মহাকাশে পরিসংখ্যান বিবেচনা করার সময়, তাদের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ধারণে প্রায়শই সমস্যা দেখা দেয়। এরকম একটি চিত্র হল শঙ্কু। একটি বৃত্তাকার ভিত্তি সহ একটি শঙ্কুর পাশের পৃষ্ঠটি কী, সেইসাথে একটি কাটা শঙ্কু কী তা নিবন্ধে বিবেচনা করুন৷
গোলাকার ভিত্তি সহ শঙ্কু
শঙ্কুর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের বিবেচনায় এগিয়ে যাওয়ার আগে, আমরা দেখাব এটি কী ধরণের চিত্র এবং জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে কীভাবে এটি পাওয়া যায়।
একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC নিন, যেখানে AB এবং AC পা। এই ত্রিভুজটিকে লেগ এসি-তে রাখি এবং লেগ AB-এর চারপাশে ঘোরাই। ফলস্বরূপ, AC এবং BC পার্শ্বগুলি নীচের চিত্রের দুটি পৃষ্ঠকে বর্ণনা করে৷
ঘূর্ণন দ্বারা প্রাপ্ত চিত্রটিকে একটি গোলাকার সোজা শঙ্কু বলা হয়। এটি গোলাকার কারণ এর ভিত্তি একটি বৃত্ত এবং সোজা কারণ চিত্রের শীর্ষ থেকে আঁকা একটি লম্ব (বিন্দু বি) বৃত্তটিকে এর কেন্দ্রে ছেদ করে। এই লম্বের দৈর্ঘ্যকে উচ্চতা বলে। স্পষ্টতই, এটি লেগ AB এর সমান।উচ্চতা সাধারণত h অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
উচ্চতা ছাড়াও, বিবেচিত শঙ্কুটিকে আরও দুটি রৈখিক বৈশিষ্ট্য দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে:
- জেনারেটিং, বা জেনারাট্রিক্স (হাইপোটেনাস বিসি);
- বেস ব্যাসার্ধ (লেগ এসি)।
ব্যাসার্ধটি r অক্ষর দ্বারা এবং জেনারেটর্যাট্রিক্সকে g দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। তারপর, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য বিবেচনায় নিয়ে, আমরা বিবেচনাধীন চিত্রের জন্য গুরুত্বপূর্ণ সমতা লিখতে পারি:
g2=h2+ r2
শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ
সমস্ত জেনারেটিসের সামগ্রিকতা একটি শঙ্কুর একটি শঙ্কুযুক্ত বা পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ তৈরি করে। চেহারায়, এটি কোন ফ্ল্যাট চিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ তা বলা কঠিন। একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করার সময় পরবর্তীটি জানা গুরুত্বপূর্ণ। এই সমস্যা সমাধানের জন্য, সুইপ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এটি নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে গঠিত: একটি পৃষ্ঠ মানসিকভাবে একটি নির্বিচারে জেনারাট্রিক্স বরাবর কাটা হয় এবং তারপর এটি একটি সমতলে উন্মোচিত হয়। ঝাড়ু দেওয়ার এই পদ্ধতিতে, নিম্নলিখিত সমতল চিত্রটি তৈরি হয়।
আপনি যেমন অনুমান করতে পারেন, বৃত্তটি বেসের সাথে মিলে যায়, তবে বৃত্তাকার সেক্টরটি একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ, যে ক্ষেত্রটিতে আমরা আগ্রহী। সেক্টরটি দুটি জেনারেটিস এবং একটি আর্ক দ্বারা আবদ্ধ। পরেরটির দৈর্ঘ্য বেসের পরিধির পরিধির (দৈর্ঘ্য) ঠিক সমান। এই বৈশিষ্ট্যগুলি স্বতন্ত্রভাবে বৃত্তাকার সেক্টরের সমস্ত বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে। আমরা মধ্যবর্তী গাণিতিক গণনা দেব না, তবে অবিলম্বে চূড়ান্ত সূত্রটি লিখুন, যা ব্যবহার করে আপনি শঙ্কুর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারেন। সূত্রটি হল:
Sb=pigr
কোনিক্যাল পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল Sb দুটি প্যারামিটার এবং Pi এর গুণফলের সমান।
কাটা শঙ্কু এবং এর পৃষ্ঠ
যদি আমরা একটি সাধারণ শঙ্কু গ্রহণ করি এবং একটি সমান্তরাল সমতল দিয়ে এর শীর্ষটি কেটে ফেলি, তবে অবশিষ্ট চিত্রটি একটি কাটা শঙ্কু হবে। এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ দুটি বৃত্তাকার ভিত্তি দ্বারা সীমাবদ্ধ। আসুন তাদের রেডিআইকে R এবং r হিসাবে চিহ্নিত করি। আমরা h দ্বারা চিত্রের উচ্চতা এবং g দ্বারা generatrix নির্দেশ করি। নীচে এই চিত্রটির জন্য একটি কাগজ কাটআউট রয়েছে৷
এটি দেখা যায় যে পাশের পৃষ্ঠটি আর একটি বৃত্তাকার সেক্টর নয়, এটি আয়তনে ছোট, যেহেতু কেন্দ্রীয় অংশটি এটি থেকে বিচ্ছিন্ন হয়ে গেছে। বিকাশটি চারটি লাইনের মধ্যে সীমাবদ্ধ, এর মধ্যে দুটি সরলরেখার অংশ-জেনারেটর, বাকি দুটি হল ছেঁটে দেওয়া শঙ্কুর ভিত্তিগুলির সংশ্লিষ্ট বৃত্তগুলির দৈর্ঘ্য সহ আর্ক৷
পার্শ্বের পৃষ্ঠ Sbনিম্নরূপ গণনা করা হয়েছে:
Sb=pig(r + R)
জেনারাট্রিক্স, রেডিআই এবং উচ্চতা নিম্নলিখিত সমতা দ্বারা সম্পর্কিত:
g2=h2+ (R - r)2
পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রের সমতা নিয়ে সমস্যা
20 সেমি উচ্চতা এবং 8 সেমি বেস ব্যাসার্ধ সহ একটি শঙ্কু দেওয়া হয়েছে। একটি কাটা শঙ্কুর উচ্চতা খুঁজে বের করা প্রয়োজন যার পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের এই শঙ্কুর সমান ক্ষেত্রফল থাকবে। কাটা চিত্রটি একই ভিত্তির উপর নির্মিত এবং উপরের ভিত্তির ব্যাসার্ধ 3 সেমি।
প্রথম, আসুন শঙ্কুর ক্ষেত্র এবং কাটা চিত্রের সমতার শর্ত লিখি। আমাদের আছে:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
এবার প্রতিটি আকৃতির জেনারেটিসের জন্য এক্সপ্রেশন লিখি:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Substitute g1 এবং g2 সমান ক্ষেত্রফলের সূত্রে এবং বাম ও ডান দিকে বর্গক্ষেত্র, আমরা পাই:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r) + আর)2
যেখানে আমরা h2:
এর অভিব্যক্তি পাই
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2)
আমরা এই সমতাকে সরলীকরণ করব না, তবে শর্ত থেকে জানা ডেটা প্রতিস্থাপন করব:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 সেমি
এইভাবে, পরিসংখ্যানের পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রগুলির সমান করার জন্য, কাটা শঙ্কুটির পরামিতি থাকতে হবে: R=8 সেমি, r=3 সেমি, h2≈ 14, 85 সেমি।
