বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতের সবচেয়ে কঠিন এবং বোধগম্য বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল ইন্টিগ্রেশন এবং ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস। আপনাকে এই ধারণাগুলি জানতে এবং বুঝতে হবে, সেইসাথে সেগুলি প্রয়োগ করতে সক্ষম হতে হবে। অনেক বিশ্ববিদ্যালয়ের কারিগরি শাখা ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রালের সাথে আবদ্ধ।
সমীকরণ সম্পর্কে সংক্ষিপ্ত তথ্য
এই সমীকরণগুলি শিক্ষা ব্যবস্থার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যা স্বাধীন ভেরিয়েবল, যে ফাংশনটি খুঁজে পাওয়া যায় এবং সেই ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলিকে সেই ভেরিয়েবলগুলির সাথে সম্পর্কযুক্ত করে যা স্বাধীন বলে ধরে নেওয়া হয়। একটি চলকের একটি ফাংশন খুঁজে বের করার জন্য ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসকে সাধারণ বলা হয়। যদি পছন্দসই ফাংশনটি বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে, তবে একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কথা বলে।
আসলে, সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট উত্তর খুঁজে পাওয়া একীকরণে নেমে আসে এবং সমাধানের পদ্ধতিটি সমীকরণের ধরন দ্বারা নির্ধারিত হয়।
প্রথম অর্ডার সমীকরণ
একটি প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যা একটি পরিবর্তনশীল, একটি পছন্দসই ফাংশন এবং এর প্রথম ডেরিভেটিভকে বর্ণনা করতে পারে। এই ধরনের সমীকরণ তিনটি আকারে দেওয়া যেতে পারে: স্পষ্ট, অন্তর্নিহিত, ডিফারেনশিয়াল।
সমাধানের জন্য ধারণা প্রয়োজন
প্রাথমিক অবস্থা - স্বাধীন একটি ভেরিয়েবলের প্রদত্ত মানের জন্য পছন্দসই ফাংশনের মান নির্ধারণ করা।
একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান - মূল সমীকরণে ঠিক প্রতিস্থাপিত যে কোনও পার্থক্যযোগ্য ফাংশন এটিকে অভিন্ন সমানে পরিণত করে। প্রাপ্ত সমাধান, যা স্পষ্ট নয়, সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য অংশ।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল একটি ফাংশন y=y(x;C), যা নিম্নোক্ত বিচারগুলিকে সন্তুষ্ট করতে পারে:
- একটি ফাংশনে শুধুমাত্র একটি নির্বিচারে ধ্রুবক থাকতে পারে С.
- ফলিত ফাংশনটি অবশ্যই একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের যেকোন স্বেচ্ছাচারী মানের সমীকরণের সমাধান হতে হবে।
- প্রদত্ত প্রাথমিক অবস্থার সাথে, একটি নির্বিচারে ধ্রুবককে একটি অনন্য উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যাতে ফলস্বরূপ বিশেষ সমাধানটি প্রদত্ত প্রাথমিক প্রাথমিক অবস্থার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়৷
অভ্যাসে, কচি সমস্যাটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় - এমন একটি সমাধান খুঁজে বের করা যা বিশেষ এবং শুরুতে সেট করা শর্তের সাথে তুলনা করা যেতে পারে।
কচির উপপাদ্য একটি উপপাদ্য যা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে একটি নির্দিষ্ট সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার উপর জোর দেয়।
জ্যামিতিক অর্থে:
- সাধারণ সমাধান y=y(x;C)সমীকরণ হল অখণ্ড বক্ররেখার মোট সংখ্যা।
- ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস আপনাকে XOY সমতলে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখায় টানা স্পর্শককে সংযোগ করতে দেয়৷
- প্রাথমিক অবস্থা সেট করা মানে প্লেনে একটি পয়েন্ট সেট করা।
- কচি সমস্যা সমাধানের অর্থ হল সমীকরণের একই সমাধান প্রতিনিধিত্বকারী অখণ্ড বক্ররেখার সম্পূর্ণ সেট থেকে, একমাত্র সম্ভাব্য বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একমাত্রটিকে নির্বাচন করতে হবে।
- কোচি উপপাদ্যের শর্তগুলি একটি বিন্দুতে পূরণ করার অর্থ হল একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা (এছাড়াও, শুধুমাত্র একটি) অগত্যা সমতলে নির্বাচিত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়৷
পৃথকযোগ্য পরিবর্তনশীল সমীকরণ
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যেখানে এর ডান দিকটি দুটি ফাংশনের একটি পণ্য (কখনও কখনও একটি অনুপাত) হিসাবে বর্ণনা করে বা প্রতিফলিত হয়, একটি শুধুমাত্র "x" এর উপর নির্ভর করে এবং অন্যটি - শুধুমাত্র "y" এর উপর " এই ধরনের একটি স্পষ্ট উদাহরণ: y'=f1(x)f2(y).
