একটি শঙ্কু ঘূর্ণনের স্থানিক চিত্রগুলির মধ্যে একটি, যার বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি স্টেরিওমেট্রি দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়। এই নিবন্ধে, আমরা এই চিত্রটিকে সংজ্ঞায়িত করব এবং একটি শঙ্কুর রৈখিক পরামিতিগুলিকে তার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সাথে সংযুক্ত করার প্রাথমিক সূত্রগুলি বিবেচনা করব৷
শঙ্কু কি?
জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা একটি স্থানিক চিত্রের কথা বলছি, যা একটি মসৃণ সমতল বক্ররেখার সমস্ত বিন্দুর সাথে মহাকাশের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে সংযুক্ত করে সরল অংশগুলির একটি সেট দ্বারা গঠিত। এই বক্ররেখা একটি বৃত্ত বা উপবৃত্ত হতে পারে। নীচের চিত্রটি একটি শঙ্কু দেখায়৷
উপস্থাপিত চিত্রটির কোনো আয়তন নেই, কারণ এর পৃষ্ঠের দেয়াল একটি অসীম পুরুত্ব রয়েছে। যাইহোক, যদি এটি একটি পদার্থ দিয়ে ভরা হয় এবং উপর থেকে বক্ররেখা দ্বারা নয়, একটি সমতল চিত্র দ্বারা আবদ্ধ থাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্ত, তাহলে আমরা একটি কঠিন ভলিউমেট্রিক বডি পাব, যাকে সাধারণত শঙ্কুও বলা হয়।
জীবনে প্রায়শই শঙ্কুর আকৃতি পাওয়া যায়। সুতরাং, এটিতে একটি আইসক্রিম শঙ্কু বা ডোরাকাটা কালো এবং কমলা ট্র্যাফিক শঙ্কু রয়েছে যা ট্রাফিক অংশগ্রহণকারীদের দৃষ্টি আকর্ষণ করার জন্য রাস্তার উপর রাখা হয়৷
শঙ্কুর উপাদান এবং এর ধরন
যেহেতু শঙ্কুটি পলিহেড্রন নয়, তাই এটি গঠনকারী উপাদানের সংখ্যা পলিহেড্রনের মতো বড় নয়। জ্যামিতিতে, একটি সাধারণ শঙ্কু নিম্নলিখিত উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত:
- বেস, যার আবদ্ধ বক্ররেখাকে বলা হয় ডাইরেক্ট্রিক্স বা জেনারাট্রিক্স;
- পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের, যা সরলরেখার সমস্ত বিন্দুর সংগ্রহ (জেনারেটিস) শীর্ষবিন্দু এবং গাইড বক্ররেখার বিন্দুকে সংযুক্ত করে;
- শীর্ষবিন্দু, যা জেনারেটিসের ছেদ বিন্দু।
উল্লেখ্য যে শীর্ষবিন্দুটি বেসের সমতলে থাকা উচিত নয়, কারণ এই ক্ষেত্রে শঙ্কুটি একটি সমতল চিত্রে পরিণত হয়।
যদি আমরা উপরের থেকে ভিত্তি পর্যন্ত একটি লম্ব অংশ আঁকি, আমরা চিত্রটির উচ্চতা পাব। যদি শেষ ভিত্তিটি জ্যামিতিক কেন্দ্রে ছেদ করে, তবে এটি একটি সরল শঙ্কু। যদি লম্ব বেসের জ্যামিতিক কেন্দ্রের সাথে মিলে না যায়, তাহলে চিত্রটি বাঁকানো হবে।
চিত্রে সোজা এবং তির্যক শঙ্কু দেখানো হয়েছে। এখানে, শঙ্কুর গোড়ার উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে h এবং r দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। যে রেখাটি চিত্রের শীর্ষ এবং ভিত্তির জ্যামিতিক কেন্দ্রকে সংযুক্ত করে সেটি হল শঙ্কুর অক্ষ। এটি চিত্র থেকে দেখা যায় যে একটি সরল চিত্রের জন্য, উচ্চতা এই অক্ষের উপর থাকে এবং একটি আনত চিত্রের জন্য, উচ্চতা অক্ষের সাথে একটি কোণ গঠন করে। শঙ্কুর অক্ষ a অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়।
গোলাকার ভিত্তি সহ সোজা শঙ্কু
সম্ভবত, এই শঙ্কুটি পরিসংখ্যানের বিবেচিত শ্রেণির মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ। এটি একটি বৃত্ত এবং একটি দিক নিয়ে গঠিতপৃষ্ঠতল জ্যামিতিক পদ্ধতি দ্বারা এটি প্রাপ্ত করা কঠিন নয়। এটি করার জন্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজ নিন এবং এটিকে একটি পায়ের সাথে মিলিত একটি অক্ষের চারপাশে ঘোরান। স্পষ্টতই, এই পাটি চিত্রের উচ্চতায় পরিণত হবে এবং ত্রিভুজের দ্বিতীয় পায়ের দৈর্ঘ্য শঙ্কুর গোড়ার ব্যাসার্ধ তৈরি করে। নীচের চিত্রটি প্রশ্নে ঘূর্ণন চিত্র পাওয়ার জন্য বর্ণিত স্কিমটি প্রদর্শন করে৷
চিত্রিত ত্রিভুজটি অন্য পায়ের চারপাশে ঘোরানো যেতে পারে, যার ফলে একটি বড় বেস ব্যাসার্ধ এবং প্রথমটির চেয়ে কম উচ্চতা সহ একটি শঙ্কু তৈরি হবে৷
একটি গোলাকার সোজা শঙ্কুর সমস্ত প্যারামিটার দ্ব্যর্থহীনভাবে নির্ধারণ করতে, এর যেকোন দুটি রৈখিক বৈশিষ্ট্য জানা উচিত। তাদের মধ্যে, ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h বা generatrix g এর দৈর্ঘ্য আলাদা করা হয়। এই সমস্ত পরিমাণগুলি বিবেচিত সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, তাই, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য তাদের সংযোগের জন্য বৈধ:
g2=r2+ h2.
পৃষ্ঠের এলাকা
যেকোন ত্রিমাত্রিক চিত্রের পৃষ্ঠ অধ্যয়ন করার সময়, এটি একটি সমতলে এর বিকাশ ব্যবহার করা সুবিধাজনক। শঙ্কু ব্যতিক্রম নয়। একটি বৃত্তাকার শঙ্কুর জন্য, উন্নয়নটি নীচে দেখানো হয়েছে৷
আমরা দেখতে পাই যে চিত্রটির উদ্ঘাটন দুটি অংশ নিয়ে গঠিত:
- যে বৃত্তটি শঙ্কুর ভিত্তি তৈরি করে।
- বৃত্তের সেক্টর, যা চিত্রটির শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ।
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া সহজ, এবং সংশ্লিষ্ট সূত্রটি প্রত্যেক শিক্ষার্থীর কাছে পরিচিত। সার্কুলার সেক্টর সম্পর্কে বলতে গেলে, আমরা এটি নোট করিব্যাসার্ধ জি (শঙ্কুর জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য) সহ একটি বৃত্তের অংশ। এই সেক্টরের চাপের দৈর্ঘ্য বেসের পরিধির সমান। এই পরামিতিগুলি দ্ব্যর্থহীনভাবে এর এলাকা নির্ধারণ করা সম্ভব করে তোলে। সংশ্লিষ্ট সূত্র হল:
S=pir2+ pirg.
অভিব্যক্তির প্রথম এবং দ্বিতীয় পদগুলি যথাক্রমে বেসের শঙ্কু এবং ক্ষেত্রফলের পাশের পৃষ্ঠ।
যদি জেনারেটরের g এর দৈর্ঘ্য অজানা থাকে, কিন্তু চিত্রটির উচ্চতা h দেওয়া হয়, তাহলে সূত্রটিকে এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
S=pir2+ pir√(r2+ h2)।
চিত্রের আয়তন
যদি আমরা একটি সরল পিরামিড নিই এবং তার ভিত্তির বাহুর সংখ্যা অসীমতায় বাড়াই, তাহলে ভিত্তিটির আকৃতি একটি বৃত্তের দিকে ঝুঁকবে এবং পিরামিডের পাশের পৃষ্ঠটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠের কাছে আসবে। এই বিবেচনাগুলি আমাদের একটি শঙ্কুর জন্য অনুরূপ মান গণনা করার সময় একটি পিরামিডের আয়তনের সূত্রটি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। সূত্র ব্যবহার করে শঙ্কুর আয়তন পাওয়া যাবে:
V=1/3hSo.
এই সূত্রটি সর্বদা সত্য, শঙ্কুর ভিত্তি যাই হোক না কেন, ক্ষেত্রফল So। তাছাড়া, সূত্রটি তির্যক শঙ্কুর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।
যেহেতু আমরা একটি বৃত্তাকার ভিত্তি সহ একটি সরল চিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করছি, আমরা এর আয়তন নির্ধারণ করতে নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করতে পারি:
V=1/3hpir2.
সূত্রটি সুস্পষ্ট।
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন খোঁজার সমস্যা
একটি শঙ্কু দেওয়া যাক, যার ব্যাসার্ধ 10 সেমি, এবং জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য 20এই আকৃতির জন্য ভলিউম এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে হবে দেখুন৷
ক্ষেত্র S গণনা করতে, আপনি অবিলম্বে উপরে লেখা সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন। আমাদের আছে:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
ভলিউম নির্ধারণ করতে, আপনাকে চিত্রটির উচ্চতা h জানতে হবে। আমরা শঙ্কুর রৈখিক পরামিতিগুলির মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে এটি গণনা করি। আমরা পাই:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 সেমি।
এখন আপনি V এর জন্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
উল্লেখ্য যে একটি বৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন হল সিলিন্ডারের এক তৃতীয়াংশ যা এতে খোদাই করা আছে।
