শঙ্কুর অংশ কী? একটি শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

মহাকাশে জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান করার সময় যে পরিসংখ্যানগুলি ঘটে তার মধ্যে একটি হল একটি শঙ্কু। এটি, পলিহেড্রার বিপরীতে, ঘূর্ণনের পরিসংখ্যানের শ্রেণীর অন্তর্গত। জ্যামিতিতে এর দ্বারা কী বোঝানো হয়েছে তা নিবন্ধে বিবেচনা করা যাক এবং শঙ্কুর বিভিন্ন অংশের বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করি৷

জ্যামিতিতে শঙ্কু

ধরুন প্লেনে কিছু বক্ররেখা আছে। এটি একটি প্যারাবোলা, একটি বৃত্ত, একটি উপবৃত্ত, এবং তাই হতে পারে। নির্দিষ্ট সমতলের অন্তর্গত নয় এমন একটি বিন্দু নিন এবং বক্ররেখার সমস্ত বিন্দুকে এর সাথে সংযুক্ত করুন। ফলস্বরূপ পৃষ্ঠটিকে একটি শঙ্কু বা কেবল একটি শঙ্কু বলা হয়৷

যদি মূল বক্ররেখা বন্ধ থাকে, তাহলে শঙ্কু পৃষ্ঠটি পদার্থ দিয়ে পূর্ণ হতে পারে। এইভাবে প্রাপ্ত চিত্রটি একটি ত্রিমাত্রিক শরীর। একে শঙ্কুও বলা হয়। কয়েকটি কাগজের শঙ্কু নীচে দেখানো হয়েছে৷

শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠটি দৈনন্দিন জীবনে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি আইসক্রিম শঙ্কু বা একটি ডোরাকাটা ট্র্যাফিক শঙ্কু এই আকৃতি রয়েছে, যা চালকদের দৃষ্টি আকর্ষণ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে এবংপথচারীরা।

শঙ্কুর প্রকার

আপনি যেমন অনুমান করতে পারেন, বিবেচনাধীন পরিসংখ্যানগুলি যে ধরনের বক্ররেখার উপর তৈরি হয়েছে তার দ্বারা একে অপরের থেকে আলাদা। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তাকার শঙ্কু বা একটি উপবৃত্তাকার একটি আছে। এই বক্ররেখাকে চিত্রের ভিত্তি বলা হয়। যাইহোক, বেসের আকৃতিই একমাত্র বৈশিষ্ট্য নয় যা শঙ্কুগুলির শ্রেণীবিভাগের অনুমতি দেয়।

দ্বিতীয় গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল বেসের সাপেক্ষে উচ্চতার অবস্থান। একটি শঙ্কুর উচ্চতা হল একটি সরল রেখার অংশ, যা চিত্রের শীর্ষ থেকে বেসের সমতলে নামানো হয় এবং এই সমতলে লম্ব। যদি উচ্চতা জ্যামিতিক কেন্দ্রে ভিত্তিটিকে ছেদ করে (উদাহরণস্বরূপ, বৃত্তের কেন্দ্রে), তাহলে শঙ্কুটি সোজা হবে, যদি লম্ব অংশটি ভিত্তির অন্য কোনও বিন্দুতে বা এর বাইরে পড়ে তবে চিত্রটি হবে তির্যক।

আরও নিবন্ধে আমরা পরিসংখ্যানের বিবেচিত শ্রেণির একটি উজ্জ্বল প্রতিনিধি হিসাবে শুধুমাত্র একটি গোলাকার সোজা শঙ্কু বিবেচনা করব৷

শঙ্কু উপাদানগুলির জ্যামিতিক নাম

উপরে বলা হয়েছে যে শঙ্কুর একটি ভিত্তি আছে। এটি একটি বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ, যাকে শঙ্কুর গাইড বলা হয়। যে অংশগুলি গাইডকে এমন একটি বিন্দুতে সংযুক্ত করে যা বেসের সমতলে থাকে না তাকে জেনারেটর বলে। জেনারেটরের সমস্ত বিন্দুর সেটকে চিত্রের শঙ্কু বা পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ বলা হয়। একটি গোলাকার ডান শঙ্কুর জন্য, সমস্ত জেনারেটরের দৈর্ঘ্য একই।

যে বিন্দুতে জেনারেটর ছেদ করে তাকে চিত্রের শীর্ষ বলা হয়। পলিহেড্রার বিপরীতে, একটি শঙ্কুর একটি একক শীর্ষবিন্দু আছে এবং নেইপ্রান্ত।

চিত্রের শীর্ষ এবং বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখাকে অক্ষ বলে। অক্ষটি একটি সরল শঙ্কুর উচ্চতা ধারণ করে, তাই এটি বেসের সমতলের সাথে একটি সমকোণ গঠন করে। শঙ্কুর অক্ষীয় অংশের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময় এই তথ্যটি গুরুত্বপূর্ণ।