একটি নির্দিষ্ট ফর্মের সমীকরণ সমাধান করতে, আপনাকে প্রথমে ডেরিভেটিভ y'=dy/dx রূপান্তর করতে হবে। তারপর, সমীকরণটি পরিচালনা করে, আপনাকে এটিকে একটি ফর্মে আনতে হবে যেখানে আপনি সমীকরণের দুটি অংশকে একীভূত করতে পারেন। প্রয়োজনীয় রূপান্তরের পরে, আমরা উভয় অংশকে একীভূত করি এবং ফলাফলকে সরলীকরণ করি।
একজাত সমীকরণ
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সমজাতীয় বলা যেতে পারে যদি এর নিম্নলিখিত রূপ থাকে: y'=g(y/x)।
এই ক্ষেত্রে, প্রতিস্থাপন y/x=প্রায়শই ব্যবহৃত হয়t(x)।
এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, একটি সমজাতীয় সমীকরণকে বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি ফর্মে কমাতে হবে। এটি করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করতে হবে:
- নতুন সমীকরণ হিসেবে যেকোনো আসল ফাংশন থেকে মূল ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রকাশ করে প্রদর্শন করুন।
- পরবর্তী ধাপ হল ফলস্বরূপ ফাংশনটিকে f(x;y)=g(y/x) ফর্মে রূপান্তর করা। সহজ কথায়, সমীকরণটি শুধুমাত্র y/x এবং ধ্রুবক অনুপাত ধারণ করুন।
- নিম্নলিখিত প্রতিস্থাপন করুন: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t। তৈরি করা প্রতিস্থাপনটি সমীকরণের ভেরিয়েবলগুলিকে বিভক্ত করতে সাহায্য করবে, ধীরে ধীরে এটিকে একটি সহজ আকারে নিয়ে আসবে৷
রৈখিক সমীকরণ
এই ধরনের সমীকরণগুলির সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ: একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যেখানে এর ডান দিকটি মূল ফাংশনের সাপেক্ষে একটি রৈখিক অভিব্যক্তি হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এই ক্ষেত্রে পছন্দসই ফাংশন: y'=a(x)y + b(x).
