স্থানিক পরিসংখ্যানের আয়তনের গণনা স্টেরিওমেট্রির অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ কাজ। এই নিবন্ধে, আমরা একটি পিরামিড হিসাবে এই জাতীয় পলিহেড্রনের আয়তন নির্ধারণের বিষয়টি বিবেচনা করব এবং একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিডের আয়তনের সূত্রও দেব।
ষড়ভুজ পিরামিড
প্রথমে, আসুন দেখি চিত্রটি কী, যা নিবন্ধে আলোচনা করা হবে।
আসুন একটি নির্বিচারে হেক্সাগন আছে যার বাহুগুলি একে অপরের সমান নয়। এছাড়াও ধরুন আমরা মহাকাশে এমন একটি বিন্দু বেছে নিয়েছি যা ষড়ভুজের সমতলে নেই। নির্বাচিত বিন্দুর সাথে পরবর্তী সমস্ত কোণগুলিকে সংযুক্ত করে, আমরা একটি পিরামিড পাই। একটি ষড়ভুজ বেস সহ দুটি ভিন্ন পিরামিড নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
এটা দেখা যায় যে ষড়ভুজ ছাড়াও, চিত্রটিতে ছয়টি ত্রিভুজ রয়েছে, যার সংযোগ বিন্দুটিকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। চিত্রিত পিরামিডগুলির মধ্যে পার্থক্য হল যে তাদের ডানদিকে h উচ্চতা তার জ্যামিতিক কেন্দ্রে ষড়ভুজ ভিত্তিকে ছেদ করে না এবং বাম চিত্রের উচ্চতা পড়েঠিক সেই কেন্দ্রে। এই মানদণ্ডের জন্য ধন্যবাদ, বাম পিরামিডকে বলা হত সোজা, এবং ডানকে - তির্যক।
যেহেতু চিত্রের বাম চিত্রের ভিত্তিটি সমান বাহু এবং কোণ সহ একটি ষড়ভুজ দ্বারা গঠিত, তাই একে সঠিক বলা হয়। আরও নিবন্ধে আমরা শুধুমাত্র এই পিরামিড সম্পর্কে কথা বলব।
ষড়ভুজ পিরামিডের আয়তন
একটি নির্বিচারে পিরামিডের আয়তন গণনা করতে, নিম্নলিখিত সূত্রটি বৈধ:
V=1/3hSo
এখানে h হল চিত্রটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য, So হল এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল। একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিডের আয়তন নির্ধারণ করতে এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করা যাক।
যেহেতু বিবেচনাধীন চিত্রটি একটি সমবাহু ষড়ভুজের উপর ভিত্তি করে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আপনি একটি এন-গনের জন্য নিম্নলিখিত সাধারণ অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করতে পারেন:
S=n/4a2 ctg(pi/n)
এখানে n হল বহুভুজের বাহুর (কোণ) সংখ্যার সমান একটি পূর্ণসংখ্যা, a হল এর বাহুর দৈর্ঘ্য, cotangent ফাংশনটি উপযুক্ত টেবিল ব্যবহার করে গণনা করা হয়।
n=6-এর জন্য অভিব্যক্তি প্রয়োগ করলে আমরা পাই:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
এখন এই অভিব্যক্তিটিকে V ভলিউমের সাধারণ সূত্রে প্রতিস্থাপন করতে হবে:
V6=S6h=√3/2ha2
সুতরাং, বিবেচনাধীন পিরামিডের আয়তন গণনা করার জন্য, এটির দুটি রৈখিক পরামিতি জানা প্রয়োজন: বেসের পাশের দৈর্ঘ্য এবং চিত্রের উচ্চতা।
সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
আসুন দেখাই কিভাবে V6 এর জন্য প্রাপ্ত এক্সপ্রেশনটি নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
এটা জানা যায় যে একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিডের আয়তন 100 সেমি3। বেসের দিক এবং চিত্রের উচ্চতা নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যদি এটি জানা যায় যে তারা নিম্নলিখিত সমতা দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত:
a=2h
যেহেতু আয়তনের সূত্রে শুধুমাত্র a এবং h অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাই এই প্যারামিটারগুলির যে কোনো একটিতে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, a বিকল্প করুন, আমরা পাই:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
একটি চিত্রের উচ্চতার মান খুঁজে পেতে, আপনাকে আয়তন থেকে তৃতীয় ডিগ্রির মূল নিতে হবে, যা দৈর্ঘ্যের মাত্রার সাথে মিলে যায়। আমরা সমস্যা বিবৃতি থেকে পিরামিডের ভলিউম মান V6 প্রতিস্থাপন করি, আমরা উচ্চতা পাই:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3.0676 সেমি
যেহেতু বেসের দিকটি, সমস্যার শর্ত অনুসারে, পাওয়া মানের দ্বিগুণ, আমরা এর জন্য মান পাই:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
একটি ষড়ভুজ পিরামিডের আয়তন শুধুমাত্র চিত্রের উচ্চতা এবং এর ভিত্তির পাশের মান দিয়েই পাওয়া যায় না। এটি গণনা করার জন্য পিরামিডের দুটি ভিন্ন রৈখিক পরামিতি জানা যথেষ্ট, উদাহরণস্বরূপ, অ্যাপোটেমা এবং পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য।