গোলাকার সোজা শঙ্কু - ঘূর্ণন চিত্র

বিবেচিত শঙ্কুটি একটি মোটামুটি প্রতিসম চিত্র, যা ত্রিভুজের ঘূর্ণনের ফলে পাওয়া যেতে পারে। ধরুন আমাদের সমকোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আছে। একটি শঙ্কু পেতে, নীচের চিত্রে দেখানো হিসাবে এই ত্রিভুজটিকে একটি পায়ের চারপাশে ঘোরানো যথেষ্ট।

এটা দেখা যায় যে ঘূর্ণনের অক্ষটি শঙ্কুর অক্ষ। একটি পা চিত্রের উচ্চতার সমান হবে এবং দ্বিতীয় পা বেসের ব্যাসার্ধে পরিণত হবে। ঘূর্ণনের ফলে একটি ত্রিভুজের কর্ণ একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠকে বর্ণনা করবে। এটি শঙ্কুর জেনারাট্রিক্স হবে৷

গোলাকার সোজা শঙ্কু পাওয়ার এই পদ্ধতিটি চিত্রের রৈখিক পরামিতিগুলির মধ্যে গাণিতিক সম্পর্ক অধ্যয়ন করতে ব্যবহার করা সুবিধাজনক: উচ্চতা h, বৃত্তাকার ভিত্তি r এর ব্যাসার্ধ এবং গাইড g। সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য থেকে সংশ্লিষ্ট সূত্রটি অনুসরণ করে। এটি নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

g²=h²+ r².

যেহেতু আমাদের কাছে একটি সমীকরণ এবং তিনটি ভেরিয়েবল রয়েছে, এর মানে হল একটি বৃত্তাকার শঙ্কুর পরামিতিগুলি অনন্যভাবে সেট করতে, আপনাকে যেকোনো দুটি পরিমাণ জানতে হবে।

একটি সমতল দ্বারা একটি শঙ্কুর অংশ যাতে চিত্রের শীর্ষবিন্দু থাকে না

একটি চিত্রের বিভাগ নির্মাণের প্রশ্নটি নয়নগণ্য. আসল বিষয়টি হ'ল পৃষ্ঠ দ্বারা শঙ্কুর অংশের আকৃতি চিত্র এবং সেক্যান্টের আপেক্ষিক অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

অনুমান করুন যে আমরা একটি সমতল দিয়ে শঙ্কুটিকে ছেদ করি। এই জ্যামিতিক অপারেশনের ফলাফল কী হবে? বিভাগের আকারের বিকল্পগুলি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷

গোলাপী অংশটি একটি বৃত্ত। এটি শঙ্কুর ভিত্তির সমান্তরাল সমতলের সাথে চিত্রটির ছেদ করার ফলে গঠিত হয়। এগুলি চিত্রের অক্ষের লম্ব অংশ। কাটিং প্লেনের উপরে তৈরি করা চিত্রটি আসলটির মতো একটি শঙ্কু, তবে গোড়ায় একটি ছোট বৃত্ত রয়েছে।

সবুজ অংশটি একটি উপবৃত্ত। এটি প্রাপ্ত হয় যদি কাটিয়া সমতল বেসের সমান্তরাল না হয়, তবে এটি শুধুমাত্র শঙ্কুর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠকে ছেদ করে। সমতলের উপরে কাটা একটি চিত্রকে উপবৃত্তাকার তির্যক শঙ্কু বলা হয়।

নীল এবং কমলা বিভাগগুলি যথাক্রমে প্যারাবোলিক এবং হাইপারবোলিক। আপনি চিত্রটি থেকে দেখতে পাচ্ছেন, যদি কাটিং প্লেনটি একই সাথে পাশের পৃষ্ঠ এবং চিত্রের ভিত্তিকে ছেদ করে তবে সেগুলি পাওয়া যায়৷

বিবেচিত শঙ্কুর বিভাগগুলির ক্ষেত্রগুলি নির্ধারণ করতে, সমতলে সংশ্লিষ্ট চিত্রের সূত্রগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন৷ উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তের জন্য, এটি ব্যাসার্ধের বর্গ দ্বারা গুণিত Pi সংখ্যা এবং একটি উপবৃত্তের জন্য, এটি পাই এর গুণফল এবং ছোট ও বড় সেমিঅ্যাক্সের দৈর্ঘ্য:

বৃত্ত: S=pir²;

বৃত্তাকার: S=piab.

শঙ্কুর শীর্ষে থাকা বিভাগগুলি

এখন কাটিং প্লেন হলে যে বিভাগগুলি দেখা দেয় তার বিকল্পগুলি বিবেচনা করুন৷শঙ্কু শীর্ষ মাধ্যমে পাস. তিনটি ক্ষেত্রে সম্ভব:

1. বিভাগটি একটি একক পয়েন্ট। উদাহরণস্বরূপ, শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতল এবং বেসের সমান্তরাল ঠিক এমন একটি অংশ দেয়।
2. বিভাগটি একটি সরল রেখা। এই পরিস্থিতিটি ঘটে যখন সমতল একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠের স্পর্শক হয়। এই ক্ষেত্রে বিভাগের সরলরেখাটি হবে শঙ্কুর জেনারাট্রিক্স।
3. অক্ষীয় বিভাগ। এটি গঠিত হয় যখন সমতলটি শুধুমাত্র চিত্রের শীর্ষে থাকে না, তবে এর সম্পূর্ণ অক্ষও থাকে। এই ক্ষেত্রে, সমতলটি বৃত্তাকার ভিত্তির সাথে লম্ব হবে এবং শঙ্কুটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করবে।

