প্লেনের মধ্যে কোণ। কিভাবে প্লেন মধ্যে কোণ নির্ধারণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

মহাকাশে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান করার সময়, প্রায়শই এমন কিছু থাকে যেখানে বিভিন্ন স্থানিক বস্তুর মধ্যে কোণ গণনা করা প্রয়োজন। এই নিবন্ধে, আমরা সমতল এবং তাদের মধ্যে কোণ এবং একটি সরল রেখা খোঁজার বিষয়টি বিবেচনা করব৷

স্পেসে লাইন

এটা জানা যায় যে সমতলের একেবারে যেকোন সরলরেখাকে নিম্নলিখিত সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

y=ax + b

এখানে a এবং b কিছু সংখ্যা আছে। যদি আমরা একই অভিব্যক্তি সহ মহাকাশে একটি সরল রেখাকে উপস্থাপন করি, তাহলে আমরা z অক্ষের সমান্তরাল একটি সমতল পাই। স্থানিক রেখার গাণিতিক সংজ্ঞার জন্য, দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রের তুলনায় একটি ভিন্ন সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এটি "নির্দেশ ভেক্টর" ধারণা ব্যবহার করে গঠিত।

একটি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর মহাকাশে এর অভিযোজন দেখায়। এই পরামিতি লাইনের অন্তর্গত। যেহেতু মহাকাশে সমান্তরাল ভেক্টরের একটি অসীম সেট রয়েছে, তাই বিবেচিত জ্যামিতিক বস্তুটিকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করার জন্য, এটির অন্তর্গত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিও জানা প্রয়োজন।

ধরে নিন যে আছেবিন্দু P(x₀; y₀; z_{0) এবং দিক ভেক্টর v¯(a; b; c), তারপর একটি সরল রেখার সমীকরণটি নিম্নরূপ দেওয়া যেতে পারে:}

(x; y; z)=P + αv¯ বা

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

এই রাশিটিকে একটি সরলরেখার প্যারামেট্রিক ভেক্টর সমীকরণ বলা হয়। সহগ α একটি পরামিতি যা একেবারে যেকোনো বাস্তব মান নিতে পারে। এই সমতাকে প্রসারিত করে একটি লাইনের স্থানাঙ্কগুলিকে স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

সমতলের সমীকরণ

মহাকাশে একটি সমতলের জন্য একটি সমীকরণ লেখার বিভিন্ন রূপ রয়েছে। এখানে আমরা তাদের মধ্যে একটি বিবেচনা করব, যা প্রায়শই দুটি সমতলের মধ্যে বা তাদের একটি এবং একটি সরলরেখার মধ্যে কোণ গণনা করার সময় ব্যবহৃত হয়।

যদি কিছু ভেক্টর n¯(A; B; C) জানা যায়, যা কাঙ্খিত সমতলের লম্ব এবং বিন্দু P(x0_{; y} 0 _{; z}0_{), যা এটির অন্তর্গত, তারপর পরবর্তীটির জন্য সাধারণ সমীকরণ হল:}

Ax + By + Cz + D=0 যেখানে D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

আমরা এই অভিব্যক্তিটির উদ্ভব বাদ দিয়েছি, যা বেশ সহজ। এখানে আমরা শুধুমাত্র লক্ষ্য করি যে, সমতলের সমীকরণে চলকগুলির সহগগুলি জেনে, কেউ সহজেই এর সাথে লম্ব সমস্ত ভেক্টর খুঁজে পেতে পারে। পরেরটিকে নরমাল বলা হয় এবং ঢালু এবং সমতল এবং এর মধ্যে কোণগুলি গণনা করতে ব্যবহৃত হয়নির্বিচারে এনালগ।

প্লেনগুলির অবস্থান এবং তাদের মধ্যকার কোণের সূত্র

ধরা যাক দুটি প্লেন আছে। মহাকাশে তাদের আপেক্ষিক অবস্থানের জন্য বিকল্পগুলি কী কী। যেহেতু প্লেনের দুটি অসীম মাত্রা এবং একটি শূন্য রয়েছে, তাদের পারস্পরিক অভিযোজনের জন্য শুধুমাত্র দুটি বিকল্প সম্ভব:

