জ্যামিতিতে, একটি বিন্দুর পরে, একটি সরল রেখা সম্ভবত সবচেয়ে সহজ উপাদান। এটি সমতলে এবং ত্রিমাত্রিক স্থানে যেকোনো জটিল চিত্র নির্মাণে ব্যবহৃত হয়। এই নিবন্ধে, আমরা একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ বিবেচনা করব এবং এটি ব্যবহার করে কয়েকটি সমস্যার সমাধান করব। চলুন শুরু করা যাক!
জ্যামিতিতে সরলরেখা
সবাই জানেন যে আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ, প্রিজম, কিউব ইত্যাদি আকারগুলি সরলরেখাকে ছেদ করে তৈরি হয়। জ্যামিতিতে একটি সরল রেখা হল একটি এক-মাত্রিক বস্তু যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে একই বা বিপরীত দিকের ভেক্টরে স্থানান্তর করে প্রাপ্ত করা যায়। এই সংজ্ঞাটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, কল্পনা করুন যে মহাকাশে কিছু বিন্দু P আছে। এই স্থানটিতে একটি নির্বিচারে ভেক্টর u¯ নিন। তারপর নিচের গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ফলে লাইনের যেকোন বিন্দু Q পাওয়া যাবে:
Q=P + λu¯.
এখানে λ হল একটি নির্বিচারে সংখ্যা যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। যদি সমতাস্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে উপরে লিখুন, তারপর আমরা একটি সরল রেখার নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c)।
এই সমতাকে ভেক্টর আকারে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়। এবং ভেক্টর u¯ কে গাইড বলা হয়।
একটি সমতলে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ
প্রত্যেক শিক্ষার্থী কোন অসুবিধা ছাড়াই এটি লিখতে পারে। কিন্তু প্রায়শই সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়:
y=kx + b.
যেখানে k এবং b ইচ্ছাকৃত সংখ্যা। খ সংখ্যাটিকে মুক্ত সদস্য বলা হয়। পরামিতি k x-অক্ষের সাথে সরলরেখার ছেদ দ্বারা গঠিত কোণের স্পর্শকের সমান।
উপরের সমীকরণটি y চলকের সাপেক্ষে প্রকাশ করা হয়েছে। যদি আমরা এটিকে আরও সাধারণ আকারে উপস্থাপন করি, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত স্বরলিপি পেতে পারি:
Ax + By + C=0.
এটা দেখানো সহজ যে একটি সমতলে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ লেখার এই ফর্মটি সহজেই আগের ফর্মে রূপান্তরিত হয়। এটি করার জন্য, বাম এবং ডান অংশগুলিকে ফ্যাক্টর B দ্বারা ভাগ করতে হবে এবং y প্রকাশ করতে হবে।
উপরের চিত্রটি দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা দেখায়৷
3D স্পেসে একটি লাইন
আসুন আমাদের অধ্যয়ন চালিয়ে যাওয়া যাক। সমতলে একটি সাধারণ আকারে সরলরেখার সমীকরণ কীভাবে দেওয়া হয় সেই প্রশ্নটি আমরা বিবেচনা করেছি। আমরা যদি স্থানিক ক্ষেত্রে নিবন্ধের পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে দেওয়া স্বরলিপি প্রয়োগ করি, তাহলে আমরা কী পাব? সবকিছু সহজ - আর একটি সরল রেখা নয়, কিন্তু একটি সমতল। প্রকৃতপক্ষে, নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি একটি সমতলকে বর্ণনা করে যা z-অক্ষের সমান্তরাল:
Ax + By + C=0.
যদি C=0 হয়, তাহলে এমন একটি প্লেন চলে যায়z-অক্ষের মাধ্যমে। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য।
মহাকাশে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণের সাথে কীভাবে হবে? এটি কীভাবে জিজ্ঞাসা করবেন তা বোঝার জন্য, আপনাকে কিছু মনে রাখতে হবে। দুটি সমতল একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর ছেদ করে। এটার মানে কি? শুধুমাত্র সাধারণ সমীকরণটি প্লেনের জন্য দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধানের ফলাফল। আসুন এই সিস্টেমটি লিখি:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
এই সিস্টেমটি মহাকাশে একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ। লক্ষ্য করুন যে প্লেনগুলি একে অপরের সমান্তরাল হওয়া উচিত নয়, অর্থাৎ, তাদের স্বাভাবিক ভেক্টরগুলিকে একে অপরের সাপেক্ষে কিছু কোণে ঝুঁকতে হবে। অন্যথায়, সিস্টেমের কোন সমাধান থাকবে না।
উপরে আমরা একটি সরলরেখার সমীকরণের ভেক্টর ফর্ম দিয়েছি। এই সিস্টেমটি সমাধান করার সময় এটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক। এটি করার জন্য, আপনাকে প্রথমে এই প্লেনের স্বাভাবিকের ভেক্টর পণ্যটি খুঁজে বের করতে হবে। এই অপারেশনের ফলাফল একটি সরল রেখার একটি দিক ভেক্টর হবে। তারপর, লাইনের সাথে সম্পর্কিত যে কোনও বিন্দু গণনা করা উচিত। এটি করার জন্য, আপনাকে একটি নির্দিষ্ট মানের সমান যে কোনও ভেরিয়েবল সেট করতে হবে, অবশিষ্ট দুটি ভেরিয়েবল হ্রাস করা সিস্টেমটি সমাধান করে পাওয়া যাবে।
