
- আবেদন;
- রেজিস্ট্রি বা সারণী;
- একটি গঠন তৈরি করার নিয়ম।
ঘনিষ্ঠ পরীক্ষায়, আবেদন ফর্মটি নিম্নলিখিতগুলির উপর ভিত্তি করে। এই ক্ষেত্রে, সেটের উপাদানগুলির একটি স্পষ্ট বিবরণ দেওয়া হয়। তারা সব কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী মধ্যে আবদ্ধ হয়. যেমন:
- 7-এর কম বিজোড় সংখ্যার সেট - {7}-এর চেয়ে কম হিসাবে লেখা;
- 30 এর বেশি এবং 55 এর কম সংখ্যার একটি সেট;
- একটি ক্লাসে ছাত্রের সংখ্যা যাদের ওজন শিক্ষকের চেয়ে বেশি।
রেজিস্ট্রি (টেবিল) ফর্মে, একটি সেটের উপাদানগুলি এক জোড়া বন্ধনীর মধ্যে তালিকাভুক্ত করা হয় {} এবং কমা দ্বারা পৃথক করা হয়। যেমন:
- N প্রথম পাঁচটি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বোঝানো যাক। অতএব, N=→ রেজিস্টার ফর্ম
- ইংরেজি বর্ণমালার সমস্ত স্বরবর্ণের সেট। তাই V={a, e, i, o, u, y} → রেজিস্টার ফর্ম
- সমস্ত বিজোড় সংখ্যার সেট 9 এর কম। তাই, X={1, 3, 5, 7} → ফর্মরেজিস্ট্রি
- "গণিত" শব্দের সমস্ত অক্ষরের সেট। অতএব, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → রেজিস্ট্রি ফর্ম
- W হল বছরের শেষ চার মাসের সেট। অতএব, W={সেপ্টেম্বর, অক্টোবর, নভেম্বর, ডিসেম্বর} → রেজিস্ট্রি।
মনে রাখবেন যে উপাদানগুলি যে ক্রমে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে তাতে কিছু যায় আসে না, তবে তাদের পুনরাবৃত্তি করা উচিত নয়। নির্মাণের একটি প্রতিষ্ঠিত ফর্ম, একটি প্রদত্ত ক্ষেত্রে, একটি নিয়ম, সূত্র বা অপারেটর এক জোড়া বন্ধনীতে লেখা হয় যাতে সেটটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয়। সেট বিল্ডার ফর্মে, প্রশ্নে থাকা মানের সদস্য হওয়ার জন্য সমস্ত উপাদানের একই সম্পত্তি থাকতে হবে।
এই সেট উপস্থাপনার ফর্মে, সেটের একটি উপাদানকে "x" অক্ষর দিয়ে বর্ণনা করা হয় বা কোলন (":" বা "|" ব্যবহার করা হয়) দ্বারা অনুসরণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, ধরুন P হল 12-এর থেকে বেশি গণনাযোগ্য সংখ্যার সেট। সেট-বিল্ডার ফর্মে P-কে লেখা হয় - {গণনাযোগ্য সংখ্যা এবং 12-এর বেশি}। এটি একটি নির্দিষ্ট উপায়ে পড়বে। অর্থাৎ, "P হল x উপাদানের একটি সেট যেমন x গণনাযোগ্য এবং 12 এর চেয়ে বড়।"
তিনটি সেট উপস্থাপনা পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা উদাহরণ: -2 এবং 3-এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা। নীচে বিভিন্ন ধরণের সেটের উদাহরণ রয়েছে:
- একটি খালি বা শূন্য সেট যাতে কোনো উপাদান থাকে না এবং ∅ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং phi হিসাবে পড়া হয়। তালিকা আকারে, ∅ লেখা হয় {}। সসীম সেটটি খালি, যেহেতু উপাদানের সংখ্যা 0। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার মানের সেটটি 0-এর কম।
- অবশ্যই ৬৩২২৩১০ হওয়া উচিত নয়। তাই, এটিখালি সেট।
- একটি চলক সমন্বিত একটি সেটকে সিঙ্গলটন সেট বলা হয়। সরলও নয় যৌগিকও নয়৷
সসীম সেট
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক উপাদান সমন্বিত একটি সেটকে সসীম বা অসীম সেট বলে। খালি প্রথম বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, রংধনুর সমস্ত রঙের একটি সেট৷
ইনফিনিটি একটি সেট। এর উপাদানগুলি গণনা করা যায় না। অর্থাৎ অনুরূপ চলক ধারণ করাকে বলা হয় অসীম সেট। উদাহরণ:
- সমতলের সমস্ত পয়েন্টের সেটের শক্তি;
- সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেট।
কিন্তু আপনার বোঝা উচিত যে একটি সেটের মিলনের সমস্ত কার্ডিনালিটিগুলি একটি তালিকা আকারে প্রকাশ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব সংখ্যা, যেহেতু তাদের উপাদানগুলি কোনো নির্দিষ্ট প্যাটার্নের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।
একটি সেটের মূল সংখ্যা হল একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ A-তে বিভিন্ন উপাদানের সংখ্যা। এটি n (A) নির্দেশিত হয়।
উদাহরণস্বরূপ:
- A {x: x ∈ N, x <5}। A={1, 2, 3, 4}। অতএব, n (A)=4.
