এই জ্যামিতিক আকারগুলি আমাদের সর্বত্র ঘিরে আছে। উত্তল বহুভুজ প্রাকৃতিক হতে পারে, যেমন মধুচক্র বা কৃত্রিম (মানবসৃষ্ট)। এই পরিসংখ্যানগুলি বিভিন্ন ধরণের আবরণ তৈরিতে, পেইন্টিং, স্থাপত্য, সজ্জা ইত্যাদিতে ব্যবহৃত হয়। উত্তল বহুভুজগুলির বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে তাদের সমস্ত বিন্দু একটি সরল রেখার একই পাশে থাকে যা এই জ্যামিতিক চিত্রের এক জোড়া সন্নিহিত শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এছাড়াও অন্যান্য সংজ্ঞা আছে। একটি বহুভুজকে উত্তল বলে
উত্তল বহুভুজ
প্রাথমিক জ্যামিতির কোর্সে, শুধুমাত্র সাধারণ বহুভুজকে সর্বদা বিবেচনা করা হয়। এই ধরনের সব বৈশিষ্ট্য বুঝতেজ্যামিতিক আকার, এটা তাদের প্রকৃতি বুঝতে প্রয়োজন. শুরু করার জন্য, এটি বোঝা উচিত যে কোনও লাইনকে বন্ধ বলা হয়, যার শেষগুলি মিলে যায়। অধিকন্তু, এটি দ্বারা গঠিত চিত্রটিতে বিভিন্ন ধরণের কনফিগারেশন থাকতে পারে। একটি বহুভুজ একটি সাধারণ বন্ধ ভাঙা লাইন, যেখানে প্রতিবেশী লিঙ্কগুলি একই সরলরেখায় অবস্থিত নয়। এর লিঙ্ক এবং শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে, এই জ্যামিতিক চিত্রের বাহু এবং শীর্ষবিন্দু। একটি সাধারণ পলিলাইনে অবশ্যই স্ব-ছেদ থাকা উচিত নয়৷
একটি বহুভুজের শীর্ষবিন্দুকে সন্নিহিত বলা হয় যদি তারা তার বাহুর একটি প্রান্তকে প্রতিনিধিত্ব করে। একটি জ্যামিতিক চিত্র যার শীর্ষবিন্দুর nম সংখ্যা রয়েছে এবং সেই কারণে বাহুর nম সংখ্যা, তাকে এন-গন বলা হয়। ভাঙা রেখাটিকে নিজেই এই জ্যামিতিক চিত্রের সীমানা বা কনট্যুর বলা হয়। একটি বহুভুজ সমতল বা সমতল বহুভুজকে বলা হয় এটি দ্বারা আবদ্ধ যেকোনো সমতলের শেষ অংশ। এই জ্যামিতিক চিত্রের সন্নিহিত বাহুগুলিকে একটি শীর্ষবিন্দু থেকে নির্গত একটি ভাঙা রেখার অংশ বলা হয়। বহুভুজের বিভিন্ন শীর্ষবিন্দু থেকে এলে তারা সন্নিহিত হবে না।
উত্তল বহুভুজের অন্যান্য সংজ্ঞা
প্রাথমিক জ্যামিতিতে, কোন বহুভুজকে উত্তল বলা হয় তা নির্দেশ করে আরও কয়েকটি সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে। এই সমস্ত বিবৃতি সমানভাবে সত্য। একটি বহুভুজ উত্তল হিসাবে বিবেচিত হয় যদি:
• প্রতিটি সেগমেন্ট যা এর ভিতরে যেকোন দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে তা সম্পূর্ণরূপে এর মধ্যেই থাকে;
• এর ভিতরেএর সব কর্ণ মিথ্যা;
• যেকোনো অভ্যন্তরীণ কোণ 180° এর বেশি নয়।
