গণিতের শিক্ষকরা পঞ্চম শ্রেণির প্রথম দিকে তাদের ছাত্রদের "কম্বিনেটরিয়াল সমস্যা" ধারণার সাথে পরিচয় করিয়ে দেন। ভবিষ্যতে তাদের আরও জটিল কাজগুলির সাথে কাজ করতে সক্ষম হওয়ার জন্য এটি প্রয়োজনীয়। একটি সীমিত সেটের উপাদানগুলির গণনার মাধ্যমে একটি সমস্যার সমন্বিত প্রকৃতিকে এটি সমাধানের সম্ভাবনা হিসাবে বোঝা যায়৷
এই আদেশের কাজগুলির প্রধান লক্ষণ হল তাদের কাছে প্রশ্ন, যা শোনাচ্ছে "কতটি বিকল্প?" বা "কত উপায়ে?" সমন্বিত সমস্যার সমাধান সরাসরি নির্ভর করে সমাধানকারী অর্থ বুঝতে পেরেছেন কিনা, তিনি টাস্কে বর্ণিত ক্রিয়া বা প্রক্রিয়াটিকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করতে সক্ষম হয়েছেন কিনা।
কিভাবে একটি সমন্বিত সমস্যা সমাধান করবেন?
বিবেচ্য সমস্যায় সমস্ত সংযোগের ধরন সঠিকভাবে নির্ধারণ করা গুরুত্বপূর্ণ, তবে এতে উপাদানগুলির পুনরাবৃত্তি আছে কিনা, উপাদানগুলি নিজেরাই পরিবর্তিত হয় কিনা, তাদের ক্রম একটি বড় ভূমিকা পালন করে কিনা তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন।, এবং এছাড়াও অন্য কিছু সম্মান সঙ্গেফ্যাক্টর।
একটি সমন্বিত সমস্যায় অনেকগুলি সীমাবদ্ধতা থাকতে পারে যা সংযোগগুলিতে স্থাপন করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে এর সমাধানটি সম্পূর্ণরূপে গণনা করতে হবে এবং এই বিধিনিষেধগুলি সমস্ত উপাদানের সংযোগে কোনও প্রভাব ফেলে কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে। যদি সত্যিই কোনও প্রভাব থাকে তবে কোনটি তা পরীক্ষা করা দরকার।
কোথায় শুরু করবেন?
প্রথমে আপনাকে শিখতে হবে কিভাবে সহজতম সমন্বিত সমস্যা সমাধান করতে হয়। সাধারণ উপাদান আয়ত্ত করা আপনাকে আরও জটিল কাজগুলি বুঝতে শিখতে দেয়। এটি সুপারিশ করা হয় যে আপনি প্রথমে বিধিনিষেধগুলির সাথে সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করুন যা একটি সহজ বিকল্প বিবেচনা করার সময় বিবেচনা করা হয় না৷
এটিও সুপারিশ করা হয় যে প্রথমে সেই সমস্যাগুলি সমাধান করার চেষ্টা করুন যেখানে আপনাকে অল্প সংখ্যক সাধারণ উপাদান বিবেচনা করতে হবে। এইভাবে, আপনি নমুনা তৈরির নীতিটি বুঝতে সক্ষম হবেন এবং ভবিষ্যতে সেগুলি কীভাবে তৈরি করবেন তা শিখতে পারবেন। যে সমস্যাটির জন্য আপনাকে কম্বিনেটরিক্স ব্যবহার করতে হবে তা যদি বেশ কয়েকটি সহজের সমন্বয়ে গঠিত হয়, তবে এটিকে অংশে সমাধান করার পরামর্শ দেওয়া হয়।
মিশ্রিত সমস্যার সমাধান
এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করা সহজ বলে মনে হতে পারে, কিন্তু সমন্বয়বিদ্যা আয়ত্ত করা বেশ কঠিন, তাদের মধ্যে কয়েকটি গত কয়েকশ বছর ধরে সমাধান করা হয়নি। সবচেয়ে বিখ্যাত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল n সংখ্যাটি 4-এর চেয়ে বেশি হলে একটি বিশেষ আদেশের ম্যাজিক স্কোয়ারের সংখ্যা নির্ধারণ করা।
মিশ্রিত সমস্যাটি সম্ভাব্যতার তত্ত্বের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা মধ্যযুগীয় সময়ে আবির্ভূত হয়েছিল। সম্ভাব্যতাএকটি ইভেন্টের উত্স শুধুমাত্র সংমিশ্রণ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, এই ক্ষেত্রে সর্বোত্তম সমাধান পেতে জায়গাগুলিতে সমস্ত কারণগুলিকে বিকল্প করতে হবে৷