তারা একে অপরের সমান্তরাল হবে;
তারা ওভারল্যাপ হতে পারে।

প্লেনগুলির মধ্যে কোণ হল তাদের দিকনির্দেশক ভেক্টরের মধ্যে সূচক, যেমন তাদের স্বাভাবিকের মধ্যে n₁¯ এবং n_2¯।

অবশ্যই, যদি তারা সমতলের সমান্তরাল হয়, তাহলে তাদের মধ্যে ছেদ কোণটি শূন্য। যদি তারা ছেদ করে, তবে এটি অশূন্য, তবে সর্বদা তীক্ষ্ণ। ছেদগুলির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে কোণ হবে 90o, যখন সমতলগুলি একে অপরের সাথে পারস্পরিকভাবে লম্ব হয়।

n₁¯ এবং n_{2¯ এর মধ্যে কোণ α এই ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল থেকে সহজেই নির্ণয় করা যায়। অর্থাৎ, সূত্রটি ঘটে:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

ধরুন যে এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি হল: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{)। তারপর, তাদের স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ভেক্টরের স্কেলার পণ্য এবং মডিউলগুলি গণনা করার জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করে, উপরের অভিব্যক্তিটি এইভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁2 ^{+ c}1₂)√(a²₂+ b ইয়ার

অবটুস কোণের মানগুলি বাদ দেওয়ার জন্য অংকের মডুলাসটি উপস্থিত হয়েছিল৷

প্লেনগুলির ছেদ কোণ নির্ধারণ করতে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

প্লেনগুলির মধ্যে কোণ কীভাবে বের করতে হয় তা জেনে, আমরা নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করব। দুটি সমতল দেওয়া হয়েছে, যার সমীকরণ হল:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

প্লেনগুলোর মধ্যে কোণ কত?

সমস্যাটির প্রশ্নের উত্তর দিতে, আসুন মনে রাখি যে সমতলের সাধারণ সমীকরণে ভেরিয়েবলের সহগ হল গাইড ভেক্টরের স্থানাঙ্ক। নির্দেশিত প্লেনগুলির জন্য আমাদের কাছে তাদের স্বাভাবিকের নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

এখন আমরা এই ভেক্টর এবং তাদের মডিউলগুলির স্কেলার গুণ খুঁজে পাই, আমাদের আছে:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

এখন আপনি পাওয়া সংখ্যাগুলিকে আগের অনুচ্ছেদে দেওয়া সূত্রে প্রতিস্থাপন করতে পারেন। আমরা পাই:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

ফলিত মান শর্তে নির্দিষ্ট প্লেনগুলির ছেদগুলির একটি তীব্র কোণের সাথে মিলে যায়কাজ।

এখন আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। দুটি প্লেন দেওয়া হয়েছে:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

তারা কি ছেদ করে? আসুন তাদের দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কের মানগুলি লিখি, তাদের স্কেলার পণ্য এবং মডিউলগুলি গণনা করি:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

তারপর ছেদকের কোণ হল:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

এই কোণটি নির্দেশ করে যে সমতলগুলি ছেদ করে না, তবে সমান্তরাল। তারা একে অপরের সাথে মেলে না তা যাচাই করা সহজ। এর জন্য তাদের প্রথমটির অন্তর্গত একটি নির্বিচারী পয়েন্ট নেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ, P(0; 3; 2)। দ্বিতীয় সমীকরণে এর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

অর্থাৎ, বিন্দু P শুধুমাত্র প্রথম সমতলের অন্তর্গত।

সুতরাং দুটি প্লেন সমান্তরাল থাকে যখন তাদের স্বাভাবিক হয়।

সমতল এবং সরলরেখা

একটি সমতল এবং একটি সরলরেখার মধ্যে আপেক্ষিক অবস্থান বিবেচনা করার ক্ষেত্রে, দুটি সমতলের চেয়ে আরও অনেকগুলি বিকল্প রয়েছে। এই সত্যটি এই সত্যটির সাথে যুক্ত যে সরলরেখাটি একটি এক-মাত্রিক বস্তু। লাইন এবং সমতল হতে পারে:

