শঙ্কুর আয়তন নির্ণয়ের সূত্র। সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

হাই স্কুলে স্টেরিওমেট্রি অধ্যয়নরত প্রতিটি শিক্ষার্থী একটি শঙ্কু জুড়ে এসেছিল। এই স্থানিক চিত্রের দুটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন। এই প্রবন্ধে, আমরা দেখাব কিভাবে একটি বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন বের করা যায়।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ঘূর্ণনের একটি চিত্র হিসাবে বৃত্তাকার শঙ্কু

নিবন্ধের বিষয়ে সরাসরি যাওয়ার আগে, জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে শঙ্কুটি বর্ণনা করা প্রয়োজন।

কিছু সমকোণী ত্রিভুজ থাকতে দিন। আপনি যদি এটিকে যেকোনো পায়ের চারপাশে ঘোরান, তাহলে এই ক্রিয়াকলাপের ফলাফলটি হবে পছন্দসই চিত্র, নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷

এখানে, লেগ AB হল শঙ্কুর অক্ষের অংশ, এবং এর দৈর্ঘ্য চিত্রের উচ্চতার সাথে মিলে যায়। দ্বিতীয় লেগ (সেগমেন্ট CA) হবে শঙ্কুর ব্যাসার্ধ। ঘূর্ণনের সময়, এটি একটি বৃত্ত বর্ণনা করবে যা চিত্রের ভিত্তিকে আবদ্ধ করে। কর্ণ বিসিকে চিত্রের জেনারাট্রিক্স বা এর জেনারাট্রিক্স বলা হয়। বিন্দু B হল শঙ্কুর একমাত্র শীর্ষবিন্দু।

ABC ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে, আমরা জেনেরাট্রিক্স g, ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h এর মধ্যে সম্পর্ক লিখতে পারিসমতা:

g²=h²+ r²

এই সূত্রটি প্রশ্নে থাকা চিত্রের সাথে অনেক জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানে কার্যকর।

শঙ্কু ভলিউম সূত্র

যেকোন স্থানিক চিত্রের আয়তন হল স্থানের ক্ষেত্রফল, যা এই চিত্রের পৃষ্ঠ দ্বারা সীমাবদ্ধ। একটি শঙ্কুর জন্য এই ধরনের দুটি পৃষ্ঠ আছে:

1. পার্শ্বীয়, বা শঙ্কুযুক্ত। এটি সমস্ত জেনারেটিস দ্বারা গঠিত হয়৷
2. ফাউন্ডেশন। এই ক্ষেত্রে, এটি একটি বৃত্ত৷

একটি শঙ্কুর আয়তন নির্ণয়ের সূত্রটি পান। এটি করার জন্য, আমরা মানসিকভাবে বেসের সমান্তরাল অনেক স্তরে এটি কাটা। প্রতিটি স্তরের একটি পুরুত্ব dx আছে, যা শূন্যের দিকে থাকে। চিত্রের শীর্ষ থেকে x দূরত্বে স্তরটির S_xক্ষেত্রটি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তির সমান:

S_x=পাইr²x²/h ²

এই অভিব্যক্তিটির বৈধতা x=0 এবং x=h মানগুলি প্রতিস্থাপন করে স্বজ্ঞাতভাবে যাচাই করা যেতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা শূন্যের সমান একটি ক্ষেত্রফল পাব, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এটি বৃত্তাকার ভিত্তির ক্ষেত্রফলের সমান হবে।

শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করতে, আপনাকে প্রতিটি স্তরের ছোট "ভলিউম" যোগ করতে হবে, অর্থাৎ, আপনাকে অখণ্ড ক্যালকুলাস ব্যবহার করতে হবে:

V=∫₀h^(pir2^x 2^/h2^dx)=pir2^/h2 ^∫0_h(x²dx)

এই অবিচ্ছেদ্য গণনা করে, আমরা একটি বৃত্তাকার শঙ্কুর চূড়ান্ত সূত্রে পৌঁছেছি:

V=1/3pir²h

এটি লক্ষ্য করা আকর্ষণীয় যে এই সূত্রটি একটি নির্বিচারে পিরামিডের আয়তন গণনা করার জন্য ব্যবহৃত ফর্মুলাটির মতোই। এই কাকতালীয় ঘটনাটি আকস্মিক নয়, কারণ যে কোনো পিরামিড শঙ্কুতে পরিণত হয় যখন এর প্রান্তের সংখ্যা অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়।

ভলিউম গণনার সমস্যা

এটি সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ দেওয়া উপযোগী, যা V ভলিউমের জন্য উদ্ভূত সূত্রের ব্যবহার প্রদর্শন করবে।

একটি বৃত্তাকার শঙ্কু দেওয়া হয়েছে যার ভিত্তি ক্ষেত্রফল 37 সেমি², এবং চিত্রের জেনারেটর ব্যাসার্ধের তিনগুণ। শঙ্কুর আয়তন কত?

আমাদের আয়তনের সূত্র ব্যবহার করার অধিকার আছে যদি আমরা দুটি পরিমাণ জানি: উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r। আসুন সেই সূত্রগুলি খুঁজে বের করি যা সমস্যার শর্ত অনুসারে সেগুলি নির্ধারণ করে৷

S

o _{বৃত্তের ক্ষেত্রফল জেনে ব্যাসার্ধ r গণনা করা যেতে পারে, আমাদের আছে:}

S_o=পাইr²=>

r=√(S_o/pi)

সমস্যার অবস্থা ব্যবহার করে, আমরা জেনারেটরের জন্য সমতা লিখি g:

g=3r=3√(S_o/pi)

r এবং g এর সূত্রগুলি জেনে, উচ্চতা গণনা করুন:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

আমরা সমস্ত প্রয়োজনীয় প্যারামিটার খুঁজে পেয়েছি৷ এখন তাদের V এর সূত্রে প্লাগ করার সময়:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

এটি প্রতিস্থাপন করা বাকি আছেবেস এলাকা S_o এবং আয়তনের মান গণনা করুন: V=119.75 সেমি³.