স্থানিক পরিসংখ্যানের আয়তন গণনা করার ক্ষমতা জ্যামিতির বেশ কয়েকটি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ। সবচেয়ে সাধারণ আকারগুলির মধ্যে একটি হল পিরামিড। এই নিবন্ধে, আমরা পিরামিডের আয়তনের সূত্রগুলি বিবেচনা করব, উভয়ই পূর্ণ এবং ছাঁটা।
ত্রিমাত্রিক চিত্র হিসেবে পিরামিড
সবাই মিশরীয় পিরামিড সম্পর্কে জানেন, তাই তাদের একটি ভাল ধারণা আছে যে কোন চিত্রটি আলোচনা করা হবে। যাইহোক, মিশরীয় পাথরের কাঠামোগুলি বিশাল শ্রেণীর পিরামিডের একটি বিশেষ কেস মাত্র।
সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচিত জ্যামিতিক বস্তু হল একটি বহুভুজ ভিত্তি, যার প্রতিটি শীর্ষবিন্দু মহাকাশের এমন কিছু বিন্দুর সাথে সংযুক্ত যা বেস সমতলের অন্তর্গত নয়। এই সংজ্ঞাটি একটি এন-গন এবং এন ত্রিভুজ সমন্বিত একটি চিত্রের দিকে নিয়ে যায়।
যেকোনো পিরামিড n+1 মুখ, 2n প্রান্ত এবং n+1 শীর্ষবিন্দু নিয়ে গঠিত। যেহেতু বিবেচনাধীন চিত্রটি একটি নিখুঁত পলিহেড্রন, চিহ্নিত উপাদানের সংখ্যা অয়লার সমতা মেনে চলে:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
বেসে থাকা বহুভুজটি পিরামিডের নাম দেয়,উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজাকার, পঞ্চভুজ, এবং তাই। নীচের ফটোতে বিভিন্ন বেস সহ পিরামিডের একটি সেট দেখানো হয়েছে৷
যে বিন্দুতে চিত্রের n ত্রিভুজ সংযুক্ত থাকে তাকে পিরামিডের শীর্ষ বলে। যদি একটি লম্বকে এটি থেকে বেসের দিকে নামানো হয় এবং এটি জ্যামিতিক কেন্দ্রে ছেদ করে, তাহলে এই ধরনের চিত্রটিকে একটি সরলরেখা বলা হবে। যদি এই শর্তটি পূরণ না হয়, তাহলে একটি বাঁকানো পিরামিড রয়েছে৷
একটি সরল চিত্র যার ভিত্তি একটি সমবাহু (সমভুজাকার) এন-গন দ্বারা গঠিত হয় তাকে নিয়মিত বলা হয়।
পিরামিড ভলিউম সূত্র
পিরামিডের আয়তন গণনা করতে, আমরা অখণ্ড ক্যালকুলাস ব্যবহার করি। এটি করার জন্য, আমরা বেসের সমান্তরাল সেকেন্ট প্লেন দ্বারা চিত্রটিকে অসীম সংখ্যক পাতলা স্তরগুলিতে ভাগ করি। নীচের চিত্রটি উচ্চতা h এবং পাশের দৈর্ঘ্য L সহ একটি চতুর্ভুজাকার পিরামিড দেখায়, যেখানে অংশের একটি পাতলা স্তর একটি চতুর্ভুজ দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে৷
এই জাতীয় প্রতিটি স্তরের ক্ষেত্রফল সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
A(z)=A0(h-z)2/h2।
এখানে A0 হল বেসের ক্ষেত্রফল, z হল উল্লম্ব স্থানাঙ্কের মান। দেখা যায় যে যদি z=0 হয়, তাহলে সূত্রটি A0।
।
পিরামিডের আয়তনের সূত্র পেতে, আপনাকে চিত্রটির সমগ্র উচ্চতার উপর অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে হবে, তা হল:
V=∫h0(A(z)dz)।
নির্ভরতা A(z) প্রতিস্থাপন এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ গণনা করে, আমরা অভিব্যক্তিতে পৌঁছেছি:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
আমরা পিরামিডের আয়তনের সূত্র পেয়েছি। V-এর মান বের করার জন্য, চিত্রের উচ্চতাকে ভিত্তির ক্ষেত্রফল দ্বারা গুণ করা এবং তারপর ফলাফলটিকে তিনটি দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট।
মনে রাখবেন যে ফলাফলের অভিব্যক্তিটি একটি নির্বিচারী ধরণের পিরামিডের আয়তন গণনার জন্য বৈধ। অর্থাৎ, এটি বাঁকানো হতে পারে এবং এর ভিত্তিটি একটি নির্বিচারে এন-গন হতে পারে।
