ঘূর্ণন গতির গতিবিদ্যা এবং গতিবিদ্যার পরিমাণগত অধ্যয়নের জন্য একটি বস্তুগত বিন্দুর জড়তার মুহূর্ত এবং ঘূর্ণনের অক্ষের সাথে সম্পর্কিত একটি অনমনীয় দেহের জ্ঞান প্রয়োজন। আমরা নিবন্ধে বিবেচনা করব আমরা কোন প্যারামিটার সম্পর্কে কথা বলছি, এবং এটি নির্ধারণের জন্য একটি সূত্রও দেব।
ভৌত পরিমাণ সম্পর্কে সাধারণ তথ্য
প্রথমে, আসুন একটি বস্তুগত বিন্দু এবং একটি অনমনীয় দেহের জড়তার মুহূর্তটি সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং তারপর দেখাই যে এটি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানে কীভাবে ব্যবহার করা উচিত।
অক্ষের চারদিকে r দূরত্বে ঘোরে এমন একটি ভর m সহ একটি বিন্দুর জন্য নির্দেশিত শারীরিক বৈশিষ্ট্যের অধীনে, নিম্নলিখিত মানটি বোঝানো হয়েছে:
I=mr²।
যেখানে এটি অনুসরণ করে যে অধ্যয়ন করা প্যারামিটারের পরিমাপের একক হল প্রতি বর্গমিটারে কিলোগ্রাম (কেজিমি²)।
যদি, একটি অক্ষের চারপাশে একটি বিন্দুর পরিবর্তে, জটিল আকৃতির একটি দেহ ঘোরে, যার নিজের ভিতরে ভরের একটি নির্বিচারে বন্টন রয়েছে, তবে এর জড়তার মুহূর্ত নির্ধারিত হয়তাই:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV)।
যেখানে ρ হল শরীরের ঘনত্ব। অবিচ্ছেদ্য সূত্র ব্যবহার করে, আপনি একেবারে যে কোনও ঘূর্ণনের সিস্টেমের জন্য I-এর মান নির্ধারণ করতে পারেন।
অনুবাদগত গতির জন্য ভরের মতো ঘূর্ণনের জন্য জড়তার মুহূর্তটির ঠিক একই অর্থ রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ, সবাই জানে যে লম্বের চেয়ে তার হাতল দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের চারপাশে একটি ফ্লোর মপ ঘোরানো সবচেয়ে সহজ। এটি এই কারণে যে প্রথম ক্ষেত্রে জড়তার মুহূর্ত দ্বিতীয়টির তুলনায় অনেক কম।
আমি বিভিন্ন আকারের দেহের জন্য মূল্যবান
ঘূর্ণনের জন্য পদার্থবিজ্ঞানে সমস্যা সমাধান করার সময়, একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক আকৃতির শরীরের জন্য জড়তার মুহূর্তটি প্রায়ই জানা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, একটি সিলিন্ডার, বল বা রডের জন্য। যদি আমরা I-এর জন্য উপরে লেখা সূত্রটি প্রয়োগ করি, তাহলে সমস্ত চিহ্নিত সংস্থার জন্য সংশ্লিষ্ট অভিব্যক্তি পাওয়া সহজ। নিচে তাদের কয়েকটির সূত্র দেওয়া হল:
রড: I=1 / 12ML²;
সিলিন্ডার: I=1 / 2MR²;
গোলক: I=2 / 5MR².
এখানে আমাকে ঘূর্ণনের অক্ষের জন্য দেওয়া হয়েছে, যা শরীরের ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। একটি সিলিন্ডারের ক্ষেত্রে, অক্ষটি চিত্রের জেনারেটরের সমান্তরাল। অন্যান্য জ্যামিতিক সংস্থাগুলির জন্য জড়তার মুহূর্ত এবং ঘূর্ণনের অক্ষগুলির অবস্থানের জন্য বিকল্পগুলি সংশ্লিষ্ট টেবিলে পাওয়া যাবে। উল্লেখ্য যে আমি বিভিন্ন পরিসংখ্যান নির্ধারণ করতে, শুধুমাত্র একটি জ্যামিতিক প্যারামিটার এবং শরীরের ভর জানা যথেষ্ট।
স্টেইনারের উপপাদ্য এবং সূত্র
ঘূর্ণনের অক্ষ শরীর থেকে কিছু দূরত্বে অবস্থিত হলে জড়তার মুহূর্ত নির্ধারণ করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে এই অংশটির দৈর্ঘ্য এবং এর ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষের সাপেক্ষে শরীরের IOমান জানতে হবে, যা নীচের অংশের সমান্তরাল হওয়া উচিত বিবেচনা পরামিতি IO এবং অজানা মান I এর মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করা স্টেইনারের উপপাদ্যে স্থির করা হয়েছে। একটি বস্তুগত বিন্দু এবং একটি অনমনীয় শরীরের জড়তার মুহূর্তটি গাণিতিকভাবে নিম্নরূপ লেখা হয়:
I=IO+ Mh2.
