স্টেরিওমেট্রির কাঠামোর মধ্যে ত্রি-মাত্রিক স্থানের চিত্রগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার সময়, একজনকে প্রায়শই আয়তন এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে সমস্যাগুলি সমাধান করতে হয়। এই নিবন্ধে, আমরা সুপরিচিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে একটি ছোট পিরামিডের জন্য আয়তন এবং পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায় তা দেখাব৷
জ্যামিতিতে পিরামিড
জ্যামিতিতে, একটি সাধারণ পিরামিড হল মহাকাশের একটি চিত্র, যা কিছু সমতল এন-গনের উপর নির্মিত। এর সমস্ত শীর্ষবিন্দু বহুভুজের সমতলের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দুতে সংযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, এখানে একটি পঞ্চভুজ পিরামিড দেখানো একটি ফটো রয়েছে৷
এই চিত্রটি মুখ, শীর্ষবিন্দু এবং প্রান্ত দ্বারা গঠিত। পঞ্চভুজ মুখকে ভিত্তি বলা হয়। অবশিষ্ট ত্রিভুজাকার মুখগুলি পাশের পৃষ্ঠ তৈরি করে। সমস্ত ত্রিভুজের ছেদ বিন্দু হল পিরামিডের প্রধান শীর্ষবিন্দু। যদি একটি লম্ব এটি থেকে বেসের দিকে নামানো হয়, তাহলে ছেদ বিন্দুর অবস্থানের জন্য দুটি বিকল্প সম্ভব:
- জ্যামিতিক কেন্দ্রে, তারপর পিরামিডকে একটি সরল রেখা বলা হয়;
- এর মধ্যে নেইজ্যামিতিক কেন্দ্র, তাহলে চিত্রটি তির্যক হবে।
আরও আমরা নিয়মিত এন-গোনাল বেস সহ শুধুমাত্র সরল পরিসংখ্যান বিবেচনা করব।
এই চিত্রটি কী - একটি কাটা পিরামিড?
একটি কাটা পিরামিডের আয়তন নির্ধারণ করতে, কোন চিত্রটি বিশেষভাবে প্রশ্নবিদ্ধ তা স্পষ্টভাবে বোঝা প্রয়োজন। আসুন এই সমস্যাটি পরিষ্কার করা যাক।
ধরুন আমরা একটি কাটিং প্লেন নিই যা একটি সাধারণ পিরামিডের ভিত্তির সমান্তরাল এবং এটির সাথে পাশের পৃষ্ঠের একটি অংশ কেটে ফেলি। যদি এই অপারেশনটি উপরে দেখানো পঞ্চভুজ পিরামিড দিয়ে করা হয়, তাহলে আপনি নীচের চিত্রের মতো একটি চিত্র পাবেন।
ফটো থেকে দেখা যায় যে এই পিরামিডটির ইতিমধ্যেই দুটি ঘাঁটি রয়েছে এবং উপরেরটি নীচেরটির মতো, তবে এটি আকারে ছোট। পার্শ্বীয় পৃষ্ঠটি আর ত্রিভুজ দ্বারা নয়, ট্র্যাপিজয়েড দ্বারা উপস্থাপিত হয়। তারা সমদ্বিবাহু, এবং তাদের সংখ্যা ভিত্তির বাহুর সংখ্যার সাথে মিলে যায়। ছেঁটে ফেলা চিত্রটিতে একটি সাধারণ পিরামিডের মতো একটি প্রধান শীর্ষবিন্দু নেই এবং এর উচ্চতা সমান্তরাল ঘাঁটির মধ্যে দূরত্ব দ্বারা নির্ধারিত হয়।
সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি বিবেচনাধীন চিত্রটি n-গোনাল বেস দ্বারা গঠিত হয়, তবে এর n+2 মুখ বা বাহু, 2n শীর্ষবিন্দু এবং 3n প্রান্ত রয়েছে। অর্থাৎ, কাটা পিরামিড একটি পলিহেড্রন।
একটি কাটা পিরামিডের আয়তনের সূত্র
স্মরণ করুন যে একটি সাধারণ পিরামিডের আয়তন তার উচ্চতা এবং ভিত্তি ক্ষেত্রফলের 1/3। এই সূত্রটি একটি কাটা পিরামিডের জন্য উপযুক্ত নয়, কারণ এর দুটি ভিত্তি রয়েছে। এবং এর আয়তনযেখান থেকে এটি প্রাপ্ত হয়েছে তার জন্য সবসময় একই মানের থেকে কম হবে।
অভিব্যক্তি প্রাপ্তির গাণিতিক বিবরণে না গিয়ে, আমরা একটি ছেঁটে যাওয়া পিরামিডের আয়তনের চূড়ান্ত সূত্র উপস্থাপন করি। এটি নিম্নরূপ লেখা:
V=1/3h(S1+ S2+ √(S1 S2))
এখানে S1 এবং S2 যথাক্রমে নিম্ন এবং উপরের বেসের ক্ষেত্র, h হল চিত্রের উচ্চতা. লিখিত অভিব্যক্তি শুধুমাত্র একটি সোজা নিয়মিত কাটা পিরামিডের জন্যই নয়, এই শ্রেণীর যেকোনো চিত্রের জন্যও বৈধ। তদুপরি, বেস বহুভুজের ধরন নির্বিশেষে। V-এর জন্য অভিব্যক্তির ব্যবহার সীমিত করার একমাত্র শর্ত হল পিরামিডের ভিত্তিগুলি একে অপরের সমান্তরাল হওয়া প্রয়োজন৷
