দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ কীভাবে লিখবেন?

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

জ্যামিতির একটি স্বতঃসিদ্ধ বলে যে যেকোনো দুটি বিন্দুর মাধ্যমে একটি একক সরলরেখা আঁকা সম্ভব। এই স্বতঃসিদ্ধ সাক্ষ্য দেয় যে একটি অনন্য সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি রয়েছে যা নির্দিষ্ট এক-মাত্রিক জ্যামিতিক বস্তুকে অনন্যভাবে বর্ণনা করে। দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ কীভাবে লিখতে হয় সেই প্রশ্নটি নিবন্ধে বিবেচনা করুন৷

একটি বিন্দু এবং একটি রেখা কী?

মহাকাশে এবং সমতলে নির্মাণের প্রশ্নটি বিবেচনা করার আগে একটি সমীকরণের একটি সরল রেখা একটি জোড়া বিভিন্ন বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক বস্তুকে সংজ্ঞায়িত করা উচিত।

একটি বিন্দু স্বতন্ত্রভাবে স্থানাঙ্ক অক্ষের একটি প্রদত্ত সিস্টেমে স্থানাঙ্কের সেট দ্বারা নির্ধারিত হয়। তাদের ছাড়াও, বিন্দুর জন্য আর কোন বৈশিষ্ট্য নেই। সে একটি শূন্য-মাত্রিক বস্তু।

একটি সরল রেখা সম্পর্কে কথা বলার সময়, প্রতিটি ব্যক্তি একটি সাদা কাগজের শীটে চিত্রিত একটি লাইন কল্পনা করে। একই সময়ে, একটি সঠিক জ্যামিতিক সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভবএই বস্তু। একটি সরলরেখা হল বিন্দুর এমন একটি সংগ্রহ যার জন্য তাদের প্রত্যেকের সাথে অন্য সকলের সংযোগ সমান্তরাল ভেক্টরের একটি সেট দেবে৷

এই সংজ্ঞাটি একটি সরল রেখার ভেক্টর সমীকরণ সেট করার সময় ব্যবহৃত হয়, যা নীচে আলোচনা করা হবে।

যেহেতু যেকোনো রেখাকে নির্বিচারে দৈর্ঘ্যের একটি অংশ দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, তাই বলা হয় এটি একটি এক-মাত্রিক জ্যামিতিক বস্তু।

সংখ্যা ভেক্টর ফাংশন

একটি সরল রেখার দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সমীকরণ বিভিন্ন আকারে লেখা যেতে পারে। ত্রিমাত্রিক এবং দ্বি-মাত্রিক স্থানগুলিতে, প্রধান এবং স্বজ্ঞাতভাবে বোধগম্য সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিটি একটি ভেক্টর৷

অনুমান করুন যে কিছু নির্দেশিত সেগমেন্ট আছে u¯(a; b; c)। 3D স্পেসে, ভেক্টর u¯ যেকোন বিন্দুতে শুরু হতে পারে, তাই এর স্থানাঙ্ক সমান্তরাল ভেক্টরের একটি অসীম সেটকে সংজ্ঞায়িত করে। যাইহোক, যদি আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু P(x₀; y₀; z₀) নির্বাচন করি এবং রাখি এটি u¯ ভেক্টরের শুরু হিসাবে, তারপর, এই ভেক্টরটিকে একটি নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা λ দ্বারা গুণ করলে, কেউ মহাশূন্যে একটি সরল রেখার সমস্ত বিন্দু পেতে পারে। অর্থাৎ ভেক্টর সমীকরণটি এভাবে লেখা হবে:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + λ(a; b; c)

স্পষ্টতই, প্লেনের ক্ষেত্রে, সংখ্যাসূচক ফাংশনটি ফর্ম নেয়:

(x; y)=(x₀; y₀) + λ(a; b)

অন্যদের তুলনায় এই ধরনের সমীকরণের সুবিধা (সেগমেন্টে, ক্যানোনিকাল,সাধারণ ফর্ম) এর মধ্যে রয়েছে যে এটি স্পষ্টভাবে দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক ধারণ করে। রেখাগুলি সমান্তরাল বা লম্ব কিনা তা নির্ধারণ করতে পরবর্তীটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়৷

দ্বিমাত্রিক স্থানের একটি সরল রেখার জন্য সেগমেন্টে সাধারণ এবং ক্যানোনিকাল ফাংশন

সমস্যার সমাধান করার সময়, কখনও কখনও আপনাকে একটি নির্দিষ্ট, নির্দিষ্ট আকারে দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ লিখতে হবে। অতএব, দ্বি-মাত্রিক স্থানে এই জ্যামিতিক বস্তুটি নির্দিষ্ট করার অন্যান্য উপায় দেওয়া উচিত (সরলতার জন্য, আমরা সমতলের ক্ষেত্রে বিবেচনা করি)।

একটি সাধারণ সমীকরণ দিয়ে শুরু করা যাক। এটির ফর্ম আছে:

Ax + By + C=0

একটি নিয়ম হিসাবে, সমতলে একটি সরল রেখার সমীকরণ এই আকারে লেখা হয়, শুধুমাত্র y স্পষ্টভাবে x এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

এখন উপরের অভিব্যক্তিটিকে নিম্নরূপ রূপান্তর করুন:

Ax + By=-C=>

x/(-C/A) + y/(-C/B)=1

এই রাশিটিকে সেগমেন্টে একটি সমীকরণ বলা হয়, যেহেতু প্রতিটি ভেরিয়েবলের হর দেখায় কতক্ষণ রেখার অংশটি প্রারম্ভিক বিন্দু (0; 0) এর সাপেক্ষে সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর কেটে যায়।

এটি ক্যানোনিকাল সমীকরণের একটি উদাহরণ দেওয়া বাকি আছে। এটি করার জন্য, আমরা স্পষ্টভাবে ভেক্টর সমতা লিখি:

x=x₀+ λa;

y=y₀+ λb

এখান থেকে প্যারামিটার λ প্রকাশ করা যাক এবং এর ফলে প্রাপ্ত সমতাগুলিকে সমান করুন:

λ=(x - x₀)/a;

λ=(y - y₀)/b;

(x -x₀)/a=(y - y₀)/b

শেষ সমতাকে ক্যানোনিকাল বা সিমেট্রিক আকারে সমীকরণ বলা হয়।

এদের প্রত্যেকটিকে ভেক্টরে রূপান্তরিত করা যেতে পারে এবং এর বিপরীতে।

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ: একটি সংকলন কৌশল

প্রবন্ধের প্রশ্নে ফিরে যান। ধরুন মহাকাশে দুটি বিন্দু আছে:

M(x₁; y₁; z₁) এবং N(x 2_{; y}2_{; z}2₎

একমাত্র সরল রেখাটি তাদের মধ্য দিয়ে যায়, যার সমীকরণটি ভেক্টর আকারে রচনা করা খুব সহজ। এটি করার জন্য, আমরা নির্দেশিত সেগমেন্ট MN¯ এর স্থানাঙ্ক গণনা করি, আমাদের আছে:

MN¯=N - M=(x₂-x₁; y₂- y₁; z₂-z₁)

এটি অনুমান করা কঠিন নয় যে এই ভেক্টরটি সরলরেখার জন্য গাইড হবে, যার সমীকরণটি অবশ্যই পেতে হবে। এটা জেনে যে এটি M এবং N এর মধ্য দিয়েও যায়, আপনি ভেক্টর এক্সপ্রেশনের জন্য তাদের যেকোনোটির স্থানাঙ্ক ব্যবহার করতে পারেন। তারপর পছন্দসই সমীকরণটি রূপ নেয়:

(x; y; z)=M + λMN¯=>

(x; y; z)=(x₁; y₁; z₁) + λ(x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

দ্বিমাত্রিক স্থানের ক্ষেত্রে, আমরা z ভেরিয়েবলের অংশগ্রহণ ছাড়াই একই সমতা পাই।

রেখার জন্য ভেক্টর সমতা লেখার সাথে সাথে এটিকে অন্য যেকোন ফর্মে অনুবাদ করা যেতে পারে যা সমস্যার প্রশ্নের প্রয়োজন হয়।

টাস্ক:একটি সাধারণ সমীকরণ লিখুন

এটা জানা যায় যে একটি সরল রেখা স্থানাঙ্ক (-1; 4) এবং (3; 2) সহ বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়। তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ রচনা করা প্রয়োজন, সাধারণ আকারে, x এর পরিপ্রেক্ষিতে y প্রকাশ করে।

সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা প্রথমে ভেক্টর আকারে সমীকরণ লিখি। ভেক্টর (গাইড) স্থানাঙ্কগুলি হল:

(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)

তারপর সরলরেখার সমীকরণের ভেক্টর ফর্মটি নিম্নরূপ:

(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)

এটি সাধারণ আকারে y(x) আকারে লিখতে হবে। আমরা এই সমতাটি স্পষ্টভাবে পুনরায় লিখি, প্যারামিটারটি প্রকাশ করি λ এবং এটিকে সমীকরণ থেকে বাদ দিই:

x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;

y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;

(x+1)/4=(4-y)/2

ফলিত ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে, আমরা y প্রকাশ করি এবং সমস্যার প্রশ্নের উত্তরে আসি:

y=-0.5x + 3.5

এই সমতার বৈধতা সমস্যা বিবৃতিতে উল্লেখিত পয়েন্টের স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে পরীক্ষা করা যেতে পারে।

সমস্যা: সেগমেন্টের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা

এখন একটি আকর্ষণীয় সমস্যার সমাধান করা যাক। ধরুন M(2; 1) এবং N(5; 0) দুটি বিন্দু দেওয়া আছে। এটি জানা যায় যে একটি সরলরেখা সেই অংশের মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় যা বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে এবং এটির সাথে লম্ব। ভেক্টর আকারে সেগমেন্টের মাঝখান দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ লেখ।

এই কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক গণনা করে এবং দিক ভেক্টর নির্ধারণ করে পছন্দসই সংখ্যাসূচক রাশি তৈরি করা যেতে পারে, যাসেগমেন্ট একটি কোণ তৈরি করে 90^o.

সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু হল:

S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)

এখন আসুন ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করি MN¯:

MN¯=N - M=(3; -1)

যেহেতু কাঙ্খিত রেখার দিক ভেক্টরটি MN¯-এর সাথে লম্ব, তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান। এটি আপনাকে স্টিয়ারিং ভেক্টরের অজানা স্থানাঙ্ক (a; b) গণনা করতে দেয়: