সমতল এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের সাধারণ জ্যামিতিক সমস্যাগুলি বিভিন্ন আকারের পৃষ্ঠের ক্ষেত্র নির্ধারণের সমস্যা। এই নিবন্ধে, আমরা একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র উপস্থাপন করছি।
পিরামিড কি?
আসুন পিরামিডের একটি কঠোর জ্যামিতিক সংজ্ঞা দেওয়া যাক। ধরুন n বাহু এবং n কোণ সহ কিছু বহুভুজ আছে। আমরা মহাকাশে একটি নির্বিচারী বিন্দু নির্বাচন করি যা নির্দিষ্ট এন-গনের সমতলে থাকবে না এবং এটি বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষের সাথে সংযুক্ত করি। আমরা এমন একটি চিত্র পাব যার কিছু আয়তন রয়েছে, যাকে বলা হয় এন-গোনাল পিরামিড। উদাহরণস্বরূপ, আসুন নীচের চিত্রে দেখাই যে একটি পঞ্চভুজ পিরামিড দেখতে কেমন।
যেকোন পিরামিডের দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান হল এর ভিত্তি (n-gon) এবং শীর্ষ। এই উপাদানগুলি একে অপরের সাথে n ত্রিভুজ দ্বারা সংযুক্ত, যা সাধারণভাবে একে অপরের সমান নয়। লম্ব থেকে বাদউপরের থেকে নীচে পর্যন্ত চিত্রের উচ্চতা বলা হয়। যদি এটি জ্যামিতিক কেন্দ্রে ভিত্তিটিকে ছেদ করে (বহুভুজের ভর কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়), তবে এই জাতীয় পিরামিডকে একটি সরল রেখা বলা হয়। যদি, এই শর্ত ছাড়াও, বেস একটি নিয়মিত বহুভুজ হয়, তাহলে সমগ্র পিরামিডকে নিয়মিত বলা হয়। নীচের চিত্রটি দেখায় যে নিয়মিত পিরামিডগুলি ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার, পঞ্চভুজ এবং ষড়ভুজাকার বেসগুলির সাথে কেমন দেখায়৷
পিরামিড পৃষ্ঠ
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের প্রশ্নে যাওয়ার আগে, আমাদের উচিত পৃষ্ঠের ধারণার উপরই চিন্তা করা।
উপরে উল্লিখিত এবং পরিসংখ্যানে দেখানো হয়েছে, যেকোনো পিরামিড মুখ বা পাশের একটি সেট দ্বারা গঠিত হয়। এক বাহু হল ভিত্তি এবং n বাহুগুলি হল ত্রিভুজ। পুরো চিত্রের পৃষ্ঠ হল এর প্রতিটি বাহুর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি।
একটি চিত্র উন্মোচনের উদাহরণে পৃষ্ঠটি অধ্যয়ন করা সুবিধাজনক। একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের জন্য একটি স্ক্যান নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল অভিন্ন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের চারটি ক্ষেত্র এবং একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
চিত্রের বাহুগুলি তৈরি করা সমস্ত ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফলকে পার্শ্ব পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বলে। এর পরে, আমরা দেখাব কিভাবে এটি একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের জন্য গণনা করা যায়।
চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
পার্শ্বের ক্ষেত্রফল গণনা করতেনির্দিষ্ট চিত্রের পৃষ্ঠ, আমরা আবার উপরের স্ক্যান চালু. ধরুন আমরা বর্গাকার ভিত্তির দিকটি জানি। চিহ্ন a দ্বারা এটিকে বোঝাই। এটি দেখা যায় যে চারটি অভিন্ন ত্রিভুজের প্রতিটির দৈর্ঘ্যের একটি ভিত্তি রয়েছে a। তাদের মোট ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনাকে একটি ত্রিভুজের জন্য এই মানটি জানতে হবে। জ্যামিতি কোর্স থেকে জানা যায় যে St একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বেস এবং উচ্চতার গুণফলের সমান, যা অর্ধেক ভাগ করা উচিত। অর্থাৎ:
St=1/2hba.
যেখানে hb হল বেসে আঁকা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা a। একটি পিরামিড জন্য, এই উচ্চতা apothem হয়. এখন প্রশ্নে থাকা পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের Sbক্ষেত্রটি পেতে ফলাফলের রাশিটিকে 4 দ্বারা গুণ করতে হবে:
Sb=4St=2hba.
এই সূত্রটিতে দুটি পরামিতি রয়েছে: apothem এবং ভিত্তির পাশে। যদি পরবর্তীটি বেশিরভাগ সমস্যার ক্ষেত্রে পরিচিত হয়, তবে পূর্বেরটি অন্যান্য পরিমাণ জেনে গণনা করতে হবে। এখানে দুটি ক্ষেত্রে apotema hb গণনা করার সূত্র রয়েছে:
- যখন পাশের পাঁজরের দৈর্ঘ্য জানা যায়;
- যখন পিরামিডের উচ্চতা জানা যায়।
যদি আমরা L চিহ্ন দিয়ে পার্শ্বীয় প্রান্তের (একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু) দৈর্ঘ্য নির্দেশ করি, তাহলে apotema hb সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
hb=√(L2 - a2/4)।
এই অভিব্যক্তিটি পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগের ফলাফল।
যদি জানা থাকেপিরামিডের উচ্চতা h, তারপর apotema hb এইভাবে গণনা করা যেতে পারে:
hb=√(h2 + a2/4)।
এই অভিব্যক্তিটি পাওয়াও কঠিন নয় যদি আমরা পিরামিডের অভ্যন্তরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ যা পা h এবং a/2 এবং কর্ণের hb।
আসুন দেখা যাক কিভাবে দুটি আকর্ষণীয় সমস্যার সমাধান করে এই সূত্রগুলো প্রয়োগ করতে হয়।
পরিচিত ক্ষেত্রফলের সমস্যা
এটা জানা যায় যে নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল ১০৮ সেমি2। পিরামিডের উচ্চতা 7 সেমি হলে এর apothem hb এর দৈর্ঘ্যের মান গণনা করা প্রয়োজন।
আসুন উচ্চতার মধ্য দিয়ে পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের Sbক্ষেত্রের সূত্রটি লিখি। আমাদের আছে:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
এখানে আমরা শুধু Sb এর অভিব্যক্তিতে সংশ্লিষ্ট apotema সূত্র প্রতিস্থাপন করেছি। আসুন সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গ করি:
Sb2=4a2h2 + a4.
a এর মান খুঁজতে চলুন চলক পরিবর্তন করি:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
আমরা এখন পরিচিত মানগুলি প্রতিস্থাপন করি এবং দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
আমরা এই সমীকরণের শুধুমাত্র ইতিবাচক মূলটি লিখেছি। তাহলে পিরামিডের ভিত্তির দিকগুলো হবে:
a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 সেমি।
অ্যাপোটেমার দৈর্ঘ্য পেতে,শুধু সূত্র ব্যবহার করুন:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 দেখুন
চেওপস পিরামিডের পাশের পৃষ্ঠ
বৃহত্তম মিশরীয় পিরামিডের জন্য পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের মান নির্ধারণ করুন। এটা জানা যায় যে এর গোড়ায় 230.363 মিটার পাশের দৈর্ঘ্য সহ একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। কাঠামোর উচ্চতা মূলত 146.5 মিটার ছিল। এই সংখ্যাগুলিকে Sb এর জন্য সংশ্লিষ্ট সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2 ।
পাওয়া মানটি 17টি ফুটবল মাঠের ক্ষেত্রফলের চেয়ে সামান্য বড়।