একটি বহুভুজ সর্বদা একটি সমতলকে 2 ভাগে ভাগ করে। তাদের মধ্যে একটি সীমিত (এটি একটি বৃত্তে আবদ্ধ হতে পারে), এবং অন্যটি সীমাহীন। প্রথমটিকে অভ্যন্তরীণ অঞ্চল বলা হয় এবং দ্বিতীয়টি এই জ্যামিতিক চিত্রের বাইরের অঞ্চল। এই বহুভুজটি বেশ কয়েকটি অর্ধ-সমতলের একটি ছেদ (অন্য কথায়, একটি সাধারণ উপাদান)। তাছাড়া, বহুভুজের অন্তর্গত বিন্দুতে শেষ হওয়া প্রতিটি সেগমেন্ট সম্পূর্ণরূপে এর অন্তর্গত।
উত্তল বহুভুজের প্রকার
একটি উত্তল বহুভুজের সংজ্ঞা নির্দেশ করে না যে তাদের অনেক প্রকার রয়েছে। এবং তাদের প্রত্যেকের নির্দিষ্ট মানদণ্ড রয়েছে। সুতরাং, উত্তল বহুভুজ যেগুলির অভ্যন্তরীণ কোণ 180° থাকে তাদের দুর্বলভাবে উত্তল বলা হয়। একটি উত্তল জ্যামিতিক চিত্র যার তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে তাকে একটি ত্রিভুজ, চার - একটি চতুর্ভুজ, পাঁচ - একটি পঞ্চভুজ ইত্যাদি বলা হয়৷ প্রতিটি উত্তল এন-গন নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয় প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে: n অবশ্যই 3 এর সমান বা তার বেশি হতে হবে৷ প্রতিটি ত্রিভুজগুলি উত্তল। এই ধরণের একটি জ্যামিতিক চিত্র, যেখানে সমস্ত শীর্ষগুলি একই বৃত্তে অবস্থিত, একটি বৃত্তে খোদাই করা বলা হয়। একটি উত্তল বহুভুজকে পরিবৃত্ত বলা হয় যদি বৃত্তের কাছাকাছি এর সমস্ত বাহু এটিকে স্পর্শ করে। দুইটি বহুভুজকে তখনই সমান বলা হয় যদি তাদের সুপারপজিশন দ্বারা সুপারইম্পোজ করা যায়। সমতল বহুভুজকে বহুভুজ সমতল বলা হয়।(সমতলের অংশ), যা এই জ্যামিতিক চিত্র দ্বারা সীমাবদ্ধ৷
নিয়মিত উত্তল বহুভুজ
নিয়মিত বহুভুজগুলি সমান কোণ এবং বাহু সহ জ্যামিতিক আকার। তাদের ভিতরে একটি বিন্দু 0 রয়েছে, যা এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে একই দূরত্বে রয়েছে। একে এই জ্যামিতিক চিত্রের কেন্দ্র বলা হয়। এই জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দুর সাথে কেন্দ্রের সংযোগকারী অংশগুলিকে বলা হয় অ্যাপোথেম, এবং যেগুলি বিন্দু 0 কে বাহুগুলির সাথে সংযুক্ত করে তাদের বলা হয় রেডিআই৷
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ একটি বর্গক্ষেত্র। একটি সমবাহু ত্রিভুজকে সমবাহু ত্রিভুজ বলা হয়। এই ধরনের পরিসংখ্যানগুলির জন্য, নিম্নলিখিত নিয়ম রয়েছে: একটি উত্তল বহুভুজের প্রতিটি কোণ হল 180°(n-2)/ n, যেখানে n হল এই উত্তল জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা।
যেকোন নিয়মিত বহুভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
S=ph, যেখানে p হল প্রদত্ত বহুভুজের সমস্ত বাহুর সমষ্টির অর্ধেক এবং h হল অ্যাপোথেমের দৈর্ঘ্য৷
উত্তল বহুভুজের বৈশিষ্ট্য
উত্তল বহুভুজের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সুতরাং, একটি সেগমেন্ট যা এই ধরনের একটি জ্যামিতিক চিত্রের যেকোন 2 বিন্দুকে সংযুক্ত করে সেটি অবশ্যই এটিতে অবস্থিত। প্রমাণ:
