কোনও স্থানিক চিত্র অধ্যয়ন করার সময়, এটির আয়তন কীভাবে গণনা করা যায় তা জানা গুরুত্বপূর্ণ। এই নিবন্ধটি একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের আয়তনের জন্য একটি সূত্র প্রদান করে এবং সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ ব্যবহার করে এই সূত্রটি কীভাবে ব্যবহার করা উচিত তাও দেখায়৷
আমরা কোন পিরামিডের কথা বলছি?
প্রতিটি উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থী জানে যে একটি পিরামিড হল একটি পলিহেড্রন যা ত্রিভুজ এবং একটি বহুভুজ নিয়ে গঠিত। পরেরটি চিত্রের ভিত্তি। ত্রিভুজগুলির ভিত্তির সাথে একটি সাধারণ দিক থাকে এবং একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, যা পিরামিডের শীর্ষ।
প্রতিটি পিরামিড বেসের পাশের দৈর্ঘ্য, পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পরেরটি একটি লম্ব অংশ, চিত্রের শীর্ষ থেকে বেসে নামানো হয়েছে৷
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিড হল একটি বর্গাকার ভিত্তি সহ একটি চিত্র, যার উচ্চতা এই বর্গক্ষেত্রটিকে এর কেন্দ্রে ছেদ করে। সম্ভবত এই ধরনের পিরামিডের সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ হল প্রাচীন মিশরীয় পাথরের কাঠামো। নীচে একটি ফটো আছেচিপসের পিরামিড।
অধ্যয়নের অধীনে চিত্রটির পাঁচটি মুখ রয়েছে, যার মধ্যে চারটি অভিন্ন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এটি পাঁচটি শীর্ষবিন্দু দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়েছে, যার মধ্যে চারটি ভিত্তির অন্তর্গত এবং আটটি প্রান্ত (বেসের 4টি প্রান্ত এবং পাশের মুখের 4টি প্রান্ত)।
চতুর্ভুজাকার পিরামিডের আয়তনের সূত্রটি সঠিক
প্রশ্নে থাকা চিত্রটির আয়তন হল স্থানের একটি অংশ যা পাঁচটি দিক দ্বারা সীমাবদ্ধ। এই ভলিউমটি গণনা করার জন্য, আমরা পিরামিডের ভিত্তির সমান্তরাল একটি স্লাইসের ক্ষেত্রফলের উপর নির্ভরশীলতা ব্যবহার করি
Sz=So (h - z/h)2
এখানে So হল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। যদি আমরা লিখিত অভিব্যক্তিতে z=h প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা Sz এর জন্য একটি শূন্য মান পাব। z-এর এই মানটি একটি স্লাইসের সাথে মিলে যায় যেটিতে পিরামিডের শুধুমাত্র উপরের অংশ থাকবে। যদি z=0, তাহলে আমরা বেস ক্ষেত্রফলের মান পাব So.
আপনি যদি Sz(z) ফাংশনটি জানেন তবে পিরামিডের আয়তন খুঁজে পাওয়া সহজ, এর জন্য এটি একটি অসীম সংখ্যায় চিত্রটি কেটে ফেলাই যথেষ্ট। স্তর বেস সমান্তরাল, এবং তারপর ইন্টিগ্রেশন অপারেশন বহন. আমি এই কৌশলটি অনুসরণ করি, আমরা পাই:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
কারণ S0 হলবর্গক্ষেত্র ভিত্তির ক্ষেত্রফল, তারপর, a অক্ষর দিয়ে বর্গক্ষেত্রের দিক নির্দেশ করে, আমরা একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের আয়তনের সূত্র পাই:
V=1/3a2h.
এখন এই অভিব্যক্তিটি কীভাবে প্রয়োগ করা উচিত তা দেখানোর জন্য সমস্যা সমাধানের উদাহরণ ব্যবহার করা যাক।
একটি পিরামিডের আয়তন নির্ণয় করার সমস্যা তার অপথেম এবং পাশের প্রান্ত দিয়ে
পিরামিডের অ্যাপোথেম হল এর পার্শ্বীয় ত্রিভুজের উচ্চতা, যা ভিত্তির পাশে নামানো হয়। যেহেতু সমস্ত ত্রিভুজ একটি নিয়মিত পিরামিডে সমান, তাদের অ্যাপোথেমগুলিও একই হবে। এর দৈর্ঘ্য hb দিয়ে বোঝানো যাক। পাশের প্রান্তটিকে b হিসাবে চিহ্নিত করুন।
পিরামিডের অ্যাপোথেম 12 সেমি, এবং এর পার্শ্বীয় প্রান্তটি 15 সেমি, জেনে একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের আয়তন খুঁজুন।
আগের অনুচ্ছেদে লেখা চিত্রের আয়তনের সূত্রটিতে দুটি পরামিতি রয়েছে: পাশের দৈর্ঘ্য a এবং উচ্চতা h। এই মুহুর্তে, আমরা তাদের কাউকে চিনি না, তাই আসুন তাদের হিসাব দেখে নেওয়া যাক।
একটি বর্গক্ষেত্র a-এর বাহুর দৈর্ঘ্য গণনা করা সহজ যদি আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেন, যেখানে কর্ণের প্রান্তটি হয় b, এবং পা হল apothem h b এবং বেসের পাশের অর্ধেক a/2। আমরা পাই:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
পরিচিত মানগুলিকে শর্ত থেকে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা a=18 সেমি মান পাই।
পিরামিডের h উচ্চতা গণনা করতে, আপনি দুটি জিনিস করতে পারেন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার বিবেচনা করুনএকটি কর্ণ-পার্শ্বিক প্রান্ত সহ একটি ত্রিভুজ বা একটি কর্ণ-অ্যাপোথেম সহ। উভয় পদ্ধতিই সমান এবং একই সংখ্যক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের কর্মক্ষমতা জড়িত। আসুন আমরা একটি ত্রিভুজের বিবেচনায় আসি, যেখানে কর্ণ হল apothem hb। এর মধ্যে পা হবে h এবং a/2। তারপর আমরা পাই:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 সেমি।
এখন আপনি ভলিউম V এর জন্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 সেমি 3।
এইভাবে, একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের আয়তন প্রায় 0.86 লিটার।
চেওপসের পিরামিডের আয়তন
এখন আসুন একটি আকর্ষণীয় এবং কার্যত গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার সমাধান করা যাক: গিজার বৃহত্তম পিরামিডের আয়তন খুঁজুন। সাহিত্য থেকে জানা যায় যে বিল্ডিংয়ের মূল উচ্চতা ছিল 146.5 মিটার এবং এর ভিত্তিটির দৈর্ঘ্য 230.363 মিটার। এই সংখ্যাগুলি আমাদেরকে V গণনার সূত্র প্রয়োগ করতে দেয়৷ আমরা পাই:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 মি 3।
ফলিত মান প্রায় 2.6 মিলিয়ন m3। এই আয়তনটি একটি ঘনকের আয়তনের সাথে মিলে যায় যার পাশ 137.4 মিটার৷
