স্থানিক পরিসংখ্যানের আয়তন নির্ধারণ করার ক্ষমতা জ্যামিতিক এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। এই পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে একটি হল প্রিজম। আমরা নিবন্ধে এটি কী তা বিবেচনা করব এবং দেখাব কীভাবে একটি বাঁকানো প্রিজমের আয়তন গণনা করা যায়।
জ্যামিতিতে প্রিজম বলতে কী বোঝায়?
এটি একটি নিয়মিত পলিহেড্রন (পলিহেড্রন), যা সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত দুটি অভিন্ন ঘাঁটি দ্বারা গঠিত হয় এবং চিহ্নিত ঘাঁটিগুলিকে সংযুক্ত করে একাধিক সমান্তরালগ্রাম।
প্রিজম বেসগুলি নির্বিচারে বহুভুজ হতে পারে, যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, হেপ্টাগন ইত্যাদি। তাছাড়া, বহুভুজের কোণার সংখ্যা (পার্শ্ব) চিত্রটির নাম নির্ধারণ করে।
এন-গন বেস (n হল বাহুর সংখ্যা) সহ যেকোনো প্রিজমে n+2 মুখ, 2 × n শীর্ষবিন্দু এবং 3 × n প্রান্ত থাকে। প্রদত্ত সংখ্যাগুলি থেকে দেখা যায় যে প্রিজমের উপাদানগুলির সংখ্যা অয়লারের উপপাদ্যের সাথে মিলে যায়:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
নীচের ছবিটি দেখায় কাঁচের তৈরি ত্রিভুজাকার এবং চতুর্ভুজাকার প্রিজম দেখতে কেমন।
চিত্রের ধরন। কাত প্রিজম
এটি ইতিমধ্যে উপরে বলা হয়েছে যে একটি প্রিজমের নাম ভিত্তির বহুভুজের বাহুর সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। যাইহোক, এর গঠনে অন্যান্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা চিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করে। সুতরাং, যদি প্রিজমের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের সমস্ত সমান্তরালগ্রামগুলিকে আয়তক্ষেত্র বা বর্গক্ষেত্র দ্বারা উপস্থাপিত করা হয়, তবে এই জাতীয় চিত্রটিকে একটি সরলরেখা বলা হয়। একটি সরল প্রিজমের জন্য, বেসগুলির মধ্যে দূরত্ব যেকোনো আয়তক্ষেত্রের পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সমান।
যদি কিছু বা সমস্ত বাহু সমান্তরাল হয়, তাহলে আমরা একটি ঝোঁক প্রিজমের কথা বলছি। এর উচ্চতা ইতিমধ্যেই পাশের পাঁজরের দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হবে।
আরেকটি মানদণ্ড যার দ্বারা বিবেচনাধীন পরিসংখ্যানগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে তা হল বাহুর দৈর্ঘ্য এবং বেসে বহুভুজের কোণ। যদি তারা একে অপরের সমান হয়, তাহলে বহুভুজ সঠিক হবে। বেসে নিয়মিত বহুভুজ সহ একটি সরল চিত্রকে নিয়মিত বলা হয়। পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ধারণ করার সময় এটির সাথে কাজ করা সুবিধাজনক। এই বিষয়ে একটি ঝোঁক প্রিজম কিছু অসুবিধা উপস্থাপন করে৷
নীচের চিত্রটি একটি বর্গাকার ভিত্তি সহ দুটি প্রিজম দেখায়। 90° কোণ একটি সরল এবং একটি তির্যক প্রিজমের মধ্যে মৌলিক পার্থক্য দেখায়৷
একটি চিত্রের আয়তন নির্ধারণের সূত্র
একটি প্রিজমের মুখ দিয়ে আবদ্ধ স্থানের অংশকে এর আয়তন বলে। যেকোনো ধরনের বিবেচিত পরিসংখ্যানের জন্য, এই মানটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:
V=h × So
এখানে, h প্রতীকটি প্রিজমের উচ্চতা নির্দেশ করে,যা দুটি ঘাঁটির মধ্যে দূরত্বের পরিমাপ। প্রতীক So- একটি বেস বর্গ।
বেস এলাকা খুঁজে পাওয়া সহজ। বহুভুজটি নিয়মিত কিনা তা বিবেচনা করে এবং এর বাহুর সংখ্যা জেনে আপনার উপযুক্ত সূত্র প্রয়োগ করা উচিত এবং So পেতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, পার্শ্ব দৈর্ঘ্য a সহ একটি নিয়মিত এন-গনের জন্য, ক্ষেত্রফল হবে:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
এখন উচ্চতা h এ যাওয়া যাক। একটি সরল প্রিজমের জন্য, উচ্চতা নির্ধারণ করা কঠিন নয়, তবে একটি তির্যক প্রিজমের জন্য, এটি একটি সহজ কাজ নয়। এটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক অবস্থা থেকে শুরু করে বিভিন্ন জ্যামিতিক পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। যাইহোক, একটি চিত্রের উচ্চতা নির্ধারণ করার একটি সর্বজনীন উপায় আছে। আসুন সংক্ষেপে বর্ণনা করি।
ধারণাটি হল মহাকাশের একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব খুঁজে বের করা। অনুমান করুন যে সমতলটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
A × x+ B × y + C × z + D=0
তারপর প্লেনটি দূরত্বে থাকবে:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2+ B2+ C2)
যদি স্থানাঙ্কের অক্ষগুলি এমনভাবে সাজানো হয় যাতে বিন্দুটি (0; 0; 0) প্রিজমের নীচের বেসের সমতলে থাকে, তাহলে বেস সমতলের সমীকরণটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
z=0
এর মানে উচ্চতার সূত্র লেখা হবেতাই:
h=z1
চিত্রের উচ্চতা নির্ণয় করার জন্য উপরের বেসের যেকোনো বিন্দুর z-স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করাই যথেষ্ট।
সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
নীচের চিত্রটি একটি চতুর্ভুজাকার প্রিজম দেখায়। একটি আনত প্রিজমের ভিত্তি হল একটি বর্গক্ষেত্র যার একটি পাশ 10 সেমি। এটির আয়তন গণনা করা প্রয়োজন যদি এটি জানা যায় যে পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য 15 সেমি, এবং সামনের সমান্তরালগ্রামের তীব্র কোণ 70 °।
যেহেতু চিত্রের উচ্চতা h সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা, তাই আমরা h খুঁজে বের করতে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে সূত্র ব্যবহার করি। সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলিকে নিম্নরূপ বোঝানো যাক:
a=10cm;
b=15cm
অতঃপর আপনি Sp:
এলাকা নির্ধারণের জন্য এটির জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলি লিখতে পারেন
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
যেখান থেকে আমরা পাই:
h=b × sin (α)
এখানে α সমান্তরালগ্রামের একটি তীব্র কোণ। যেহেতু ভিত্তিটি একটি বর্গক্ষেত্র, তাই একটি আনত প্রিজমের আয়তনের সূত্রটি রূপ নেবে:
V=a2 × b × sin (α)
আমরা শর্ত থেকে তথ্যকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং উত্তর পাই: V ≈ 1410 cm3.
