গণিতে সমীকরণ সমাধানের একটি বিশেষ স্থান রয়েছে। এই প্রক্রিয়াটি তত্ত্বের অধ্যয়নের অনেক ঘন্টার আগে হয়, যার সময় শিক্ষার্থী শিখে কিভাবে সমীকরণগুলি সমাধান করতে হয়, তাদের ফর্ম নির্ধারণ করতে হয় এবং দক্ষতাকে সম্পূর্ণ স্বয়ংক্রিয়তায় নিয়ে আসে। যাইহোক, শিকড়ের অনুসন্ধান সর্বদা অর্থবহ হয় না, যেহেতু তারা কেবল বিদ্যমান নাও থাকতে পারে। শিকড় খুঁজে বের করার জন্য বিশেষ পদ্ধতি আছে। এই নিবন্ধে, আমরা মূল ফাংশন, তাদের ক্ষেত্রগুলি এবং সেইসাথে যেখানে তাদের শিকড় অনুপস্থিত সেই ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করব৷
কোন সমীকরণের কোন মূল নেই?
একটি সমীকরণের কোন মূল নেই যদি এমন কোন বাস্তব আর্গুমেন্ট x না থাকে যার জন্য সমীকরণটি একইভাবে সত্য। একজন অ-বিশেষজ্ঞের জন্য, বেশিরভাগ গাণিতিক উপপাদ্য এবং সূত্রের মতো এই সূত্রটি খুব অস্পষ্ট এবং বিমূর্ত দেখায়, তবে এটি তত্ত্বগত। অনুশীলনে, সবকিছু অত্যন্ত সহজ হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ: সমীকরণ 0x=-53 এর কোনো সমাধান নেই, যেহেতু x এমন কোনো সংখ্যা নেই, যার গুণফল শূন্য দিয়ে শূন্য ছাড়া অন্য কিছু দেবে।
এখন আমরা সবচেয়ে মৌলিক ধরনের সমীকরণ দেখব।
1. রৈখিক সমীকরণ
একটি সমীকরণকে রৈখিক বলা হয় যদি এর ডান এবং বাম অংশগুলিকে রৈখিক ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা হয়: ax + b=cx + d বা একটি সাধারণ আকারে kx + b=0। যেখানে a, b, c, d পরিচিত সংখ্যা, এবং x একটি অজানা পরিমাণ। কোন সমীকরণের কোন শিকড় নেই? রৈখিক সমীকরণের উদাহরণগুলি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
মূলত, রৈখিক সমীকরণগুলি সংখ্যার অংশটিকে এক অংশে এবং x এর বিষয়বস্তুকে অন্য অংশে সরানোর মাধ্যমে সমাধান করা হয়। এটি mx \u003d n ফর্মের একটি সমীকরণ বের করে, যেখানে m এবং n সংখ্যা, এবং x একটি অজানা। x বের করার জন্য, উভয় অংশকে m দ্বারা ভাগ করাই যথেষ্ট। তারপর x=n/m. মূলত, রৈখিক সমীকরণের শুধুমাত্র একটি মূল আছে, কিন্তু এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যখন অসীমভাবে অনেকগুলি মূল থাকে বা একেবারেই নেই। m=0 এবং n=0 সহ, সমীকরণটি 0x=0 রূপ নেয়। একেবারে যেকোন সংখ্যাই এই ধরনের সমীকরণের সমাধান হবে।
কিন্তু কোন সমীকরণের কোন শিকড় নেই?
যখন m=0 এবং n=0, তখন প্রকৃত সংখ্যার সেট থেকে সমীকরণটির কোনো মূল নেই। 0x=-1; 0x=200 - এই সমীকরণের কোন মূল নেই।
2. দ্বিঘাত সমীকরণ
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্ম ax2 + bx + c=0 এর জন্য a=0 এর একটি সমীকরণ। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সবচেয়ে সাধারণ উপায় হল এটি সমাধান করা বৈষম্যকারীর মাধ্যমে। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য খুঁজে বের করার সূত্র: D=b2 - 4ac। তারপরে দুটি মূল আছে x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
যখন D > 0 সমীকরণটির দুটি মূল থাকে, যখন D=0 - একটি মূল। কিন্তু কোন দ্বিঘাত সমীকরণের কোন শিকড় নেই?একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সংখ্যা পর্যবেক্ষণ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি ফাংশনের গ্রাফে, যা একটি প্যারাবোলা। একটি > 0 এ শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, একটি < 0 এ শাখাগুলি নীচে নামানো হয়। যদি বৈষম্যকারী ঋণাত্মক হয়, তাহলে এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত সংখ্যার সেটে কোনো মূল নেই।
আপনি বৈষম্যকারীর গণনা না করেও দৃশ্যত শিকড়ের সংখ্যা নির্ধারণ করতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনাকে প্যারাবোলার শীর্ষটি খুঁজে বের করতে হবে এবং শাখাগুলি কোন দিকে পরিচালিত হবে তা নির্ধারণ করতে হবে। আপনি সূত্র ব্যবহার করে একটি শীর্ষবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে পারেন: x0 =-b / 2a। এই ক্ষেত্রে, মূল সমীকরণে x0 মান প্রতিস্থাপন করে শীর্ষবিন্দুর y-স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়।