সমস্যা সমাধান
এই উপাদানটির সাথে কীভাবে কাজ করতে হয় তা ছাত্রদের এবং শিক্ষার্থীদের শেখানোর জন্য একটি সমাধানের সাথে সমন্বিত সমস্যাগুলি ব্যবহার করা হয়। সাধারণভাবে বলতে গেলে, তাদের উচিত একজন ব্যক্তির আগ্রহ এবং একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করার ইচ্ছা জাগানো। গাণিতিক গণনার পাশাপাশি, মানসিক চাপ প্রয়োগ করা এবং অনুমান ব্যবহার করা প্রয়োজন।
টাস্ক সেট সমাধানের প্রক্রিয়ায়, শিশু তার গাণিতিক কল্পনা এবং সমন্বিত ক্ষমতা বিকাশ করতে সক্ষম হবে, এটি ভবিষ্যতে তার জন্য গুরুতরভাবে কার্যকর হতে পারে। ক্রমান্বয়ে, বিদ্যমান জ্ঞান ভুলে না যাওয়ার জন্য এবং সেগুলিতে নতুন যোগ না করার জন্য সমাধানের কাজগুলির জটিলতার মাত্রা অবশ্যই বাড়াতে হবে৷
পদ্ধতি 1. বক্ষ
মিশ্রিত সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগুলি একে অপরের থেকে খুব আলাদা, কিন্তু সেগুলির সবকটিই শিক্ষার্থী একটি উত্তর পেতে ব্যবহার করতে পারে। সবচেয়ে সহজ এক, কিন্তু একই সময়ে, দীর্ঘতম উপায় হল পাশবিক শক্তি। এটির সাহায্যে, আপনাকে কোনো স্কিম এবং টেবিল কম্পাইল না করেই সম্ভাব্য সব সমাধানের মধ্য দিয়ে যেতে হবে।
একটি নিয়ম হিসাবে, এই জাতীয় সমস্যার প্রশ্নটি একটি ঘটনার উত্সের সম্ভাব্য রূপের সাথে সম্পর্কিত, উদাহরণস্বরূপ: 2, 4, 8, 9 সংখ্যাগুলি ব্যবহার করে কোন সংখ্যাগুলি তৈরি করা যেতে পারে? সমস্ত বিকল্পের মাধ্যমে অনুসন্ধান করে, সম্ভাব্য সমন্বয় সমন্বিত একটি উত্তর সংকলিত হয়। এই পদ্ধতি মহান যদি সম্ভাব্য বিকল্প সংখ্যাঅপেক্ষাকৃত ছোট।
পদ্ধতি 2. বিকল্পের গাছ
কিছু সমন্বিত সমস্যার সমাধান করা যেতে পারে শুধুমাত্র চার্ট তৈরি করে যা প্রতিটি উপাদান সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য দেয়। সম্ভাব্য বিকল্পগুলির একটি গাছ আঁকা একটি উত্তর খুঁজে বের করার আরেকটি উপায়। এটি এমন সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য উপযুক্ত যা খুব কঠিন নয়, যেখানে একটি অতিরিক্ত শর্ত রয়েছে৷
এমন একটি কাজের উদাহরণ:
0, 1, 7, 8 সংখ্যা থেকে কোন পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যায়? এটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণ থেকে একটি গাছ তৈরি করতে হবে এবং একটি অতিরিক্ত শর্ত রয়েছে - সংখ্যাটি শূন্য থেকে শুরু হতে পারে না। সুতরাং, উত্তরটি 1, 7 বা 8 দিয়ে শুরু হবে এমন সমস্ত সংখ্যা নিয়ে গঠিত হবে।
পদ্ধতি 3. টেবিল গঠন
টেবিল ব্যবহার করে সমন্বিত সমস্যাগুলিও সমাধান করা যেতে পারে। তারা সম্ভাব্য বিকল্পের গাছের মতো, কারণ তারা পরিস্থিতির একটি চাক্ষুষ সমাধান প্রস্তাব করে। সঠিক উত্তর খুঁজতে, আপনাকে একটি টেবিল তৈরি করতে হবে এবং এটি মিরর করা হবে: অনুভূমিক এবং উল্লম্ব অবস্থা একই হবে।
কলাম এবং সারির সংযোগস্থলে সম্ভাব্য উত্তর পাওয়া যাবে। এই ক্ষেত্রে, একই ডেটা সহ একটি কলাম এবং একটি সারির সংযোগস্থলে উত্তরগুলি পাওয়া যাবে না, এই ছেদগুলিকে বিশেষভাবে চিহ্নিত করতে হবে যাতে চূড়ান্ত উত্তর সংকলন করার সময় বিভ্রান্ত না হয়৷ এই পদ্ধতিটি প্রায়শই শিক্ষার্থীরা বেছে নেয় না, অনেকে বিকল্প সহ একটি গাছ পছন্দ করে।