পারস্পরিক সমান্তরাল, এই ক্ষেত্রে প্লেনটি লাইনকে ছেদ করে না;
পরেরটি প্লেনের অন্তর্গত হতে পারে, যদিও এটি এটির সমান্তরালও হবে;
উভয় বস্তুই পারেকিছু কোণে ছেদ করুন।

আসুন প্রথমে শেষ কেসটি বিবেচনা করা যাক, যেহেতু এর জন্য ইন্টারসেকশন অ্যাঙ্গেলের ধারণার প্রবর্তন প্রয়োজন৷

রেখা এবং সমতল, তাদের মধ্যে কোণ

যদি একটি সরলরেখা একটি সমতলকে ছেদ করে, তবে এটিকে তার সাপেক্ষে বাঁক বলা হয়। ছেদ বিন্দুকে ঢালের ভিত্তি বলা হয়। এই জ্যামিতিক বস্তুর মধ্যে কোণ নির্ণয় করার জন্য, যেকোন বিন্দু থেকে সমতলের একটি সোজা লম্বকে নিচে নামাতে হবে। তারপর সমতলের সাথে লম্বের ছেদ বিন্দু এবং এটির সাথে আনত রেখার ছেদ করার স্থান একটি সরল রেখা তৈরি করে। পরবর্তীটিকে বিবেচনাধীন সমতলে মূল লাইনের অভিক্ষেপ বলা হয়। লাইন এবং এর অভিক্ষেপের মধ্যে তীব্র কোণটি প্রয়োজনীয়।

একটি সমতল এবং একটি তির্যক মধ্যে কোণের কিছুটা বিভ্রান্তিকর সংজ্ঞা নীচের চিত্রটি স্পষ্ট করবে৷

এখানে ABO কোণ হল রেখা AB এবং সমতল a এর মধ্যবর্তী কোণ।

এর সূত্রটি লিখতে, একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। একটি সরল রেখা এবং একটি সমতল থাকুক, যা সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়েছে:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

এই বস্তুর জন্য কাঙ্খিত কোণ গণনা করা সহজ যদি আপনি রেখা এবং সমতলের দিক ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণ খুঁজে পান। ফলস্বরূপ তীব্র কোণটি 90o থেকে বিয়োগ করতে হবে, তারপর এটি একটি সরল রেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে প্রাপ্ত হবে৷

উপরের চিত্রটি খোঁজার জন্য বর্ণিত অ্যালগরিদম দেখায়বিবেচনা কোণ। এখানে β হল স্বাভাবিক এবং রেখার মধ্যে কোণ এবং α হল রেখা এবং সমতলে এর অভিক্ষেপের মধ্যে। দেখা যায় যে তাদের যোগফল 90o.

উপরে, একটি সূত্র উপস্থাপন করা হয়েছে যেটি কীভাবে সমতলের মধ্যে একটি কোণ খুঁজে পাওয়া যায় সেই প্রশ্নের উত্তর দেয়। এখন আমরা একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট অভিব্যক্তি দিই:

α=আর্কসিন(|aA + bB + cC | / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

সূত্রের মডুলাস শুধুমাত্র তীব্র কোণ গণনা করার অনুমতি দেয়। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)) এর মধ্যে সংশ্লিষ্ট হ্রাস সূত্র ব্যবহারের কারণে আর্কোসিনের পরিবর্তে আর্কসিন ফাংশনটি উপস্থিত হয়েছিল।

সমস্যা: একটি প্লেন একটি সরল রেখাকে ছেদ করে

এখন দেখা যাক কিভাবে উপরের সূত্রটি দিয়ে কাজ করতে হয়। সমস্যাটি সমাধান করা যাক: সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত y-অক্ষ এবং সমতলের মধ্যে কোণ গণনা করা প্রয়োজন:

y - z + 12=0

এই বিমানটি ছবিতে দেখানো হয়েছে।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এটি y এবং z অক্ষকে যথাক্রমে (0; -12; 0) এবং (0; 0; 12) বিন্দুতে ছেদ করে এবং x অক্ষের সমান্তরাল।

y লাইনের দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে (0; 1; 0)। একটি প্রদত্ত সমতলের লম্ব একটি ভেক্টর স্থানাঙ্ক (0; 1; -1) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আমরা একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের ছেদ কোণের সূত্র প্রয়োগ করি, আমরা পাই:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