এখানে M হল শরীরের ভর, h হল ভরের কেন্দ্র থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্ব, যার সাপেক্ষে I গণনা করা প্রয়োজন। এই অভিব্যক্তিটি আপনার নিজের থেকে পাওয়া সহজ যদি আপনি I-এর জন্য অবিচ্ছেদ্য সূত্রটি ব্যবহার করুন এবং বিবেচনা করুন যে শরীরের সমস্ত বিন্দু দূরত্বে রয়েছে r=r0 + h.
স্টেইনারের উপপাদ্যটি অনেক ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে I-এর সংজ্ঞাটিকে ব্যাপকভাবে সরল করে। উদাহরণ স্বরূপ, যদি আপনার শেষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের সাপেক্ষে L এবং ভর M দৈর্ঘ্যের রডের জন্য I খুঁজে বের করতে হয়, তাহলে স্টেইনার উপপাদ্য প্রয়োগ করলে আপনি লিখতে পারবেন:
I=IO+ M(L/2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
আপনি সংশ্লিষ্ট টেবিলটি উল্লেখ করতে পারেন এবং দেখতে পারেন যে এটির শেষে ঘূর্ণনের একটি অক্ষ সহ একটি পাতলা রডের জন্য ঠিক এই সূত্রটি রয়েছে।
মুহূর্ত সমীকরণ
ঘূর্ণনের পদার্থবিজ্ঞানে মুহুর্তের সমীকরণ বলে একটি সূত্র রয়েছে। এটা এই মত দেখাচ্ছে:
M=আমিα.
এখানে M হল বলের মুহূর্ত, α হল কৌণিক ত্বরণ। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি বস্তুগত বিন্দুর জড়তার মুহূর্ত এবং একটি অনমনীয় দেহ এবং শক্তির মুহূর্ত একে অপরের সাথে রৈখিকভাবে সম্পর্কিত। M মানটি সিস্টেমে ত্বরণ α সহ একটি ঘূর্ণন গতি তৈরি করতে কিছু বল F এর সম্ভাবনা নির্ধারণ করে। M গণনা করতে, নিম্নলিখিত সহজ অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করুন:
M=Fd.
যেখানে d হল সেই মুহূর্তের কাঁধ, যা বল ভেক্টর F থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্বের সমান। ডি বাহু যত ছোট হবে, সিস্টেমের ঘূর্ণন তৈরি করতে শক্তির ক্ষমতা তত কম হবে।
মুহুর্তের সমীকরণটি এর অর্থে সম্পূর্ণরূপে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই ক্ষেত্রে, আমি জড় ভরের ভূমিকা পালন করি৷
সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
আসুন একটি সিস্টেম কল্পনা করা যাক যেটি একটি সিলিন্ডার যা একটি ওজনহীন অনুভূমিক রড সহ একটি উল্লম্ব অক্ষের উপর স্থির। এটি জানা যায় যে ঘূর্ণনের অক্ষ এবং সিলিন্ডারের প্রধান অক্ষ একে অপরের সমান্তরাল, এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব 30 সেমি। সিলিন্ডারের ভর 1 কেজি, এবং এর ব্যাসার্ধ 5 সেমি। একটি বল 10 ঘূর্ণনের গতিপথে N স্পর্শক চিত্রটির উপর কাজ করে, যার ভেক্টরটি সিলিন্ডারের প্রধান অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়। চিত্রটির কৌণিক ত্বরণ নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যা এই বলটি ঘটাবে।
প্রথম, আই সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত গণনা করা যাক। এটি করার জন্য, স্টেইনার উপপাদ্য প্রয়োগ করুন, আমাদের আছে:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0.09125 kgm²।
মুহূর্ত সমীকরণ ব্যবহার করার আগে, আপনাকে করতে হবেবল M এর মুহূর্ত নির্ধারণ করুন। এই ক্ষেত্রে, আমাদের আছে:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
এখন আপনি ত্বরণ নির্ধারণ করতে পারেন:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s²।
গণনা করা কৌণিক ত্বরণ নির্দেশ করে যে প্রতি সেকেন্ডে সিলিন্ডারের গতি প্রতি সেকেন্ডে 5.2 ঘূর্ণন বৃদ্ধি পাবে।