পদ্ধতি 4. গুণন
সংযোজনীয় সমস্যা সমাধানের আরেকটি উপায় আছে - গুণের নিয়ম। তিনি সূক্ষ্মক্ষেত্রে উপযুক্ত যখন, শর্ত অনুযায়ী, সমস্ত সম্ভাব্য সমাধান তালিকাভুক্ত করা প্রয়োজন হয় না, আপনাকে কেবল তাদের সর্বাধিক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে। এই পদ্ধতিটি এক ধরণের, এটি প্রায়শই ব্যবহার করা হয় যখন শুধুমাত্র সমন্বিত সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করা হয়৷
এই ধরনের কাজের একটি উদাহরণ এইরকম দেখতে হতে পারে:
6 জন হলওয়েতে পরীক্ষার জন্য অপেক্ষা করছে। সাধারণ তালিকায় তাদের সাজানোর জন্য আপনি কতগুলি উপায় ব্যবহার করতে পারেন? একটি উত্তর পেতে, আপনাকে তাদের মধ্যে কয়টি প্রথম স্থানে, কতটি দ্বিতীয়, তৃতীয়, ইত্যাদি হতে পারে তা স্পষ্ট করতে হবে৷ উত্তরটি হবে 720 নম্বর৷
সংযোজনবিদ্যা এবং এর প্রকারগুলি
সংযোজনমূলক কাজটি কেবল স্কুলের উপাদানই নয়, বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরাও এটি অধ্যয়ন করে। বিজ্ঞানে বিভিন্ন ধরণের কম্বিনেটরিক্স রয়েছে এবং তাদের প্রত্যেকটির নিজস্ব মিশন রয়েছে। গণনামূলক কম্বিনেটরিক্সকে অতিরিক্ত শর্ত সহ সম্ভাব্য কনফিগারেশনের গণনা এবং গণনা বিবেচনা করা উচিত।
স্ট্রাকচারাল কম্বিনেটরিক্স হল বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রোগ্রামের একটি উপাদান, এটি ম্যাট্রয়েড এবং গ্রাফের তত্ত্ব অধ্যয়ন করে। চরম সমন্বয়বিদ্যাও বিশ্ববিদ্যালয়ের উপাদানের সাথে সম্পর্কিত, এবং এখানে স্বতন্ত্র সীমাবদ্ধতা রয়েছে। আরেকটি বিভাগ হল রামসে তত্ত্ব, যা উপাদানগুলির এলোমেলো পরিবর্তনের কাঠামোর অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত। এছাড়াও ভাষাগত সংমিশ্রণ রয়েছে, যা একে অপরের সাথে নির্দিষ্ট উপাদানের সামঞ্জস্যের প্রশ্ন নিয়ে কাজ করে।
সংযোজনীয় সমস্যা শেখানোর পদ্ধতি
টিউটোরিয়াল অনুযায়ীপরিকল্পনা, ছাত্রদের বয়স, যা এই উপাদানটির সাথে প্রাথমিক পরিচিতি এবং সমন্বিত সমস্যা সমাধানের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, গ্রেড 5। সেখানেই প্রথমবারের মতো এই বিষয়টি শিক্ষার্থীদের বিবেচনার জন্য দেওয়া হয়, তারা সমন্বিততার ঘটনাটির সাথে পরিচিত হয় এবং তাদের জন্য নির্ধারিত কাজগুলি সমাধান করার চেষ্টা করে। একই সময়ে, এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে একটি সমন্বিত সমস্যা সেট করার সময়, একটি পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় যখন শিশুরা নিজেরাই প্রশ্নের উত্তর খুঁজছে।
অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে, এই বিষয়টি অধ্যয়ন করার পরে, ফ্যাক্টরিয়াল ধারণাটি চালু করা এবং সমীকরণ, সমস্যা ইত্যাদি সমাধান করার সময় এটি ব্যবহার করা আরও সহজ হবে। এইভাবে, সমন্বিততা পরবর্তী শিক্ষার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
সংযোজনীয় সমস্যা: কেন তাদের প্রয়োজন?