অবশ্যই, প্রথম দুই ধরনের বিভাগের ক্ষেত্রগুলো শূন্যের সমান। 3য় ধরণের শঙ্কুর ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চলের জন্য, এই সমস্যাটি পরবর্তী অনুচ্ছেদে আরও বিশদে আলোচনা করা হয়েছে।

অক্ষীয় বিভাগ

উপরে উল্লেখ করা হয়েছে যে একটি শঙ্কুর অক্ষীয় অংশটি তার অক্ষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতল দ্বারা শঙ্কুটিকে ছেদ করার সময় তৈরি করা চিত্র। এটি অনুমান করা সহজ যে এই বিভাগটি নীচের চিত্রে দেখানো চিত্রটিকে প্রতিনিধিত্ব করবে৷

এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগের শীর্ষবিন্দু হল এই ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু, অভিন্ন বাহুগুলির ছেদ দ্বারা গঠিত। পরেরটি শঙ্কুর জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্যের সমান। ত্রিভুজের ভিত্তি হল শঙ্কুর ভিত্তির ব্যাস।

একটি শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগের ক্ষেত্রফল গণনা করা ফলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য হ্রাস করা হয়। বেস r এর ব্যাসার্ধ এবং শঙ্কুর উচ্চতা h প্রাথমিকভাবে জানা থাকলে, বিবেচনাধীন অংশের ক্ষেত্র S হবে:

S=ঘণ্টাr.

এইঅভিব্যক্তিটি একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য আদর্শ সূত্র প্রয়োগের একটি ফলাফল (উচ্চতার গুণফল বেসের অর্ধেক)।

উল্লেখ্য যে যদি একটি শঙ্কুর জেনাট্রিক্স তার বৃত্তাকার ভিত্তির ব্যাসের সমান হয়, তাহলে শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

একটি ত্রিভুজাকার অংশ তৈরি হয় যখন কাটিং প্লেনটি শঙ্কুর গোড়ায় লম্ব হয় এবং তার অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়। নামটির সমান্তরাল অন্য কোনো সমতল অংশে একটি হাইপারবোলা দেবে। যাইহোক, যদি সমতলটি শঙ্কুর শীর্ষবিন্দু ধারণ করে এবং ব্যাসের মধ্য দিয়ে না তার ভিত্তিটিকে ছেদ করে, তাহলে ফলাফলটিও একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

শঙ্কুর রৈখিক পরামিতি নির্ধারণের সমস্যা

একটি জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য অক্ষীয় বিভাগের ক্ষেত্রফলের জন্য লিখিত সূত্রটি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা দেখাই।

এটা জানা যায় যে শঙ্কুর অক্ষীয় অংশের ক্ষেত্রফল হল 100 সেমি²। ফলে ত্রিভুজটি সমবাহু। শঙ্কুর উচ্চতা এবং এর ভিত্তির ব্যাসার্ধ কত?

যেহেতু ত্রিভুজটি সমবাহু, তাই এর উচ্চতা h বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে নিম্নরূপ:

h=√3/2a.

প্রদত্ত যে ত্রিভুজের দিকটি শঙ্কুর গোড়ার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ এবং এই রাশিটিকে ক্রস-বিভাগীয় ক্ষেত্রফলের সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

S=hr=√3/22rr=>

r=√(S/√3)।

তারপর শঙ্কুর উচ্চতা হল:

h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S)।

এটি সমস্যার অবস্থা থেকে এলাকার মান প্রতিস্থাপন করতে হবেএবং উত্তর পান:

r=√(100/√3) ≈ 7.60 সেমি;

h=√(√3100) ≈ 13, 16 সেমি।

কোন ক্ষেত্রে বিবেচনা করা বিভাগগুলির পরামিতি জানা গুরুত্বপূর্ণ?

শঙ্কু বিভাগের বিভিন্ন ধরণের অধ্যয়ন শুধুমাত্র তাত্ত্বিক আগ্রহের বিষয় নয়, এর ব্যবহারিক প্রয়োগও রয়েছে।

প্রথমে, এটি বায়ুগতিবিদ্যার ক্ষেত্রটি উল্লেখ করা উচিত, যেখানে কনিক বিভাগের সাহায্যে কঠিন দেহের আদর্শ মসৃণ আকার তৈরি করা সম্ভব।

দ্বিতীয়ত, কনিক বিভাগগুলি হল ট্রাজেক্টোরি যেগুলির সাথে মহাকাশীয় বস্তুগুলি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে চলে। সিস্টেমের মহাজাগতিক সংস্থাগুলির গতিবিধির কোন নির্দিষ্ট ধরণের অংশটি তাদের ভর, পরম বেগ এবং তাদের মধ্যে দূরত্বের অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়।