আসুন সংজ্ঞাটিকে নিম্নরূপ রিফ্রেজ করা যাক: 1ম ক্রমটির যেকোনো সমীকরণ তার আকারে রৈখিক হয়ে যাবে যদি মূল ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভ প্রথম ডিগ্রি সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত করা হয় এবং একে অপরের দ্বারা গুণিত না হয়। একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের "শাস্ত্রীয় ফর্ম" এর নিম্নলিখিত কাঠামো রয়েছে: y' + P(x)y=Q(x)।
এই ধরনের একটি সমীকরণ সমাধান করার আগে, এটিকে "শাস্ত্রীয় ফর্ম"-এ রূপান্তর করা উচিত। পরবর্তী ধাপে সমাধান পদ্ধতির পছন্দ হবে: বার্নোলি পদ্ধতি বা ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি।
এর সাথে সমীকরণটি সমাধান করাBernoulli দ্বারা প্রবর্তিত পদ্ধতি ব্যবহার করে, U(x) এবং V(x) ফাংশনগুলির সাপেক্ষে পৃথক ভেরিয়েবল সহ দুটি সমীকরণে একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রতিস্থাপন এবং হ্রাস বোঝায়, যা তাদের আসল আকারে দেওয়া হয়েছিল।
Lagrange পদ্ধতি হল মূল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা।
- একজাত সমীকরণের একই সমাধান খুঁজে বের করা প্রয়োজন। অনুসন্ধান করার পরে, আমাদের কাছে y=y(x, C) ফাংশন আছে, যেখানে C হল একটি নির্বিচারে ধ্রুবক।
- আমরা একই ফর্মে মূল সমীকরণের সমাধান খুঁজছি, কিন্তু আমরা C=C(x) বিবেচনা করি। আমরা y=y(x, C(x)) ফাংশনটিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি, ফাংশন C(x) খুঁজে বের করি এবং সাধারণ মূল সমীকরণের সমাধান লিখি।
বার্নোলি সমীকরণ
বার্নোলির সমীকরণ - যদি ক্যালকুলাসের ডান দিকটি f(x;y)=a(x)y + b(x)yk রূপ নেয়, যেখানে k একটি সম্ভাব্য মূলদ সংখ্যাসূচক মান, একটি হিসাবে গ্রহণ না করে উদাহরণ ক্ষেত্রে যখন k=0 এবং k=1.
যদি k=1 হয়, তাহলে ক্যালকুলাস বিভাজ্য হয়ে যায় এবং k=0 হলে, সমীকরণটি রৈখিক থেকে যায়।
আসুন এই ধরণের সমীকরণ সমাধানের সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। আমাদের স্ট্যান্ডার্ড বার্নোলি সমীকরণ আছে। এটি একটি রৈখিক এক হ্রাস করা আবশ্যক, এর জন্য আপনাকে yk দ্বারা সমীকরণ ভাগ করতে হবে। এই অপারেশনের পরে, z(x)=y1-k প্রতিস্থাপন করুন। ধারাবাহিক রূপান্তরের পরে, সমীকরণটি একটি রৈখিক একটিতে হ্রাস পাবে, প্রায়শই প্রতিস্থাপন পদ্ধতি z=UV.
মোট পার্থক্যের সমীকরণ
সংজ্ঞা। গঠন P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 সহ একটি সমীকরণকে পূর্ণ সমীকরণ বলা হয়ডিফারেনশিয়াল, যদি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয় (এই অবস্থায়, "d" একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
আগে বিবেচনা করা সমস্ত ফার্স্ট-অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল হিসাবে প্রদর্শিত হতে পারে।
এই ধরনের গণনা বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয়। কিন্তু, যাইহোক, তারা সব একটি শর্ত চেক সঙ্গে শুরু. যদি শর্তটি সন্তুষ্ট হয়, তাহলে সমীকরণের বামতম অঞ্চলটি এখনও অজানা ফাংশন U(x;y) এর মোট পার্থক্য। তারপর, সমীকরণ অনুসারে, dU (x; y) শূন্যের সমান হবে, এবং তাই মোট পার্থক্যের সমীকরণের একই অবিচ্ছেদ্য U (x; y) u003d C আকারে প্রদর্শিত হবে। তাই, সমীকরণের সমাধান U (x; y) ফাংশন খুঁজে বের করার জন্য হ্রাস করা হয়।
একীকরণ ফ্যাক্টর
যদি dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx শর্তটি সমীকরণে সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে সমীকরণের সেই ফর্ম নেই যা আমরা উপরে বিবেচনা করেছি। কিন্তু কখনও কখনও কিছু ফাংশন M(x;y) বেছে নেওয়া সম্ভব হয়, যখন গুন করলে সমীকরণটি সম্পূর্ণ "diffurs"-এ একটি সমীকরণের রূপ নেয়। M (x;y) ফাংশনটিকে ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
একটি ইন্টিগ্রেটর তখনই পাওয়া যাবে যখন এটি শুধুমাত্র একটি ভেরিয়েবলের ফাংশনে পরিণত হয়।