- B=ALGEBRA শব্দের অক্ষরের সেট।
সেট তুলনার জন্য সমতুল্য সেট
একটি সেট A এবং B এর দুটি কার্ডিনালিটি যদি তাদের মূল সংখ্যা একই হয়। সমতুল্য সেটের প্রতীক হল "↔"। যেমন: A ↔ B.
সমান সেট: A এবং B সেটের দুটি মূলত্ব যদি একই উপাদান থাকে। A থেকে প্রতিটি সহগ B থেকে একটি পরিবর্তনশীল, এবং B এর প্রতিটি A এর নির্দিষ্ট মান।অতএব, A=B. বিভিন্ন ধরনের কার্ডিনালিটি ইউনিয়ন এবং তাদের সংজ্ঞা প্রদত্ত উদাহরণ ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।
সসীমতা এবং অসীমের সারাংশ
একটি সসীম সেট এবং একটি অসীম সেটের মূলত্বের মধ্যে পার্থক্য কী?
প্রথম মানটির নিম্নোক্ত নাম আছে যদি এটি হয় খালি হয় বা উপাদানের একটি সীমিত সংখ্যক থাকে। একটি সসীম সেটে, একটি পরিবর্তনশীল নির্দিষ্ট করা যেতে পারে যদি এটির একটি সীমিত গণনা থাকে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যা 1, 2, 3 ব্যবহার করে। এবং তালিকা প্রক্রিয়াটি কিছু N এ শেষ হয়। সসীম সেট S-এ গণনা করা বিভিন্ন উপাদানের সংখ্যা n (S) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একে অর্ডার বা কার্ডিনালও বলা হয়। প্রমিত নীতি অনুসারে প্রতীকীভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। সুতরাং, যদি S সেটটি রাশিয়ান বর্ণমালা হয়, তবে এতে 33টি উপাদান রয়েছে। এটি মনে রাখাও গুরুত্বপূর্ণ যে একটি উপাদান একটি সেটে একবারের বেশি ঘটে না৷
সেটের মধ্যে অসীম
একটি সেটকে অসীম বলা হয় যদি উপাদানগুলি গণনা করা যায় না। যদি কোনো n-এর জন্য এটির একটি সীমাহীন (অর্থাৎ, অগণিত) প্রাকৃতিক সংখ্যা 1, 2, 3, 4 থাকে। যে সেট সসীম নয় তাকে অসীম বলে। আমরা এখন বিবেচনাধীন সংখ্যাসূচক মানের উদাহরণ নিয়ে আলোচনা করতে পারি। শেষ মান বিকল্প:
- ধরুন Q={প্রাকৃতিক সংখ্যা 25 এর কম}। তারপর Q হল একটি সসীম সেট এবং n (P)=24.
- ধরুন R={5 এবং 45 এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যা। তাহলে R হল একটি সসীম সেট এবং n (R)=38.
- চলুন S={সংখ্যা মডিউল 9}। তারপর S={-9, 9} একটি সসীম সেট এবং n (S)=2.