যদি আপনি জানেন যে সমন্বিত সমস্যাগুলি কী, তাহলে আপনি তাদের সমাধানে কোনও অসুবিধা অনুভব করবেন না। এগুলি সমাধানের কৌশলটি কার্যকর হতে পারে যখন আপনাকে সময়সূচী, কাজের সময়সূচী, সেইসাথে জটিল গাণিতিক গণনা তৈরি করতে হবে যা ইলেকট্রনিক ডিভাইসের জন্য উপযুক্ত নয়৷
গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের গভীর অধ্যয়ন সহ স্কুলগুলিতে, সমন্বিত সমস্যাগুলি অতিরিক্ত অধ্যয়ন করা হয়; এর জন্য, বিশেষ পাঠ্যক্রম, শিক্ষার সহায়ক এবং কাজগুলি সংকলন করা হয়। একটি নিয়ম হিসাবে, ইউনিফাইড স্টেট গণিত পরীক্ষায় এই ধরণের বেশ কয়েকটি সমস্যা অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে, সাধারণত সেগুলি সি অংশে "লুকানো" থাকে।
কিভাবে একটি সমন্বিত সমস্যা দ্রুত সমাধান করবেন?
মিশ্রিত সমস্যাটি দেখতে পারা খুবই গুরুত্বপূর্ণদ্রুত, যেহেতু এটি একটি গোপন শব্দ থাকতে পারে, এটি পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার সময় বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে প্রতি মিনিট গণনা করা হয়। একটি কাগজের টুকরোতে আপনি সমস্যার পাঠ্যটিতে যে তথ্যগুলি দেখতে পাচ্ছেন তা আলাদাভাবে লিখুন এবং তারপরে আপনি যে চারটি উপায় জানেন তার পরিপ্রেক্ষিতে এটি বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করুন৷
যদি আপনি একটি টেবিল বা অন্য ফর্মেশনে তথ্য রাখতে পারেন তবে এটি সমাধান করার চেষ্টা করুন। যদি আপনি এটিকে শ্রেণীবদ্ধ করতে না পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে এটিকে কিছুক্ষণের জন্য ছেড়ে দেওয়া এবং অন্য কাজে চলে যাওয়া ভাল যাতে মূল্যবান সময় নষ্ট না হয়। এই ধরনের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কাজ আগেই সমাধান করে এই পরিস্থিতি এড়ানো যেতে পারে।
আমি উদাহরণ কোথায় পাব?
একমাত্র জিনিস যা আপনাকে শিখতে সাহায্য করবে কিভাবে সম্মিলিত সমস্যা সমাধান করতে হয় তা হল উদাহরণ। আপনি এগুলিকে বিশেষ গাণিতিক সংগ্রহগুলিতে খুঁজে পেতে পারেন যা শিক্ষামূলক সাহিত্যের দোকানে বিক্রি হয়। যাইহোক, সেখানে আপনি শুধুমাত্র বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য তথ্য পেতে পারেন, স্কুলছাত্রীদের অতিরিক্ত কাজগুলি সন্ধান করতে হবে, একটি নিয়ম হিসাবে, তাদের জন্য কাজগুলি অন্যান্য শিক্ষক দ্বারা উদ্ভাবিত হয়৷
উচ্চ শিক্ষার শিক্ষকরা বিশ্বাস করেন যে শিক্ষার্থীদের প্রশিক্ষণ দিতে হবে এবং ক্রমাগত তাদের অতিরিক্ত শিক্ষামূলক সাহিত্য সরবরাহ করতে হবে। সেরা সংগ্রহগুলির মধ্যে একটি হল "মেথডস অফ ডিসক্রিট অ্যানালাইসিস ইন সলভিং কম্বিনেটোরিয়াল প্রবলেম", যা 1977 সালে লেখা এবং দেশের শীর্ষস্থানীয় প্রকাশনা সংস্থাগুলি দ্বারা বারবার প্রকাশিত হয়েছে। সেখানেই আপনি সেই সময়ে প্রাসঙ্গিক কাজগুলি খুঁজে পেতে পারেন এবং আজও প্রাসঙ্গিক৷
আপনি যদি একটি সমন্বিত সমস্যা তৈরি করতে চান তাহলে কী করবেন?
