ভেক্টর একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক বস্তু, এর বৈশিষ্ট্যগুলির সাহায্যে প্লেনে এবং মহাকাশে অনেক সমস্যা সমাধান করা সুবিধাজনক। এই নিবন্ধে, আমরা এটিকে সংজ্ঞায়িত করব, এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করব এবং এটিও দেখাব যে কীভাবে মহাকাশে একটি ভেক্টর প্লেনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে৷
ভেক্টর কী: দ্বি-মাত্রিক কেস
প্রথমত, আমরা কোন বস্তুর কথা বলছি তা পরিষ্কারভাবে বোঝা দরকার। জ্যামিতিতে, একটি নির্দেশিত অংশকে ভেক্টর বলা হয়। যেকোনো সেগমেন্টের মতো, এটি দুটি প্রধান উপাদান দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: শুরু এবং শেষ বিন্দু। এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি অনন্যভাবে ভেক্টরের সমস্ত বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে৷
আসুন একটি সমতলে ভেক্টরের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা দুটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ x এবং y আঁকছি। আসুন একটি নির্বিচারে বিন্দু P(x, y) চিহ্নিত করি। যদি আমরা এই বিন্দুটিকে উৎপত্তির (বিন্দু O) সাথে সংযুক্ত করি এবং তারপরে P এর দিক নির্দেশ করি, তাহলে আমরা ভেক্টর OP¯ পাই (পরে নিবন্ধে, প্রতীকের উপর বারটি নির্দেশ করে যে আমরা একটি ভেক্টর বিবেচনা করছি)। সমতলে ভেক্টর অঙ্কন নীচে দেখানো হয়েছে৷
এখানে, আরেকটি ভেক্টর AB¯ দেখানো হয়েছে, এবং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এর বৈশিষ্ট্যগুলি OP¯ এর মতোই, কিন্তু এটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের একটি ভিন্ন অংশে রয়েছে। সমান্তরাল অনুবাদ OP¯ দ্বারা, আপনি একই বৈশিষ্ট্য সহ অসীম সংখ্যক ভেক্টর পেতে পারেন।
মহাকাশে ভেক্টর
আমাদের ঘিরে থাকা সমস্ত বাস্তব বস্তু ত্রিমাত্রিক মহাকাশে রয়েছে। ত্রিমাত্রিক চিত্রগুলির জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন স্টেরিওমেট্রির সাথে সম্পর্কিত, যা ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের ধারণার সাথে কাজ করে। এগুলি দ্বি-মাত্রিকগুলির থেকে পৃথক শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে যে তাদের বর্ণনার জন্য একটি অতিরিক্ত স্থানাঙ্কের প্রয়োজন, যা তৃতীয় লম্ব x এবং y অক্ষ z বরাবর পরিমাপ করা হয়।
নীচের চিত্রটি মহাকাশে একটি ভেক্টর দেখায়। প্রতিটি অক্ষ বরাবর এর প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলি রঙিন অংশ দ্বারা নির্দেশিত হয়। ভেক্টরের শুরুটি তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষের ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত, অর্থাৎ এতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (0; 0; 0)।
যেহেতু সমতলে একটি ভেক্টর একটি স্থানিক নির্দেশিত অংশের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, আমরা নিবন্ধে শুধুমাত্র একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর বিবেচনা করব৷
ভেক্টর স্থানাঙ্ক এর শুরু এবং শেষের পরিচিত স্থানাঙ্কের উপর ভিত্তি করে
ধরুন দুটি পয়েন্ট আছে P(x1; y1; z1) এবং Q(x2; y2; z2)। PQ¯ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কীভাবে নির্ধারণ করবেন। প্রথমত, বিন্দুগুলির মধ্যে কোনটি ভেক্টরের শুরু এবং কোনটি শেষ হবে তা একমত হওয়া প্রয়োজন। গণিতে, প্রশ্নে বস্তুটিকে তার দিক বরাবর লেখার প্রথা রয়েছে, অর্থাৎ, P হল শুরু, Q- শেষ। দ্বিতীয়ত, ভেক্টর PQ¯ এর স্থানাঙ্কগুলি শেষ এবং শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্য হিসাবে গণনা করা হয়, অর্থাৎ:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1)।
মনে রাখবেন যে ভেক্টরের দিক পরিবর্তন করে, এর স্থানাঙ্কগুলি নিম্নরূপ চিহ্ন পরিবর্তন করবে:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2)।
এর মানে PQ¯=-QP¯।
আর একটা জিনিস বোঝা জরুরী। উপরে বলা হয়েছিল যে সমতলে প্রদত্ত ভেক্টরের সমান অসীম সংখ্যক ভেক্টর রয়েছে। এই সত্যটি স্থানিক ক্ষেত্রেও বৈধ। প্রকৃতপক্ষে, যখন আমরা উপরের উদাহরণে PQ¯ এর স্থানাঙ্কগুলি গণনা করেছি, তখন আমরা এই ভেক্টরটির সমান্তরাল অনুবাদের কাজটি এমনভাবে চালিয়েছি যাতে এর উত্সটি উত্সের সাথে মিলে যায়। ভেক্টর PQ¯ একটি নির্দেশিত সেগমেন্ট হিসাবে উৎপত্তিস্থল থেকে বিন্দু M((x2 - x1; y2) আঁকা যেতে পারে - y1; z2 - z1).