- সমস্ত লোকের সেট।
- সব পাখির সংখ্যা।
অসীম উদাহরণ:
- সমতলে বিদ্যমান পয়েন্টের সংখ্যা;
- রেখা অংশের সমস্ত বিন্দুর সংখ্যা;
- 3 দ্বারা বিভাজ্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম;
- সমস্ত সম্পূর্ণ এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা।
এইভাবে, উপরের যুক্তি থেকে, এটি স্পষ্ট যে কীভাবে সসীম এবং অসীম সেটের মধ্যে পার্থক্য করা যায়।
ধারাবাহিক সেটের শক্তি
যদি আমরা সেট এবং অন্যান্য বিদ্যমান মান তুলনা করি, তাহলে সেটের সাথে একটি সংযোজন সংযুক্ত করা হয়। যদি ξ সার্বজনীন হয় এবং A হল ξ-এর একটি উপসেট, তাহলে A-এর পরিপূরক হল ξ-এর সমস্ত উপাদানের সংখ্যা যা A-এর উপাদান নয়। প্রতীকীভাবে, ξ-এর সাপেক্ষে A-এর পরিপূরক হল A'। উদাহরণস্বরূপ, 2, 4, 5, 6 হল ξ এর একমাত্র উপাদান যা A এর অন্তর্গত নয়। অতএব, A'={2, 4, 5, 6}
কার্ডিনালিটি কন্টিনিউম সহ একটি সেটে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
- সর্বজনীন পরিমাণের পরিপূরক হল প্রশ্নে থাকা খালি মান;
- এই নাল সেট ভেরিয়েবলটি সর্বজনীন;
- পরিমাণ এবং এর পরিপূরক বিচ্ছিন্ন।
উদাহরণস্বরূপ:
- প্রাকৃতিক সংখ্যার সংখ্যাকে একটি সার্বজনীন সেট এবং A-কে সমান হতে দিন। তারপর A '{x: x একই অঙ্কের একটি বিজোড় সেট}।
- Let ξ=বর্ণমালার অক্ষরগুলির সেট। A=ব্যঞ্জনবর্ণের সেট। তারপর A'=স্বরবর্ণের সংখ্যা।
- সর্বজনীন সেটের পরিপূরক হল খালি পরিমাণ। ξ দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। তারপর ξ '=সেই উপাদানগুলির সেট যা ξ-এ অন্তর্ভুক্ত নয়। খালি সেট φ লেখা এবং বোঝানো হয়। অতএব ξ=φ. সুতরাং, সার্বজনীন সেটের পরিপূরক খালি।
গণিতে, "continuum" কখনও কখনও একটি বাস্তব রেখার প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়। এবং আরো সাধারণভাবে, অনুরূপ বস্তু বর্ণনা করতে:
- continuum (সেট তত্ত্বে) - বাস্তব রেখা বা সংশ্লিষ্ট কার্ডিনাল নম্বর;
- রৈখিক - যেকোন অর্ডার করা সেট যা একটি বাস্তব লাইনের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য শেয়ার করে;
- continuum (টপোলজিতে) - খালি কমপ্যাক্ট সংযুক্ত মেট্রিক স্পেস (কখনও কখনও হাউসডর্ফ);
- অনুমান যে কোন অসীম সেট পূর্ণসংখ্যার চেয়ে বড় কিন্তু বাস্তব সংখ্যার চেয়ে ছোট নয়;
- continuum এর শক্তি হল একটি কার্ডিনাল সংখ্যা যা প্রকৃত সংখ্যার সেটের আকারকে প্রতিনিধিত্ব করে।
মূলত, একটি ধারাবাহিকতা (পরিমাপ), তত্ত্ব বা মডেল যা কোনো আকস্মিক পরিবর্তন ছাড়াই এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থায় ধীরে ধীরে পরিবর্তনের ব্যাখ্যা দেয়।
মিলন এবং সংযোগের সমস্যা
এটা জানা যায় যে দুই বা ততোধিক সেটের ছেদ হল সেই সংখ্যা যেখানে এই মানগুলির মধ্যে সাধারণ উপাদান রয়েছে। সেটের ওয়ার্ড টাস্কগুলো কিভাবে সেটের ইউনিয়ন এবং ইন্টারসেকশন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে হয় সে সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণা পেতে সমাধান করা হয়। উপর শব্দ প্রধান সমস্যা সমাধানসেট দেখতে এইরকম:
A এবং B দুটি সসীম সেট হোক। তারা এমন যে n (A)=20, n (B)=28 এবং n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) খুঁজুন।
ভেন ডায়াগ্রাম ব্যবহার করে সেটে সম্পর্ক:
- দুটি সেটের মিলন একটি ছায়াযুক্ত এলাকা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যা A ∪ B প্রতিনিধিত্ব করে। A ∪ B যখন A এবং B বিচ্ছিন্ন সেট হয়।
- দুটি সেটের ছেদকে ভেন ডায়াগ্রাম দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। ছায়াযুক্ত এলাকা A ∩ B.