এই সূত্রটির বৈশিষ্ট্য অধ্যয়ন করে বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্তে আসা যেতে পারে। সুতরাং, উপরের ভিত্তির ক্ষেত্রফল যদি শূন্য হয়, তাহলে আমরা একটি সাধারণ পিরামিডের V-এর সূত্রে আসি। যদি ঘাঁটির ক্ষেত্রগুলি একে অপরের সমান হয়, তাহলে আমরা প্রিজমের আয়তনের সূত্র পাব।
কিভাবে পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবেন?
একটি ছাঁটা পিরামিডের বৈশিষ্ট্য জানার জন্য শুধুমাত্র এর আয়তন গণনা করার ক্ষমতাই নয়, পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কীভাবে নির্ধারণ করতে হয় তাও জানতে হবে।
কাটা পিরামিড দুই ধরনের মুখ নিয়ে গঠিত:
- সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড;
- বহুভুজ ঘাঁটি।
যদি ঘাঁটিতে একটি নিয়মিত বহুভুজ থাকে, তবে এর ক্ষেত্রফলের গণনা বড় আকারের প্রতিনিধিত্ব করে নাঅসুবিধা এটি করার জন্য, আপনাকে শুধুমাত্র একটি পাশের দৈর্ঘ্য এবং তাদের সংখ্যা n জানতে হবে।
একটি পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে, এর ক্ষেত্রফলের গণনায় প্রতিটি n ট্র্যাপিজয়েডের জন্য এই মান নির্ধারণ করা জড়িত। যদি n-gon সঠিক হয়, তাহলে পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হবে:
Sb=hbn(a1+a2)/2
এখানে hb হল ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতা, যাকে ফিগারের অ্যাপোটেম বলা হয়। পরিমাণ a1 এবং a2নিয়মিত এন-গোনাল বেসের বাহুর দৈর্ঘ্য।
প্রতিটি নিয়মিত এন-গোনাল ট্রাঙ্কেটেড পিরামিডের জন্য, অ্যাপোটেমা hbকে একটি1 এবং a পরামিতিগুলির মাধ্যমে স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে 2এবং আকৃতির উচ্চতা h৷
একটি চিত্রের আয়তন এবং ক্ষেত্রফল গণনার কাজ
একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার ছোট পিরামিড দেওয়া হয়েছে। এটি জানা যায় যে এর উচ্চতা h 10 সেমি, এবং ভিত্তিগুলির বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং 3 সেমি। কাটা পিরামিডের আয়তন এবং এর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
প্রথমে, আসুন V মানটি গণনা করি। এটি করার জন্য, চিত্রের ভিত্তিগুলিতে অবস্থিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রগুলি খুঁজুন। আমাদের আছে:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10.825cm2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3.897 সেমি2
V এর সূত্রে ডেটা প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পছন্দসই ভলিউম পাই:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70.72 সেমি3
পার্শ্ব পৃষ্ঠ নির্ধারণ করতে, আপনার জানা উচিতapothem দৈর্ঘ্য hb. পিরামিডের অভ্যন্তরে সংশ্লিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করে আমরা এর জন্য সমতা লিখতে পারি:
hb=√(√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10.017 সেমি
অ্যাপোথেমের মান এবং ত্রিভুজাকার ভিত্তিগুলির বাহুগুলিকে Sbএর অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপিত করা হয় এবং আমরা উত্তর পাই:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm2
এইভাবে, আমরা সমস্যার সমস্ত প্রশ্নের উত্তর দিয়েছি: V ≈ 70.72 সেমি3, Sb ≈ 120.2 সেমি2।