ভেক্টর বৈশিষ্ট্য
যেকোন জ্যামিতি বস্তুর মতো, একটি ভেক্টরের কিছু অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। আসুন সংক্ষেপে তাদের তালিকা করি।
ভেক্টর মডুলাস হল নির্দেশিত অংশের দৈর্ঘ্য। স্থানাঙ্কগুলি জেনে, এটি গণনা করা সহজ। উপরের উদাহরণে PQ¯ ভেক্টরের জন্য, মডুলাস হল:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2]।
ভেক্টর মডিউল চালু আছেসমতল একটি অনুরূপ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়, শুধুমাত্র তৃতীয় স্থানাঙ্কের অংশগ্রহণ ছাড়াই৷
ভেক্টরের যোগফল এবং পার্থক্য ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে সঞ্চালিত হয়। নিচের চিত্রটি দেখায় কিভাবে এই বস্তুগুলো যোগ ও বিয়োগ করতে হয়।
সমষ্টি ভেক্টর পেতে, প্রথম ভেক্টরের শেষে দ্বিতীয়টির শুরু যোগ করুন। পছন্দসই ভেক্টরটি প্রথমটির শুরুতে শুরু হবে এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের শেষে শেষ হবে।
পার্থক্যটি এই বিষয়টি বিবেচনায় নিয়ে সঞ্চালিত হয় যে বিয়োগকৃত ভেক্টরটি বিপরীতটির দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং তারপরে উপরে বর্ণিত সংযোজন ক্রিয়া সম্পাদন করা হয়৷
যোগ এবং বিয়োগ ছাড়াও, একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ। যদি সংখ্যাটি k-এর সমান হয়, তাহলে এমন একটি ভেক্টর পাওয়া যাবে যার মডুলাসটি আসলটির থেকে k গুণ আলাদা এবং দিকটি হয় একই (k>0) বা আসলটির (k<0) বিপরীত।
নিজেদের মধ্যে ভেক্টরের গুণনের ক্রিয়াকলাপও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আমরা নিবন্ধে এটির জন্য একটি পৃথক অনুচ্ছেদ তৈরি করব৷
স্কেলার এবং ভেক্টর গুণন
ধরুন দুটি ভেক্টর আছে u¯(x1; y1; z1) এবং v¯(x2; y2; z2)। ভেক্টর দ্বারা ভেক্টরকে দুটি ভিন্ন উপায়ে গুণ করা যায়:
- স্কেলার। এই ক্ষেত্রে, ফলাফলটি একটি সংখ্যা।
- ভেক্টর। ফলাফল হল কিছু নতুন ভেক্টর৷
u¯ এবং v¯ ভেক্টরের স্কেলার গুণফল নিম্নরূপ গণনা করা হয়:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α)।
যেখানে α প্রদত্ত ভেক্টরের মধ্যে কোণ।
এটি দেখানো যেতে পারে যে u¯ এবং v¯ স্থানাঙ্কগুলি জেনে, তাদের ডট পণ্য নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
একটি ভেক্টরকে দুটি লম্বভাবে নির্দেশিত অংশে বিভক্ত করার সময় স্কেলার পণ্যটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এটি ভেক্টরের সমান্তরালতা বা অর্থগোনালিটি গণনা করতে এবং তাদের মধ্যে কোণ গণনা করতেও ব্যবহৃত হয়।
u¯ এবং v¯ এর ক্রস গুণফল একটি নতুন ভেক্টর দেয় যা আসলটির সাথে লম্ব এবং মডুলাস রয়েছে:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α)।
নতুন ভেক্টরের নিচে বা উপরে দিক ডান হাতের নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয় (ডান হাতের চারটি আঙুল প্রথম ভেক্টরের শেষ থেকে দ্বিতীয়টির শেষ পর্যন্ত নির্দেশিত হয় এবং থাম্বটি উপরে থাকে নতুন ভেক্টরের দিক নির্দেশ করে)। নীচের চিত্রটি নির্বিচারে a¯ এবং b¯ এর জন্য ক্রস পণ্যের ফলাফল দেখায়।
ক্রস পণ্যটি পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলি গণনা করতে, সেইসাথে একটি প্রদত্ত সমতলের লম্ব ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।
একটি সমতলের সমীকরণ সংজ্ঞায়িত করার সময় ভেক্টর এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা সুবিধাজনক৷
সমতলের স্বাভাবিক এবং সাধারণ সমীকরণ
একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। তাদের মধ্যে একটি হল সমতলের সাধারণ সমীকরণের উদ্ভব, যা সরাসরি এটির লম্ব ভেক্টর এবং সমতলের অন্তর্গত কিছু পরিচিত বিন্দুর জ্ঞান থেকে অনুসরণ করে৷
ধরুন যে একটি ভেক্টর আছে n¯ (A; B; C) এবং একটি বিন্দু P (x0; y0; z 0)। সমতলের সমস্ত বিন্দু Q(x; y; z) কোন শর্ত পূরণ করবে? এই অবস্থাটি সাধারণ n¯ থেকে যেকোনো ভেক্টর PQ¯ এর লম্বতার মধ্যে থাকে। দুটি লম্ব ভেক্টরের জন্য, বিন্দু গুণফল শূন্য হয়ে যায় (cos(90o)=0), এটি লিখুন:
(n¯PQ¯)=0 বা
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=০.