ধরুন যে P একটি প্রদত্ত উত্তল বহুভুজ। আমরা 2টি নির্বিচারে বিন্দু নিই, উদাহরণস্বরূপ, A, B, যেগুলি P এর অন্তর্গত। একটি উত্তল বহুভুজের বিদ্যমান সংজ্ঞা অনুসারে, এই বিন্দুগুলি লাইনের একই পাশে অবস্থিত, যেখানে P-এর যেকোনো পাশ রয়েছে।অতএব, AB-এরও এই বৈশিষ্ট্যটি রয়েছে এবং এটি P-তে রয়েছে। একটি উত্তল বহুভুজকে সর্বদা তার শীর্ষবিন্দুগুলির একটি থেকে আঁকা সমস্ত কর্ণ দ্বারা কয়েকটি ত্রিভুজে ভাগ করা যেতে পারে।
উত্তল জ্যামিতিক আকারের কোণ
একটি উত্তল বহুভুজের কোণগুলি তার বাহু দ্বারা গঠিত কোণগুলি। অভ্যন্তরীণ কোণগুলি একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের ভিতরের অঞ্চলে অবস্থিত। যে কোণটি তার বাহুগুলি দ্বারা গঠিত হয় যা একটি শীর্ষে একত্রিত হয় তাকে উত্তল বহুভুজের কোণ বলে। একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের অভ্যন্তরীণ কোণের সংলগ্ন কোণগুলিকে বহিরাগত বলা হয়। এর ভিতরে অবস্থিত একটি উত্তল বহুভুজের প্রতিটি কোণ হল:
180° - x, যেখানে x হল বাইরের কোণের মান। এই সহজ সূত্রটি এই ধরনের যেকোন জ্যামিতিক আকারের জন্য কাজ করে৷
সাধারণত, বাহ্যিক কোণগুলির জন্য নিম্নলিখিত নিয়ম রয়েছে: একটি উত্তল বহুভুজের প্রতিটি কোণ 180° এবং অভ্যন্তরীণ কোণের মানের মধ্যে পার্থক্যের সমান। এটি -180° থেকে 180° পর্যন্ত মান থাকতে পারে। অতএব, ভিতরের কোণ যখন 120° হয়, তখন বাইরের কোণ হবে 60°।
উত্তল বহুভুজের কোণের সমষ্টি
একটি উত্তল বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি সূত্র দ্বারা সেট করা হয়:
180°(n-2), যেখানে n হল n-gon এর শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা।
একটি উত্তল বহুভুজের কোণের সমষ্টি গণনা করা বেশ সহজ। যেমন কোনো জ্যামিতিক চিত্র বিবেচনা করুন. একটি উত্তল বহুভুজের অভ্যন্তরে কোণের সমষ্টি নির্ণয় করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়এর একটি শীর্ষবিন্দুকে অন্য শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করুন। এই ক্রিয়ার ফলে, (n-2) ত্রিভুজ পাওয়া যায়। আমরা জানি যে কোন ত্রিভুজের কোণের যোগফল সর্বদা 180° হয়। যেহেতু যেকোনো বহুভুজে তাদের সংখ্যা (n-2) তাই এই ধরনের চিত্রের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হল 180° x (n-2)।
প্রদত্ত উত্তল জ্যামিতিক চিত্রের জন্য উত্তল বহুভুজের কোণের সমষ্টি, যথা যেকোন দুটি অভ্যন্তরীণ এবং সংলগ্ন বাহ্যিক কোণ সর্বদা 180° এর সমান হবে। এর উপর ভিত্তি করে, আপনি এর সমস্ত কোণের সমষ্টি নির্ধারণ করতে পারেন:
180 x n.
অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি 180°(n-2)। এর উপর ভিত্তি করে, এই চিত্রের সমস্ত বাহ্যিক কোণগুলির যোগফল সূত্র দ্বারা সেট করা হয়েছে:
180°n-180°-(n-2)=360°।
যেকোন উত্তল বহুভুজের বাহ্যিক কোণের যোগফল সর্বদা 360° হবে (বাহুর সংখ্যা নির্বিশেষে)।
একটি উত্তল বহুভুজের বাইরের কোণটি সাধারণত 180° এবং অভ্যন্তরীণ কোণের মানের পার্থক্য দ্বারা উপস্থাপিত হয়।
একটি উত্তল বহুভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য
এই জ্যামিতিক আকারগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, তাদের মধ্যে অন্য কিছু আছে যা তাদের হেরফের করার সময় দেখা দেয়। সুতরাং, যে কোনো বহুভুজকে বেশ কয়েকটি উত্তল এন-গণে ভাগ করা যায়। এটি করার জন্য, এটির প্রতিটি দিক চালিয়ে যাওয়া এবং এই সরল রেখা বরাবর এই জ্যামিতিক চিত্রটি কাটা প্রয়োজন। যেকোনো বহুভুজকে এমনভাবে কয়েকটি উত্তল অংশে বিভক্ত করাও সম্ভব যাতে প্রতিটি অংশের শীর্ষবিন্দু তার সমস্ত শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যায়। এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্র থেকে, ত্রিভুজগুলি খুব সহজভাবে সমস্ত অঙ্কন করে তৈরি করা যেতে পারেএকটি শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণ। এইভাবে, যেকোন বহুভুজকে শেষ পর্যন্ত নির্দিষ্ট সংখ্যক ত্রিভুজে ভাগ করা যেতে পারে, যা এই ধরনের জ্যামিতিক আকারের সাথে যুক্ত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে খুব কার্যকর হতে পারে।
একটি উত্তল বহুভুজের পরিধি
একটি ভাঙা রেখার অংশগুলিকে বহুভুজের বাহু বলা হয়, প্রায়শই নিম্নলিখিত অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: ab, bc, cd, de, ea। এগুলি a, b, c, d, e শীর্ষবিন্দু সহ একটি জ্যামিতিক চিত্রের বাহু। এই উত্তল বহুভুজের সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে এর পরিধি বলা হয়।
বহুভুজের পরিধি
উত্তল বহুভুজ খোদাই করা এবং সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে। একটি বৃত্ত যা এই জ্যামিতিক চিত্রের চারপাশে স্পর্শ করে তাকে এটিতে খোদাই করা বলা হয়। এই ধরনের বহুভুজকে সীমাবদ্ধ বলা হয়। একটি বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্র হল একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের মধ্যে সমস্ত কোণের দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দু। এই ধরনের বহুভুজের ক্ষেত্রফল হল:
S=pr, যেখানে r হল খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং p হল প্রদত্ত বহুভুজের সেমিপিরিমিটার৷
বহুভুজের শীর্ষবিন্দু সম্বলিত একটি বৃত্তকে এর চারপাশে ঘেরা বলা হয়। তদুপরি, এই উত্তল জ্যামিতিক চিত্রটিকে খোদাই করা বলা হয়। বৃত্তের কেন্দ্র, যা এই জাতীয় বহুভুজকে ঘিরে থাকে, হল সমস্ত বাহুর তথাকথিত লম্ব দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দু।
উত্তল জ্যামিতিক আকৃতির কর্ণ
একটি উত্তল বহুভুজের কর্ণগুলি হল সেগমেন্টগুলিঅ-সংলগ্ন শীর্ষবিন্দু সংযুক্ত করুন। তাদের প্রত্যেকটি এই জ্যামিতিক চিত্রের ভিতরে রয়েছে। এই জাতীয় এন-গনের কর্ণের সংখ্যা সূত্র দ্বারা সেট করা হয়:
N=n (n – 3)/ 2.
একটি উত্তল বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা প্রাথমিক জ্যামিতিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। প্রতিটি উত্তল বহুভুজকে বিভক্ত করা সম্ভব এমন ত্রিভুজের সংখ্যা (K) নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
K=n – 2.
একটি উত্তল বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা সর্বদা এর শীর্ষবিন্দুর সংখ্যার উপর নির্ভর করে।
একটি উত্তল বহুভুজের পচন
কিছু ক্ষেত্রে, জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য, একটি উত্তল বহুভুজকে ছেদবিহীন কর্ণ সহ কয়েকটি ত্রিভুজে বিভক্ত করা প্রয়োজন। একটি নির্দিষ্ট সূত্র বের করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে।
সমস্যাটির সংজ্ঞা: চলুন এই জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দুতে ছেদকারী তির্যক দ্বারা কয়েকটি ত্রিভুজে উত্তল এন-গনের একটি সঠিক বিভাজন বলা যাক।
সমাধান: ধরুন যে Р1, Р2, Р3 …, Pn হল এই n-gon-এর শীর্ষবিন্দু। Xn সংখ্যাটি এর পার্টিশনের সংখ্যা। জ্যামিতিক চিত্র Pi Pn-এর প্রাপ্ত কর্ণটি সাবধানে বিবেচনা করা যাক। যেকোনো নিয়মিত পার্টিশনে P1 Pn একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ P1 Pi Pn এর অন্তর্গত, যার 1<i<n আছে। এটি থেকে এগিয়ে গিয়ে এবং ধরে নিই যে i=2, 3, 4 …, n-1, আমরা এই পার্টিশনগুলির (n-2) গ্রুপ পাব, যার মধ্যে সমস্ত সম্ভাব্য বিশেষ কেস অন্তর্ভুক্ত রয়েছে৷
আসুন i=2 নিয়মিত পার্টিশনের একটি গ্রুপ, যেখানে সর্বদা কর্ণ Р2 Pn থাকে। এতে প্রবেশ করা পার্টিশনের সংখ্যা পার্টিশনের সংখ্যার সমান(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. অন্য কথায়, এটি Xn-1 এর সমান।
যদি i=3 হয়, তাহলে পার্টিশনের এই অন্য গ্রুপে সর্বদা কর্ণ Р3 Р1 এবং Р3 Pn থাকবে। এই ক্ষেত্রে, এই গ্রুপে থাকা নিয়মিত পার্টিশনের সংখ্যা (n-2)-gon P3 P4… Pn-এর পার্টিশনের সংখ্যার সাথে মিলে যাবে। অন্য কথায়, এটি Xn-2 এর সমান হবে।
ধরুন i=4, তাহলে ত্রিভুজের মধ্যে একটি নিয়মিত পার্টিশনে অবশ্যই একটি ত্রিভুজ P1 P4 Pn থাকবে, যার সাথে চতুর্ভুজ P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn যুক্ত হবে. এই ধরনের চতুর্ভুজের নিয়মিত পার্টিশনের সংখ্যা হল X4, এবং একটি (n-3)-গনের পার্টিশনের সংখ্যা হল Xn-3। পূর্বোক্তের উপর ভিত্তি করে, আমরা বলতে পারি যে এই গ্রুপে থাকা মোট সঠিক পার্টিশনের সংখ্যা হল Xn-3 X4। i=4, 5, 6, 7… সহ অন্যান্য গ্রুপে Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … নিয়মিত পার্টিশন থাকবে।
আসুন i=n-2, তাহলে এই গ্রুপে সঠিক বিভাজনের সংখ্যা হবে গ্রুপের বিভক্ত সংখ্যার সমান যেখানে i=2 (অন্য কথায়, Xn-1 এর সমান)।
যেহেতু X1=X2=0, X3=1, X4=2…, তাহলে একটি উত্তল বহুভুজের সমস্ত পার্টিশনের সংখ্যা হল:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
উদাহরণ:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
ভিতরে একটি তির্যক ছেদকারী সঠিক পার্টিশনের সংখ্যা
বিশেষ ক্ষেত্রে পরীক্ষা করার সময়, কেউ পৌঁছাতে পারেঅনুমান যে উত্তল n-গনের কর্ণের সংখ্যা (n-3) দ্বারা এই চিত্রের সমস্ত পার্টিশনের গুণফলের সমান।
এই অনুমানের প্রমাণ: কল্পনা করুন যে P1n=Xn(n-3), তারপর যেকোনো n-gonকে (n-2)-ত্রিভুজে ভাগ করা যেতে পারে। তদুপরি, একটি (n-3)-চতুর্ভুজ তাদের দ্বারা গঠিত হতে পারে। এর সাথে, প্রতিটি চতুর্ভুজের একটি কর্ণ থাকবে। যেহেতু এই উত্তল জ্যামিতিক চিত্রে দুটি কর্ণ আঁকা যায়, তাই এর মানে হল যে কোনো (n-3)-চতুর্ভুজে অতিরিক্ত (n-3) কর্ণ আঁকা যেতে পারে। এর উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে কোনো নিয়মিত পার্টিশনে (n-3)-কর্ণ আঁকা সম্ভব যা এই সমস্যার শর্ত পূরণ করে।
উত্তল বহুভুজের ক্ষেত্রফল
প্রায়শই, প্রাথমিক জ্যামিতির বিভিন্ন সমস্যা সমাধান করার সময়, একটি উত্তল বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা প্রয়োজন হয়ে পড়ে। অনুমান করুন যে (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n হল একটি বহুভুজের সমস্ত পার্শ্ববর্তী শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের ক্রম যার স্ব-ছেদ নেই৷ এই ক্ষেত্রে, এর ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), কোথায় (X1, Y1)=(Xn +1, Y n + 1).