- দুটি সেটের মধ্যে পার্থক্য ভেন ডায়াগ্রাম দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। A - B.
- ভেন ডায়াগ্রাম ব্যবহার করে তিনটি সেটের মধ্যে সম্পর্ক। যদি ξ একটি সার্বজনীন পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে, তাহলে A, B, C তিনটি উপসেট। এখানে তিনটি সেটই ওভারল্যাপ করছে।
প্রতিনিধিত্ব করে
প্রতিনিধিত্বকারী একটি ছায়াযুক্ত এলাকা সহ
সেট তথ্যের সংক্ষিপ্তকরণ
একটি সেটের মূলত্বকে সেটের পৃথক উপাদানের মোট সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এবং শেষ নির্দিষ্ট মানটি সমস্ত উপসেটের সংখ্যা হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে। এই ধরনের সমস্যা অধ্যয়ন করার সময়, পদ্ধতি, পদ্ধতি এবং সমাধান প্রয়োজন। সুতরাং, একটি সেটের মূলত্বের জন্য, নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি এইভাবে পরিবেশন করতে পারে:
আসুন A={0, 1, 2, 3}| |=4, কোথায় | ক | সেট A এর মূলত্বের প্রতিনিধিত্ব করে।
এখন আপনি আপনার পাওয়ার প্যাক খুঁজে পেতে পারেন। এটাও বেশ সহজ। আগেই বলা হয়েছে, পাওয়ার সেট একটি প্রদত্ত সংখ্যার সমস্ত উপসেট থেকে সেট করা হয়। সুতরাং একজনকে মূলত A এর সমস্ত ভেরিয়েবল, উপাদান এবং অন্যান্য মানগুলি সংজ্ঞায়িত করা উচিত,যেগুলি হল {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}।
এখন পাওয়ার ফিগার আউট করুন P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} যার 16টি উপাদান রয়েছে। সুতরাং, সেটের মূলত্ব A=16। স্পষ্টতই, এই সমস্যা সমাধানের জন্য এটি একটি ক্লান্তিকর এবং কষ্টকর পদ্ধতি। যাইহোক, একটি সহজ সূত্র আছে যার মাধ্যমে, আপনি প্রদত্ত সংখ্যার পাওয়ার সেটের উপাদানগুলির সংখ্যা সরাসরি জানতে পারবেন। | পি |=2 ^ N, যেখানে N হল কিছু A-তে উপাদানের সংখ্যা। এই সূত্রটি সরল সংযোজক ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে। সুতরাং প্রশ্ন হল 2^11 যেহেতু সেট A এ উপাদানের সংখ্যা 11।
সুতরাং, একটি সেট হল যে কোনো সংখ্যাগতভাবে প্রকাশ করা পরিমাণ, যা যেকোনো সম্ভাব্য বস্তু হতে পারে। যেমন, গাড়ি, মানুষ, সংখ্যা। গাণিতিক অর্থে, এই ধারণাটি আরও বিস্তৃত এবং আরও সাধারণীকৃত। যদি প্রাথমিক পর্যায়ে তাদের সমাধানের জন্য সংখ্যা এবং বিকল্পগুলি সাজানো হয়, তবে মধ্যম এবং উচ্চতর পর্যায়ে শর্ত এবং কাজগুলি জটিল। প্রকৃতপক্ষে, একটি সেটের মিলনের মূলত্ব নির্ধারণ করা হয় যে কোনো গোষ্ঠীর সাথে বস্তুর অন্তর্গত। অর্থাৎ, একটি উপাদান একটি শ্রেণীর অন্তর্গত, কিন্তু এক বা একাধিক ভেরিয়েবল রয়েছে৷