সঠিক পিরামিড এবং এর আয়তন
উপরের অনুচ্ছেদে প্রাপ্ত আয়তনের সাধারণ সূত্রটি সঠিক ভিত্তি সহ একটি পিরামিডের ক্ষেত্রে পরিমার্জিত করা যেতে পারে। এই ধরনের বেসের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
A0=n/4L2ctg(pi/n)।
এখানে L হল n শীর্ষবিন্দু সহ একটি নিয়মিত বহুভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য। চিহ্ন পাই হল সংখ্যা pi।
A0 এর অভিব্যক্তিটিকে সাধারণ সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা একটি নিয়মিত পিরামিডের আয়তন পাই:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n)।
উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের জন্য, এই সূত্রটি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তির দিকে নিয়ে যায়:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের জন্য, আয়তনের সূত্রটি হয়:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
নিয়মিত পিরামিডের আয়তন নির্ধারণের জন্য তাদের ভিত্তির দিক এবং চিত্রের উচ্চতা জানা প্রয়োজন।
ছেঁড়া পিরামিড
ধরুন আমরা নিলামএকটি নির্বিচারে পিরামিড এবং তার পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের উপরের অংশের একটি অংশ কেটে ফেলে। অবশিষ্ট চিত্রটিকে একটি কাটা পিরামিড বলা হয়। এটি ইতিমধ্যে দুটি এন-গোনাল বেস এবং এন ট্র্যাপিজয়েড নিয়ে গঠিত যা তাদের সংযুক্ত করে। যদি কাটিং প্লেনটি চিত্রের ভিত্তির সমান্তরাল হয়, তবে সমান্তরাল অনুরূপ ঘাঁটিগুলির সাথে একটি কাটা পিরামিড গঠিত হয়। অর্থাৎ, তাদের একটির বাহুর দৈর্ঘ্য অন্যটির দৈর্ঘ্যকে কিছু সহগ k দ্বারা গুণ করে পাওয়া যেতে পারে।
উপরের ছবিটি একটি কাটা নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিড দেখায়। এটি দেখা যায় যে নীচেরটির মতো এর উপরের ভিত্তিটি একটি নিয়মিত ষড়ভুজ দ্বারা গঠিত।
একটি কাটা পিরামিডের আয়তনের সূত্র, যা প্রদত্ত পিরামিডের অনুরূপ একটি অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, হল:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1))।
যেখানে A0 এবং A1 যথাক্রমে নিম্ন (বড়) এবং উপরের (ছোট) ঘাঁটির এলাকা। ভেরিয়েবল h হল ছোট করা পিরামিডের উচ্চতা।
চেওপসের পিরামিডের আয়তন
এটি সবচেয়ে বড় মিশরীয় পিরামিডের ভিতরে থাকা আয়তন নির্ধারণের সমস্যার সমাধান করা আকর্ষণীয়৷
1984 সালে, ব্রিটিশ ইজিপ্টোলজিস্ট মার্ক লেহনার এবং জন গুডম্যান চেওপস পিরামিডের সঠিক মাত্রা প্রতিষ্ঠা করেছিলেন। এর মূল উচ্চতা ছিল 146.50 মিটার (বর্তমানে প্রায় 137 মিটার)। কাঠামোর চার পাশের প্রতিটির গড় দৈর্ঘ্য ছিল ২৩০.৩৬৩ মিটার।পিরামিডের ভিত্তিটি উচ্চ নির্ভুলতার সাথে বর্গাকার৷
আসুন এই প্রস্তর দৈত্যের আয়তন নির্ধারণ করতে প্রদত্ত পরিসংখ্যান ব্যবহার করা যাক। যেহেতু পিরামিড একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার, তাই এর জন্য সূত্রটি বৈধ:
V4=1/3L2h.
সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Cheops পিরামিডের আয়তন প্রায় 2.6 মিলিয়ন m3। তুলনা করার জন্য, আমরা লক্ষ্য করি যে অলিম্পিক পুলের আয়তন 2.5 হাজার m3। অর্থাৎ, পুরো চেওপস পিরামিড পূরণ করতে, এই পুলের মধ্যে 1000 টিরও বেশি প্রয়োজন হবে!
