জ্যামিতিতে, দুটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য পরিসংখ্যান অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়: বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ। স্থানিক পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে, এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে ডাইহেড্রাল কোণ যোগ করা হয়। আসুন এটি কী তা বিবেচনা করা যাক, এবং পিরামিডের উদাহরণ ব্যবহার করে এই কোণগুলি নির্ধারণের পদ্ধতিটিও বর্ণনা করি৷
ডিহেড্রাল কোণের ধারণা
সবাই জানেন যে দুটি ছেদকারী রেখা তাদের ছেদ বিন্দুতে শীর্ষবিন্দুর সাথে একটি কোণ তৈরি করে। এই কোণটি একটি প্রটেক্টর দিয়ে পরিমাপ করা যেতে পারে, অথবা আপনি এটি গণনা করতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন। দুটি সমকোণ দ্বারা গঠিত কোণকে রৈখিক বলে।
এখন কল্পনা করুন যে ত্রিমাত্রিক মহাকাশে দুটি সমতল রয়েছে যা একটি সরলরেখায় ছেদ করে। সেগুলো ছবিতে দেখানো হয়েছে।
একটি ডাইহেড্রাল কোণ হল দুটি ছেদকারী সমতলের মধ্যবর্তী কোণ। ঠিক লিনিয়ারের মতো, এটি ডিগ্রী বা রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয়। যদি রেখার যে কোন বিন্দুতে সমতলগুলি ছেদ করে, দুটি লম্ব পুনরুদ্ধার করুন,এই প্লেন মধ্যে মিথ্যা, তারপর তাদের মধ্যে কোণ পছন্দসই dihedral হবে. এই কোণ নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল প্লেনের সাধারণ সমীকরণগুলি ব্যবহার করা৷
প্লেনগুলির সমীকরণ এবং তাদের মধ্যকার কোণের সূত্র
মহাকাশে যেকোন প্লেনের সমীকরণটি সাধারণভাবে লেখা হয় এইভাবে:
A × x + B × y + C × z + D=0.
এখানে x, y, z হল সমতলের অন্তর্গত বিন্দুর স্থানাঙ্ক, A, B, C, D সহগ হল কিছু পরিচিত সংখ্যা। ডাইহেড্রাল কোণ গণনা করার জন্য এই সমতার সুবিধা হল যে এটি স্পষ্টভাবে সমতলের দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক ধারণ করে। আমরা এটিকে n¯ দ্বারা চিহ্নিত করব। তারপর:
n¯=(A; B; C)।
ভেক্টর n¯ সমতলে লম্ব। দুটি সমতলের মধ্যে কোণটি তাদের দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণের সমান n1¯ এবং n2¯। এটি গণিত থেকে জানা যায় যে দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত কোণটি তাদের স্কেলার গুণফল থেকে অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। এটি আপনাকে দুটি প্লেনের মধ্যে ডিহেড্রাল কোণ গণনা করার জন্য একটি সূত্র লিখতে দেয়:
φ=আরকোস (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))।
যদি আমরা ভেক্টরের স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করি, তাহলে সূত্রটি স্পষ্টভাবে লেখা হবে:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22+ C22))))।
অঙ্কে মডুলো চিহ্নটি শুধুমাত্র একটি তীব্র কোণকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যেহেতু একটি ডাইহেড্রাল কোণ সর্বদা 90 এর কম বা সমান হয়o।
পিরামিড এবং এর কোণগুলি
পিরামিড হল একটি এন-গন এবং এন ত্রিভুজ দ্বারা গঠিত একটি চিত্র। এখানে n হল পিরামিডের ভিত্তি বহুভুজের বাহুর সংখ্যার সমান একটি পূর্ণসংখ্যা। এই স্থানিক চিত্রটি একটি পলিহেড্রন বা পলিহেড্রন, কারণ এটি সমতল মুখ (পার্শ্ব) নিয়ে গঠিত।
পিরামিড-পলিহেড্রনের ডাইহেড্রাল কোণ দুই ধরনের হতে পারে:
- বেস এবং বাহুর মধ্যে (ত্রিভুজ);
- দুই পক্ষের মধ্যে।
যদি পিরামিডকে নিয়মিত মনে করা হয়, তাহলে এর জন্য নামকৃত কোণগুলি নির্ধারণ করা সহজ। এটি করার জন্য, তিনটি পরিচিত বিন্দুর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে, একজনকে সমতলগুলির একটি সমীকরণ রচনা করতে হবে এবং তারপর φ কোণের জন্য উপরের অনুচ্ছেদে দেওয়া সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে।
নীচে আমরা একটি উদাহরণ দিই যেখানে আমরা দেখাই কিভাবে চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের গোড়ায় ডিহেড্রাল কোণগুলি খুঁজে পাওয়া যায়।
একটি চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিড এবং এর গোড়ায় একটি কোণ
ধরুন যে একটি বর্গাকার ভিত্তি সহ একটি নিয়মিত পিরামিড দেওয়া হয়েছে। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a, চিত্রটির উচ্চতা h। পিরামিডের ভিত্তি এবং এর পাশের মধ্যে কোণটি খুঁজুন।
আসুন বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্রে স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তি স্থাপন করা যাক। তারপর পয়েন্টের স্থানাঙ্কছবিতে দেখানো A, B, C, D হবে:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h)।
ACB এবং ADB প্লেনগুলি বিবেচনা করুন৷ স্পষ্টতই, ACB প্লেনের জন্য ভেক্টর n1¯ হবে:
1¯=(0; 0; 1)।
ADB প্লেনের দিকনির্দেশনা ভেক্টর n2¯ নির্ণয় করতে, নিম্নরূপ এগিয়ে যান: এটির অন্তর্গত দুটি অবাধ ভেক্টর খুঁজুন, উদাহরণস্বরূপ, AD¯ এবং AB¯, তারপর তাদের ভেক্টর কাজ গণনা. এর ফলাফল স্থানাঙ্ক দেবে n2¯। আমাদের আছে:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
যেহেতু একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভেক্টরকে গুণ ও ভাগ করলে তার দিক পরিবর্তন হয় না, তাই আমরা ফলাফল n2¯ রূপান্তরিত করি, এর স্থানাঙ্কগুলিকে -a দ্বারা ভাগ করে, আমরা পাই:
2¯=(h; 0; a/2)।
আমরা ACB বেস এবং ADB সাইড প্লেনের জন্য ভেক্টর গাইড n1¯ এবং n2¯ সংজ্ঞায়িত করেছি। কোণের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করা বাকি φ:
φ=আরকোস (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4))।
ফলিত অভিব্যক্তিকে রূপান্তর করুন এবং এটিকে এভাবে আবার লিখুন:
φ=arccos (a / √(a2+ 4×h2))।
আমরা একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের গোড়ায় ডিহেড্রাল কোণের সূত্রটি পেয়েছি। চিত্রটির উচ্চতা এবং এর পাশের দৈর্ঘ্য জেনে আপনি φ কোণটি গণনা করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, চেওপস-এর পিরামিডের জন্য, যার বেস সাইড 230.4 মিটার এবং প্রাথমিক উচ্চতা 146.5 মিটার, কোণ φ হবে 51.8o।
জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের জন্য ডাইহেড্রাল কোণ নির্ধারণ করাও সম্ভব। এটি করার জন্য, উচ্চতা h দ্বারা গঠিত একটি সমকোণী ত্রিভুজ, ভিত্তি a/2 এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য এবং একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের apothem বিবেচনা করাই যথেষ্ট।