প্রায়শই, সমন্বিত সমস্যাগুলি রচনা করা প্রয়োজন৷শিক্ষক যারা ছাত্রদের বাক্সের বাইরে চিন্তা করতে শেখাতে বাধ্য। এখানে সবকিছু নির্ভর করবে কম্পাইলারের সৃজনশীল সম্ভাবনার উপর। বিদ্যমান সংগ্রহগুলিতে মনোযোগ দেওয়ার এবং একটি সমস্যা রচনা করার চেষ্টা করার পরামর্শ দেওয়া হয় যাতে এটি একবারে এটি সমাধান করার বিভিন্ন উপায় একত্রিত করে এবং বই থেকে বিভিন্ন ডেটা থাকে৷
এই বিষয়ে বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষকরা স্কুলের শিক্ষকদের তুলনায় অনেক বেশি স্বাধীন, তারা প্রায়শই তাদের ছাত্রদের বিশদ সমাধানের পদ্ধতি এবং ব্যাখ্যা সহ সমন্বিত সমস্যাগুলি নিজেরাই নিয়ে আসার কাজ দেন। আপনি যদি একজন বা অন্য কেউ না হন তবে আপনি তাদের কাছ থেকে সাহায্য চাইতে পারেন যারা সত্যিই সমস্যাটি বোঝেন, সেইসাথে একজন প্রাইভেট টিউটর ভাড়া করতে পারেন। একই ধরনের সমস্যা তৈরির জন্য একটি একাডেমিক ঘন্টাই যথেষ্ট।
সংযোজনবিদ্যা - ভবিষ্যতের বিজ্ঞান?
গণিত এবং পদার্থবিদ্যার ক্ষেত্রের অনেক বিশেষজ্ঞ বিশ্বাস করেন যে এটি সমন্বিত সমস্যা যা সমস্ত প্রযুক্তিগত বিজ্ঞানের বিকাশে একটি অনুপ্রেরণা হতে পারে। কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য একটি অ-মানক পদ্ধতি গ্রহণ করা যথেষ্ট, এবং তারপরে কয়েক শতাব্দী ধরে বিজ্ঞানীদের তাড়িত করা প্রশ্নের উত্তর দেওয়া সম্ভব হবে। তাদের মধ্যে কেউ কেউ গুরুত্ব সহকারে যুক্তি দেন যে কম্বিনেটরিক্স সমস্ত আধুনিক বিজ্ঞান, বিশেষ করে মহাকাশবিজ্ঞানের জন্য একটি সাহায্য। সমন্বিত সমস্যা ব্যবহার করে জাহাজের ফ্লাইট পাথ গণনা করা অনেক সহজ হবে, এবং তারা আপনাকে নির্দিষ্ট মহাকাশীয় বস্তুর সঠিক অবস্থান নির্ধারণ করতেও অনুমতি দেবে।
এশীয় দেশগুলিতে একটি অ-মানক পদ্ধতির বাস্তবায়ন অনেক আগে থেকেই শুরু হয়েছে, যেখানে শিক্ষার্থীরাওগুণ, বিয়োগ, যোগ এবং ভাগ সমন্বিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। অনেক ইউরোপীয় বিজ্ঞানীদের বিস্মিত করার জন্য, কৌশলটি সত্যিই কাজ করে। ইউরোপের স্কুলগুলো এখন পর্যন্ত তাদের সহকর্মীদের অভিজ্ঞতা থেকে শিখতে শুরু করেছে। ঠিক কবে কম্বিনেটরিক্স গণিতের অন্যতম প্রধান শাখায় পরিণত হবে, তা অনুমান করা কঠিন। এখন বিশ্বের নেতৃস্থানীয় বিজ্ঞানীদের দ্বারা বিজ্ঞান অধ্যয়ন করা হচ্ছে যারা এটিকে জনপ্রিয় করতে চায়৷