কীভাবে একটি ভেক্টর সমীকরণকে একটি সাধারণ সমীকরণে অনুবাদ করবেন? সূক্ষ্মতা
এটি একটি আসল সমস্যা যা দেখা দিতে পারে যদি আপনাকে দুটি বিন্দুর পরিচিত স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ লিখতে হয়।আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে এই সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা হয় তা দেখান। দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা যাক:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2)।
ভেক্টর আকারে সমীকরণ রচনা করা বেশ সহজ। দিক ভেক্টর স্থানাঙ্কগুলি হল:
PQ=(x2-x1, y2-y 1)।
উল্লেখ্য যে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে Q স্থানাঙ্ক বিয়োগ করলে কোনো পার্থক্য নেই, ভেক্টর শুধুমাত্র তার দিক পরিবর্তন করবে বিপরীত দিকে। এখন আপনার যেকোন পয়েন্ট নেওয়া উচিত এবং ভেক্টর সমীকরণটি লিখতে হবে:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ লিখতে, উভয় ক্ষেত্রেই প্যারামিটার λ প্রকাশ করা উচিত। এবং তারপর ফলাফল তুলনা. আমাদের আছে:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1)।
এটি শুধুমাত্র বন্ধনী খুলতে এবং সমীকরণের সমস্ত পদগুলিকে সমীকরণের একপাশে স্থানান্তর করতে থাকে যাতে দুটি পরিচিত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার জন্য একটি সাধারণ অভিব্যক্তি পাওয়া যায়।
একটি ত্রিমাত্রিক সমস্যার ক্ষেত্রে, সমাধানের অ্যালগরিদমটি সংরক্ষিত থাকে, শুধুমাত্র এর ফলাফল হবে প্লেনের জন্য দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম৷
টাস্ক
এটি একটি সাধারণ সমীকরণ করা প্রয়োজনএকটি সরল রেখা যা x-অক্ষকে (-3, 0) ছেদ করে এবং y-অক্ষের সমান্তরাল।
আসুন ভেক্টর আকারে সমীকরণ লিখে সমস্যার সমাধান করা শুরু করি। যেহেতু রেখাটি y-অক্ষের সমান্তরাল, তাই এটির জন্য নির্দেশক ভেক্টরটি নিম্নলিখিত হবে:
u¯=(0, 1)।
তারপর কাঙ্খিত লাইনটি নিম্নরূপ লেখা হবে:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1)।
এখন এই অভিব্যক্তিটিকে একটি সাধারণ আকারে অনুবাদ করা যাক, এর জন্য আমরা প্যারামিটারটি প্রকাশ করি λ:
- x=-3;
- y=λ.
এইভাবে, y ভেরিয়েবলের যেকোনো মান লাইনের অন্তর্গত, তবে, শুধুমাত্র x ভেরিয়েবলের একক মান এটির সাথে মিলে যায়। অতএব, সাধারণ সমীকরণটি রূপ নেবে:
x + 3=0.
স্পেসে একটি সরল রেখা নিয়ে সমস্যা
এটা জানা যায় যে দুটি ছেদকারী সমতল নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
এই সমতলগুলি যে সরলরেখা বরাবর ছেদ করে তার ভেক্টর সমীকরণ খুঁজে বের করা প্রয়োজন। চলুন শুরু করা যাক।
যেমন বলা হয়েছিল, ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ ইতিমধ্যেই তিনটি অজানা সহ দুটি সিস্টেমের আকারে দেওয়া হয়েছে। প্রথমত, আমরা যে দিক দিয়ে প্লেনগুলিকে ছেদ করে সেই ভেক্টরটি নির্ধারণ করি। সাধারণের ভেক্টর স্থানাঙ্কগুলিকে সমতলগুলিতে গুণ করলে আমরা পাই:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5)।
যেহেতু একটি ভেক্টরকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে তার দিক বিপরীত হয়, আমরা লিখতে পারি:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5)।
প্রতিএকটি সরলরেখার জন্য একটি ভেক্টর রাশি খুঁজতে, দিক ভেক্টর ছাড়াও, এই সরলরেখার কিছু বিন্দু জানা উচিত। খুঁজে বের করুন যেহেতু এর স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই সমস্যার শর্তে সমীকরণের সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করবে, তারপর আমরা সেগুলি খুঁজে পাব। উদাহরণস্বরূপ, চলুন x=0 রাখি, তাহলে আমরা পাই:
y=z;
y=3/2=1, 5.
এইভাবে, কাঙ্ক্ষিত সরলরেখার অন্তর্গত বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে:
P=(0, 1, 5, 1, 5)।
তারপর আমরা এই সমস্যার উত্তর পাব, কাঙ্খিত লাইনের ভেক্টর সমীকরণটি এরকম দেখাবে:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5)।
সমাধানের সঠিকতা সহজেই পরীক্ষা করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে প্যারামিটারের একটি নির্বিচারে মান চয়ন করতে হবে λ এবং সরলরেখার বিন্দুর প্রাপ্ত স্থানাঙ্কগুলিকে প্লেনের জন্য উভয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে হবে, আপনি উভয় ক্ষেত্রেই একটি পরিচয় পাবেন।
