স্টেইনারের উপপাদ্য বা জড়তার মুহূর্ত গণনার জন্য সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

ঘূর্ণন গতির গাণিতিক বর্ণনায়, অক্ষ সম্পর্কে সিস্টেমের জড়তার মুহূর্তটি জানা গুরুত্বপূর্ণ। সাধারণ ক্ষেত্রে, এই পরিমাণ খুঁজে বের করার পদ্ধতিতে ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়ার বাস্তবায়ন জড়িত। তথাকথিত স্টেইনার উপপাদ্যটি গণনা করা সহজ করে তোলে। আসুন নিবন্ধে এটি আরও বিশদে বিবেচনা করা যাক।

জড়তার মুহূর্ত কি?

স্টেইনারের উপপাদ্যের প্রণয়ন দেওয়ার আগে, জড়তার মুহূর্তের ধারণাটি মোকাবেলা করা প্রয়োজন। ধরুন একটি নির্দিষ্ট ভর এবং নির্বিচারে আকৃতির কিছু বডি আছে। এই দেহটি হয় বস্তুগত বিন্দু বা যেকোনো দ্বি-মাত্রিক বা ত্রিমাত্রিক বস্তু (রড, সিলিন্ডার, বল, ইত্যাদি) হতে পারে। যদি প্রশ্ন করা বস্তুটি ধ্রুবক কৌণিক ত্বরণ α সহ কিছু অক্ষের চারপাশে একটি বৃত্তাকার গতি তৈরি করে, তাহলে নিম্নলিখিত সমীকরণটি লেখা যেতে পারে:

M=আমিα

এখানে, M মানটি মোট শক্তির মুহূর্তকে প্রতিনিধিত্ব করে, যা সমগ্র সিস্টেমে ত্বরণ α দেয়। তাদের মধ্যে সমানুপাতিকতার সহগ - I, বলা হয়নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত. এই শারীরিক পরিমাণ নিম্নলিখিত সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

I=∫_m (r²dm)

এখানে r হল ভর dm এবং ঘূর্ণন অক্ষ সহ মৌলের মধ্যে দূরত্ব। এই রাশিটির অর্থ হল বর্গক্ষেত্রের দূরত্ব r² এবং প্রাথমিক ভর dm এর গুণফলের যোগফল বের করা প্রয়োজন। অর্থাৎ, জড়তার মুহূর্তটি শরীরের একটি বিশুদ্ধ বৈশিষ্ট্য নয়, যা এটিকে রৈখিক জড়তা থেকে আলাদা করে। এটি ঘূর্ণায়মান বস্তু জুড়ে ভর বিতরণের উপর নির্ভর করে, সেইসাথে অক্ষের দূরত্বের উপর এবং এটির সাপেক্ষে শরীরের অবস্থানের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি রডের একটি ভিন্ন I থাকবে যদি এটি ভরের কেন্দ্র এবং শেষের দিকে ঘোরানো হয়।

জড়তার মুহূর্ত এবং স্টেইনারের উপপাদ্য

বিখ্যাত সুইস গণিতবিদ, জ্যাকব স্টেইনার, সমান্তরাল অক্ষ এবং জড়তার মুহুর্তের উপর উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন, যা এখন তার নাম বহন করে। এই উপপাদ্যটি অনুমান করে যে ঘূর্ণনের কিছু অক্ষের সাপেক্ষে নির্বিচারে জ্যামিতির যেকোন অনমনীয় অংশের জন্য জড়তার মুহূর্তটি শরীরের ভরের কেন্দ্রকে ছেদ করে এবং প্রথমটির সমান্তরাল অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্তের যোগফলের সমান।, এবং শরীরের ভরের গুণফল এই অক্ষগুলির মধ্যে দূরত্বের বর্গ গুণ করে। গাণিতিকভাবে, এই সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হয়:

I_Z=I_O+ ml²

I_Z এবং I_O - Z-অক্ষ এবং O-অক্ষের সমান্তরাল সম্পর্কে জড়তার মুহূর্ত, যা অতিক্রম করে শরীরের ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে, l - লাইন Z এবং O এর মধ্যে দূরত্ব।

উপপাদ্যটি I_O এর মান জেনে গণনা করতে দেয়অন্য কোনো মুহূর্ত I_Z একটি অক্ষ সম্পর্কে যা O এর সমান্তরাল।

