একটি বিন্দু থেকে সমতল বা সরলরেখার দূরত্ব জানার মাধ্যমে আপনি মহাকাশের পরিসংখ্যানের আয়তন এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারবেন। জ্যামিতিতে এই দূরত্বের গণনা নির্দিষ্ট জ্যামিতিক বস্তুর জন্য সংশ্লিষ্ট সমীকরণ ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়। নিবন্ধে আমরা দেখাব যে এটি নির্ধারণ করতে কী কী সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে।
রেখা এবং সমতল সমীকরণ
একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে এবং একটি রেখার দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র দেওয়ার আগে, আসুন দেখা যাক কী সমীকরণগুলি এই বস্তুগুলিকে বর্ণনা করে৷
একটি বিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করতে, স্থানাঙ্ক অক্ষের প্রদত্ত সিস্টেমে স্থানাঙ্কের একটি সেট ব্যবহার করা হয়। এখানে আমরা শুধুমাত্র কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেম বিবেচনা করব যেখানে অক্ষগুলি একই একক ভেক্টর এবং পারস্পরিকভাবে লম্ব। একটি সমতলে, একটি নির্বিচারী বিন্দু দুটি স্থানাঙ্ক দ্বারা বর্ণিত হয়, মহাকাশে - তিনটি দ্বারা।
একটি সরলরেখা সংজ্ঞায়িত করতে বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। নিবন্ধের বিষয় অনুযায়ী, আমরা উপস্থাপনতাদের মধ্যে মাত্র দুটি, যা লাইন সংজ্ঞায়িত করতে দ্বি-মাত্রিক স্থান ব্যবহার করা হয়৷
ভেক্টর সমীকরণ। এটিতে নিম্নলিখিত স্বরলিপি রয়েছে:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
এখানে প্রথম পদটি লাইনে থাকা একটি পরিচিত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে প্রতিনিধিত্ব করে। দ্বিতীয় পদটি হল দিকনির্দেশনা ভেক্টর স্থানাঙ্ককে একটি নির্বিচারে সংখ্যা দ্বারা গুণিত করে λ.
সাধারণ সমীকরণ। এর স্বরলিপি নিম্নরূপ:
Ax + By + C=0;
যেখানে A, B, C কিছু সহগ।
সাধারণ সমীকরণটি প্রায়শই একটি সমতলে রেখা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়, তবে, একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজে বের করতে, এটি একটি ভেক্টর অভিব্যক্তির সাথে কাজ করা আরও সুবিধাজনক৷
ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি প্লেনকেও বিভিন্ন গাণিতিক উপায়ে লেখা যায়। তবুও, প্রায়শই সমস্যায় একটি সাধারণ সমীকরণ থাকে, যা নিম্নরূপ লেখা হয়:
Ax + By + Cz + D=0.
অন্যদের সাথে সম্পর্কিত এই স্বরলিপির সুবিধা হল যে এটি স্পষ্টভাবে সমতলের লম্ব একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক ধারণ করে। এই ভেক্টরটিকে এটির জন্য একটি গাইড বলা হয়, এটি স্বাভাবিকের দিকের সাথে মিলে যায় এবং এর স্থানাঙ্কগুলি (A; B; C) এর সমান।
উল্লেখ্য যে উপরের অভিব্যক্তিটি দ্বি-মাত্রিক স্থানের একটি সরল রেখার জন্য একটি সাধারণ সমীকরণ লেখার ফর্মের সাথে মিলে যায়, তাই সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আপনার এই জ্যামিতিক বস্তুগুলিকে বিভ্রান্ত না করার বিষয়ে সতর্ক হওয়া উচিত।
বিন্দু এবং রেখার মধ্যে দূরত্ব
একটি সরলরেখা এবং এর মধ্যে দূরত্ব কীভাবে গণনা করা যায় তা দেখাইদ্বি-মাত্রিক স্থানের বিন্দু।
কিছু বিন্দু Q(x1; y1) এবং একটি লাইন দেওয়া যাক:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
একটি রেখা এবং একটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্বটি এই রেখার লম্ব একটি অংশের দৈর্ঘ্য হিসাবে বোঝা যায়, এটি বিন্দু থেকে Q.