বন্ধনী খুললে আমরা পাই:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 বা
Ax + By + Cz +D=0 যেখানে D=-Ax0-By0-Cz0.
এই সমীকরণটিকে প্লেনের জন্য সাধারণ বলা হয়। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে x, y, এবং z এর সামনের সহগগুলি লম্ব ভেক্টর n¯ এর স্থানাঙ্ক। একে প্লেন গাইড বলে।
সমতলের ভেক্টর প্যারামেট্রিক সমীকরণ
একটি বিমানকে সংজ্ঞায়িত করার দ্বিতীয় উপায় হল এতে থাকা দুটি ভেক্টর ব্যবহার করা।
ধরুন যে সেখানে ভেক্টর আছে u¯(x1; y1; z1) এবং v¯(x2; y2; z2)। যেমনটি বলা হয়েছিল, মহাকাশে তাদের প্রত্যেককে অসীম সংখ্যক অভিন্ন নির্দেশিত অংশ দ্বারা উপস্থাপিত করা যেতে পারে, তাই, সমতলটিকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করতে আরও একটি বিন্দু প্রয়োজন। এই বিন্দুটিকে P(x0;y0; z0)। যেকোন বিন্দু Q(x; y; z) কাঙ্খিত সমতলে থাকবে যদি PQ¯ ভেক্টরটিকে u¯ এবং v¯ এর সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যায়। অর্থাৎ, আমাদের আছে:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
যেখানে α এবং β কিছু বাস্তব সংখ্যা। এই সমতা থেকে অভিব্যক্তি অনুসরণ করে:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2)।
এটিকে 2টি ভেক্টর u¯ এবং v¯ এর সাপেক্ষে সমতলের একটি প্যারামেট্রিক ভেক্টর সমীকরণ বলা হয়। নির্বিচারে প্যারামিটার α এবং β প্রতিস্থাপন করে, কেউ এই সমতলের সমস্ত বিন্দু (x; y; z) খুঁজে পেতে পারে।
এই সমীকরণ থেকে সমতলের সাধারণ অভিব্যক্তি পাওয়া সহজ। এটি করার জন্য, ভেক্টর n¯ দিকটি খুঁজে বের করা যথেষ্ট, যা u¯ এবং v¯ উভয় ভেক্টরের জন্য লম্ব হবে, অর্থাৎ, তাদের ভেক্টর গুণফল প্রয়োগ করা উচিত।
সমতলের সাধারণ সমীকরণ নির্ধারণের সমস্যা
জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য উপরের সূত্রগুলি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা দেখাই। ধরুন সমতলের দিক ভেক্টর হল n¯(5; -3; 1)। আপনার সমতলের সমীকরণটি খুঁজে বের করা উচিত, জেনে রাখা উচিত যে বিন্দু P(2; 0; 0) এর অন্তর্গত।
সাধারণ সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়:
Ax + By + Cz +D=0.
যেহেতু সমতলের লম্ব ভেক্টরটি পরিচিত, সমীকরণটি রূপ নেবে:
5x - 3y + z +D=0.
এটি মুক্ত শব্দ D খুঁজে বের করতে বাকি আছে। আমরা স্থানাঙ্ক P: এর জ্ঞান থেকে এটি গণনা করি
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
এইভাবে, সমতলের পছন্দসই সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:
5x - 3y + z -10=0.
নিচের চিত্রটি দেখায় যে ফলস্বরূপ প্লেনটি কেমন দেখাচ্ছে৷
বিন্দুগুলির নির্দেশিত স্থানাঙ্কগুলি x, y এবং z অক্ষের সাথে সমতলের ছেদগুলির সাথে মিলে যায়৷
দুটি ভেক্টর এবং একটি বিন্দুর মাধ্যমে সমতল নির্ধারণের সমস্যা
এখন ধরুন আগের সমতলটিকে ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। দুটি ভেক্টর u¯(-2; 0; 10) এবং v¯(-2; -10/3; 0) পরিচিত, পাশাপাশি বিন্দু P(2; 0; 0)। ভেক্টর প্যারামেট্রিক আকারে সমতল সমীকরণ কীভাবে লিখবেন? বিবেচিত সংশ্লিষ্ট সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0)।
উল্লেখ্য যে সমতলের এই সমীকরণের সংজ্ঞা, u¯ এবং v¯ ভেক্টরগুলিকে একেবারে যেকোনও নেওয়া যেতে পারে, তবে একটি শর্তের সাথে: তারা সমান্তরাল হওয়া উচিত নয়। অন্যথায়, সমতলটি স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারণ করা যায় না, তবে, কেউ একটি রশ্মি বা সমতলের একটি সমীকরণ খুঁজে পেতে পারে৷