তত্ত্বের প্রমাণ

স্টেইনার উপপাদ্য সূত্রটি সহজেই নিজের দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, xy সমতলে একটি নির্বিচারে শরীর বিবেচনা করুন। স্থানাঙ্কের উৎপত্তি এই দেহের ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যেতে দিন। আসুন জড়তা I_O এর মুহূর্ত গণনা করি যা xy সমতলে লম্ব উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়। যেহেতু শরীরের যে কোনো বিন্দুর দূরত্ব r=√ (x² + y²) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাহলে আমরা পূর্ণাঙ্গ পাই:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ মি_((x2^+y2^{) dm)}

এখন চলুন x-অক্ষ বরাবর সমান্তরাল অক্ষকে একটি দূরত্ব l দ্বারা সরানো যাক, উদাহরণস্বরূপ, ধনাত্মক দিকে, তাহলে জড়তার মুহুর্তের নতুন অক্ষের গণনাটি এরকম দেখাবে:

I_Z=∫_m((x+l)²+y ²)dm)

ব্র্যাকেটে পূর্ণ বর্গক্ষেত্র প্রসারিত করুন এবং ইন্টিগ্র্যান্ডগুলিকে ভাগ করুন, আমরা পাই:

I_Z=∫_m(x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m (x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

এই পদগুলির মধ্যে প্রথমটি হল মান I_O, তৃতীয় পদ, ইন্টিগ্রেশনের পরে, l²m, এবং এখানে দ্বিতীয় পদটি শূন্য। নির্দিষ্ট অখণ্ডের শূন্যকরণ এই কারণে যে এটি x এবং ভর উপাদান dm এর গুণফল থেকে নেওয়া হয়েছে, যার মধ্যেগড় শূন্য দেয়, যেহেতু ভরের কেন্দ্র উৎপত্তিস্থলে। ফলস্বরূপ, স্টেইনার উপপাদ্যের সূত্র পাওয়া যায়।

প্লেনে বিবেচিত কেসটিকে ত্রিমাত্রিক বডিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

একটি রডের উদাহরণে স্টেইনার সূত্র পরীক্ষা করা হচ্ছে

আসুন উপরের উপপাদ্যটি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা প্রদর্শনের জন্য একটি সহজ উদাহরণ দেওয়া যাক।

এটা জানা যায় যে L এবং ভর m দৈর্ঘ্যের একটি রডের জন্য, জড়তার মুহূর্ত I_O(অক্ষ ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়) m L²/12, এবং যে মুহূর্ত I_Z(অক্ষটি রডের শেষ দিয়ে যায়) mL এর সমান 2^{/3. স্টিনারের উপপাদ্য ব্যবহার করে এই ডেটা পরীক্ষা করা যাক। যেহেতু দুটি অক্ষের মধ্যে দূরত্ব হল L/2, তাহলে আমরা I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

অর্থাৎ, আমরা স্টেইনার সূত্র পরীক্ষা করেছি এবং I_Z উৎসের মতো একই মান পেয়েছি।

অন্য সংস্থার (সিলিন্ডার, বল, ডিস্ক) জন্য অনুরূপ গণনা করা যেতে পারে জড়তার প্রয়োজনীয় মুহূর্তগুলি প্রাপ্ত করার সময়, এবং একীকরণ না করেই।

জড়তা এবং লম্ব অক্ষের মুহূর্ত

বিবেচিত উপপাদ্য সমান্তরাল অক্ষ সম্পর্কিত। তথ্যের সম্পূর্ণতার জন্য, লম্ব অক্ষের জন্য একটি উপপাদ্য দেওয়াও কার্যকর। এটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: নির্বিচারে আকৃতির একটি সমতল বস্তুর জন্য, এটির লম্ব একটি অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্তটি দুটি পারস্পরিক লম্ব এবং শুয়ে থাকা জড়তার দুটি মুহূর্তের সমষ্টির সমান হবে।অক্ষ বস্তুর সমতলে, তিনটি অক্ষ একই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। গাণিতিকভাবে, এটি নিম্নরূপ লেখা হয়:

I_z=I_x + I_y

এখানে z, x, y ঘূর্ণনের তিনটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ।

এই উপপাদ্য এবং স্টেইনারের উপপাদ্যের মধ্যে অপরিহার্য পার্থক্য হল এটি শুধুমাত্র সমতল (দ্বি-মাত্রিক) কঠিন বস্তুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তবুও, অনুশীলনে এটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, মানসিকভাবে শরীরকে আলাদা স্তরে কেটে ফেলা হয় এবং তারপরে জড়তার প্রাপ্ত মুহূর্তগুলি যোগ করা হয়৷