এই দূরত্ব গণনা করার আগে, আপনার এই সমীকরণে Q স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করা উচিত। যদি তারা এটিকে সন্তুষ্ট করে, তাহলে Q প্রদত্ত রেখার অন্তর্গত, এবং সংশ্লিষ্ট দূরত্বটি শূন্যের সমান। যদি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সমতার দিকে না নিয়ে যায়, তাহলে জ্যামিতিক বস্তুর মধ্যে দূরত্ব শূন্য নয়। এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
এখানে P হল সরলরেখার একটি নির্বিচারী বিন্দু, যা ভেক্টর PQ¯ এর শুরু। ভেক্টর u¯ একটি সরল রেখার জন্য একটি গাইড সেগমেন্ট, অর্থাৎ এর স্থানাঙ্ক হল (a; b)।
এই সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য সংখ্যায় ক্রস পণ্য গণনা করার ক্ষমতা প্রয়োজন।
একটি বিন্দু এবং একটি লাইন নিয়ে সমস্যা
ধরা যাক আপনাকে Q(-3; 1) এবং একটি সরল রেখার মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে:
y=5x -2।
অভিব্যক্তিতে Q-এর স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে Q লাইনের উপর পড়ে না। আপনি উপরের অনুচ্ছেদে দেওয়া d-এর সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারেন যদি আপনি এই সমীকরণটি ভেক্টর আকারে উপস্থাপন করেন। আসুন এটি এভাবে করি:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5)।
এখন এই লাইনের যেকোনো বিন্দু ধরি, উদাহরণস্বরূপ (0; -2), এবং এটি থেকে শুরু করে Q: এ শেষ হওয়া একটি ভেক্টর তৈরি করা যাক
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3)।
এখন দূরত্ব নির্ধারণ করতে সূত্র প্রয়োগ করুন, আমরা পাব:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব
একটি সরলরেখার ক্ষেত্রে, একটি সমতল এবং মহাকাশের একটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বকে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য হিসাবে বোঝা যায়, যা একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে লম্বভাবে সমতলে নেমে আসে এবং একে ছেদ করে।
মহাকাশে, তিনটি স্থানাঙ্ক দ্বারা একটি বিন্দু দেওয়া হয়। যদি তারা সমান হয় (x1; y1; z1), তাহলে এর মধ্যে দূরত্ব সমতল এবং সেই বিন্দু সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2)।
মনে রাখবেন যে সূত্র ব্যবহার করে আপনি কেবল সমতল থেকে লাইনের দূরত্ব খুঁজে পেতে পারবেন। একটি লম্ব রেখাটি একটি সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে, এই রেখাটি যে রেখার অন্তর্গত তার জন্য একটি সমীকরণ লিখতে হবে এবং তারপর এই রেখা এবং একটি প্রদত্ত সমতলের জন্য একটি সাধারণ বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে৷
একটি প্লেন এবং একটি পয়েন্ট নিয়ে সমস্যা
একটি বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব নির্ণয় করুন যদি এটি জানা যায় যে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3; -1; 2) এবং সমতলটি এর দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
-y + 3z=0.
সংশ্লিষ্ট সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য, আমরা প্রথমে এর সহগগুলি লিখিপ্রদত্ত বিমান। যেহেতু পরিবর্তনশীল x এবং মুক্ত শব্দটি অনুপস্থিত, তাই সহগ A এবং D শূন্যের সমান। আমাদের আছে:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
এটা দেখানো সহজ যে এই প্লেনটি উৎপত্তিস্থলের মধ্য দিয়ে যায় এবং x-অক্ষ এটির অন্তর্গত।
বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সমতলের সহগগুলিকে d দূরত্বের সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
মনে রাখবেন যে আপনি যদি একটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক পরিবর্তন করেন, তাহলে দূরত্ব d পরিবর্তন হবে না। এই সত্যটির অর্থ হল বিন্দুগুলির সেট (x; -1; 2) প্রদত্ত সমতলের সমান্তরাল একটি সরল রেখা তৈরি করে।