চতুর্ভুজ সমীকরণ x2 – 8x + 72=0 এর কোনো মূল নেই কারণ এটির একটি ঋণাত্মক বৈষম্য D=(–8)2 - 4172=-224। এর মানে হল প্যারাবোলা x-অক্ষকে স্পর্শ করে না এবং ফাংশনটি কখনই 0 মান নেয় না, তাই সমীকরণটির কোনো প্রকৃত মূল নেই।
৩. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তে বিবেচনা করা হয়, তবে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমেও উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই নিবন্ধে, আমরা দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং তাদের সমীকরণগুলি দেখব: sinx এবং cosx। যেহেতু এই ফাংশনগুলি ব্যাসার্ধ 1, |sinx| সহ একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত গঠন করে এবং |cosx| 1 এর বেশি হতে পারে না। তাহলে কোন sinx সমীকরণের কোন মূল নেই? ছবিতে উপস্থাপিত sinx ফাংশনের গ্রাফটি বিবেচনা করুননীচে।
আমরা দেখি যে ফাংশনটি প্রতিসম এবং এর পুনরাবৃত্তির সময়কাল 2pi। এর উপর ভিত্তি করে, আমরা বলতে পারি যে এই ফাংশনের সর্বাধিক মান 1 এবং সর্বনিম্ন -1 হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এক্সপ্রেশন cosx=5 এর মূল থাকবে না, যেহেতু এর মডিউল একের চেয়ে বড়।
এটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ। আসলে, তাদের সমাধান অনেক পৃষ্ঠা নিতে পারে, যার শেষে আপনি বুঝতে পারেন যে আপনি ভুল সূত্র ব্যবহার করেছেন এবং আপনাকে আবার শুরু করতে হবে। কখনও কখনও, এমনকি শিকড়গুলির সঠিক অনুসন্ধানের সাথেও, আপনি ODZ-এর উপর বিধিনিষেধগুলি বিবেচনা করতে ভুলে যেতে পারেন, যার কারণে উত্তরটিতে একটি অতিরিক্ত মূল বা ব্যবধান উপস্থিত হয় এবং পুরো উত্তরটি একটি ভুল হয়ে যায়। অতএব, কঠোরভাবে সমস্ত বিধিনিষেধ মেনে চলুন, কারণ সমস্ত শিকড় কাজের সুযোগের সাথে খাপ খায় না।
৪. সমীকরণের সিস্টেম
একটি সমীকরণ পদ্ধতি হল কোঁকড়া বা বর্গাকার বন্ধনীর সাথে একত্রিত সমীকরণের একটি সেট। কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী সমস্ত সমীকরণের যৌথ সম্পাদনকে নির্দেশ করে। অর্থাৎ, যদি অন্তত একটি সমীকরণের কোনো শিকড় না থাকে বা অন্যটির বিরোধিতা করে, পুরো সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই। বর্গাকার বন্ধনী "বা" শব্দটিকে নির্দেশ করে। এর মানে হল যে যদি সিস্টেমের অন্তত একটি সমীকরণের একটি সমাধান থাকে, তাহলে পুরো সিস্টেমের একটি সমাধান আছে।
বর্গাকার বন্ধনী সহ সিস্টেমের উত্তর হল পৃথক সমীকরণের সমস্ত মূলের সামগ্রিকতা। এবং কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী সঙ্গে সিস্টেম শুধুমাত্র সাধারণ শিকড় আছে। সমীকরণের সিস্টেমগুলি একেবারে বিভিন্ন ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করতে পারে, তাই এই জটিলতা নয়আপনাকে অবিলম্বে বলতে দেয় কোন সমীকরণের কোন মূল নেই।
সাধারণকরণ এবং সমীকরণের মূল খোঁজার জন্য টিপস
সমস্যার বই এবং পাঠ্যপুস্তকে বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ রয়েছে: যেগুলির শিকড় রয়েছে এবং যেগুলি নেই। প্রথমত, আপনি যদি শিকড় খুঁজে না পান তবে মনে করবেন না যে তারা একেবারেই বিদ্যমান নেই। আপনি হয়তো কোথাও ভুল করেছেন, তাহলে আপনার সমাধানটি দুবার পরীক্ষা করে দেখুন।
আমরা সবচেয়ে মৌলিক সমীকরণ এবং তাদের প্রকারগুলি কভার করেছি৷ এখন আপনি বলতে পারেন কোন সমীকরণের কোন শিকড় নেই। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি করা মোটেও কঠিন নয়। সমীকরণ সমাধানে সফলতা পেতে হলে শুধু মনোযোগ এবং একাগ্রতা প্রয়োজন। আরও অনুশীলন করুন, এটি আপনাকে আরও ভাল এবং দ্রুত উপাদান নেভিগেট করতে সহায়তা করবে৷
সুতরাং, সমীকরণটির কোনো মূল নেই যদি:
- রৈখিক সমীকরণে mx=n মান m=0 এবং n=0;
- একটি দ্বিঘাত সমীকরণে যদি বৈষম্যকারী শূন্যের কম হয়;
- ফর্মের একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে cosx=m / sinx=n, যদি |m| > 0, |n| > 0;
- কোঁকড়া বন্ধনী সহ সমীকরণের একটি সিস্টেমে যদি কমপক্ষে একটি সমীকরণের কোনও শিকড় না থাকে এবং যদি সমস্ত সমীকরণের কোনও মূল না থাকে তবে বর্গাকার বন্ধনী সহ।