সমস্যা: সমতলের সমান্তরাল সরলরেখা

এখন সিদ্ধান্ত নেওয়া যাকপূর্ববর্তী সমস্যার অনুরূপ, যার প্রশ্নটি ভিন্নভাবে উত্থাপিত হয়েছে। সমতল এবং সরলরেখার সমীকরণ জানা যায়:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

এই জ্যামিতিক বস্তু একে অপরের সমান্তরাল কিনা তা খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

আমাদের দুটি ভেক্টর রয়েছে: সরলরেখার দিক (0; 2; 2) এবং সমতলের দিক (1; 1; -1)। তাদের ডট পণ্য খুঁজুন:

01 + 12 - 12=0

ফলিত শূন্য নির্দেশ করে যে এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ হল 90o, যা প্রমাণ করে যে রেখা এবং সমতল সমান্তরাল৷

এখন এই রেখাটি শুধুমাত্র সমান্তরাল নাকি সমতলে আছে তা পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, লাইনে একটি অবাধ বিন্দু নির্বাচন করুন এবং এটি সমতলের অন্তর্গত কিনা তা পরীক্ষা করুন। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক λ=0, তাহলে বিন্দু P(1; 0; 0) লাইনের অন্তর্গত। সমতল P এর সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

1 - 3=-2 ≠ 0

P বিন্দুটি সমতলের অন্তর্গত নয়, যার মানে পুরো লাইনটিও এতে নেই।

বিবেচিত জ্যামিতিক বস্তুর মধ্যে কোণগুলি কোথায় জানা গুরুত্বপূর্ণ?

উপরের সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণগুলি শুধুমাত্র তাত্ত্বিক আগ্রহের নয়। এগুলি প্রায়শই প্রিজম বা পিরামিডের মতো বাস্তব ত্রিমাত্রিক চিত্রগুলির গুরুত্বপূর্ণ শারীরিক পরিমাণ নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। পরিসংখ্যানের আয়তন এবং তাদের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময় প্লেনের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ। তদুপরি, যদি একটি সোজা প্রিজমের ক্ষেত্রে এই সূত্রগুলি নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা সম্ভব না হয়নির্দিষ্ট মান, তাহলে যেকোনো ধরনের পিরামিডের জন্য তাদের ব্যবহার অনিবার্য।

নীচে, বর্গাকার ভিত্তি সহ একটি পিরামিডের কোণ নির্ধারণ করতে উপরের তত্ত্বটি ব্যবহার করার একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

পিরামিড এবং এর কোণগুলি

নীচের চিত্রটি একটি পিরামিড দেখায়, যার গোড়ার দিকে একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। চিত্রটির উচ্চতা হল h। দুটি কোণ খুঁজে বের করতে হবে:

পাশের পৃষ্ঠ এবং ভিত্তির মধ্যে;
পাশের পাঁজর এবং ভিত্তির মধ্যে।

সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনাকে প্রথমে স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করতে হবে এবং সংশ্লিষ্ট শীর্ষবিন্দুগুলির পরামিতি নির্ধারণ করতে হবে। চিত্রটি দেখায় যে স্থানাঙ্কের উত্স বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রের বিন্দুর সাথে মিলে যায়। এই ক্ষেত্রে, বেস প্লেনটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে:

z=0

অর্থাৎ যেকোনো x এবং y-এর জন্য তৃতীয় স্থানাঙ্কের মান সর্বদা শূন্য হয়। পার্শ্বীয় সমতল ABC B(0; 0; h) বিন্দুতে z-অক্ষকে ছেদ করে এবং স্থানাঙ্ক (0; a/2; 0) বিন্দুতে y-অক্ষকে ছেদ করে। এটি x-অক্ষ অতিক্রম করে না। এর মানে হল যে ABC সমতলের সমীকরণটি এভাবে লেখা যেতে পারে: