সমতলে এবং ত্রিমাত্রিক স্থানে লাইনের সমীকরণ সেট করার পদ্ধতি

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

সরলরেখা হল সমতলে এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের প্রধান জ্যামিতিক বস্তু। এটি সরল রেখা থেকে যে অনেকগুলি পরিসংখ্যান তৈরি করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: একটি সমান্তরালগ্রাম, একটি ত্রিভুজ, একটি প্রিজম, একটি পিরামিড এবং আরও অনেক কিছু। নিবন্ধে লাইনের সমীকরণ সেট করার বিভিন্ন উপায় বিবেচনা করুন।

একটি সরলরেখার সংজ্ঞা এবং এটি বর্ণনা করার জন্য সমীকরণের ধরন

প্রত্যেক শিক্ষার্থীর ভালো ধারণা আছে তারা কোন জ্যামিতিক বস্তুর কথা বলছে। একটি সরল রেখাকে বিন্দুর সংগ্রহ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, এবং যদি আমরা তাদের প্রত্যেকটিকে অন্য সকলের সাথে সংযুক্ত করি, তাহলে আমরা সমান্তরাল ভেক্টরের একটি সেট পাব। অন্য কথায়, একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে রেখার প্রতিটি বিন্দুতে পৌঁছানো সম্ভব, এটিকে একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণিত কিছু একক ভেক্টরে স্থানান্তর করা সম্ভব। একটি সরলরেখার এই সংজ্ঞাটি সমতল এবং ত্রিমাত্রিক স্থান উভয় ক্ষেত্রেই তার গাণিতিক বর্ণনার জন্য একটি ভেক্টর সমতা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়৷

একটি সরল রেখাকে গাণিতিকভাবে নিম্নলিখিত ধরণের সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে:

সাধারণ;
ভেক্টর;
প্যারামেট্রিক;
সেগমেন্টে;
প্রতিসম (মানসম্মত)।

পরবর্তী, আমরা সমস্ত নামযুক্ত প্রকারগুলি বিবেচনা করব এবং সমস্যাগুলি সমাধানের উদাহরণ ব্যবহার করে কীভাবে তাদের সাথে কাজ করতে হয় তা দেখাব৷

একটি সরল রেখার ভেক্টর এবং প্যারামেট্রিক বিবরণ

একটি পরিচিত ভেক্টরের মাধ্যমে একটি সরলরেখা সংজ্ঞায়িত করে শুরু করা যাক। মনে করুন যে মহাকাশে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু রয়েছে M(x₀; y₀; z_{0)। এটা জানা যায় যে সরলরেখাটি এর মধ্য দিয়ে যায় এবং ভেক্টর সেগমেন্ট v¯(a; b; c) বরাবর নির্দেশিত হয়। কিভাবে এই তথ্য থেকে লাইনের একটি নির্বিচারে বিন্দু খুঁজে পেতে? এই প্রশ্নের উত্তর নিম্নলিখিত সমতা দেবে:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

যেখানে λ একটি নির্বিচারে সংখ্যা৷

একটি অনুরূপ অভিব্যক্তি দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রে লেখা যেতে পারে, যেখানে ভেক্টর এবং বিন্দুর স্থানাঙ্ক দুটি সংখ্যার একটি সেট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

লিখিত সমীকরণগুলিকে ভেক্টর সমীকরণ বলা হয় এবং নির্দেশিত সেগমেন্ট v¯ নিজেই সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর।

লিখিত অভিব্যক্তিগুলি থেকে, সংশ্লিষ্ট প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি সহজভাবে পাওয়া যায়, তাদের স্পষ্টভাবে পুনরায় লিখতে যথেষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, মহাকাশের ক্ষেত্রে, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

আপনার আচরণ বিশ্লেষণ করতে হলে প্যারামেট্রিক সমীকরণের সাথে কাজ করা সুবিধাজনকপ্রতিটি সমন্বয় উল্লেখ্য যে যদিও প্যারামিটার λ নির্বিচারে মান নিতে পারে, তবে এটি অবশ্যই তিনটি সমতায় একই হতে হবে।

সাধারণ সমীকরণ

একটি সরলরেখা সংজ্ঞায়িত করার আরেকটি উপায়, যা প্রায়শই বিবেচিত জ্যামিতিক বস্তুর সাথে কাজ করতে ব্যবহৃত হয়, একটি সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করা। দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রে, এটির মতো দেখায়:

Ax + By + C=0

এখানে ক্যাপিটাল ল্যাটিন অক্ষর নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান উপস্থাপন করে। সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে এই সমতার সুবিধাটি এই সত্যের মধ্যে নিহিত যে এতে স্পষ্টভাবে একটি ভেক্টর রয়েছে যা একটি সরলরেখায় লম্ব। যদি আমরা এটিকে n¯ দ্বারা বোঝাই, তাহলে আমরা লিখতে পারি:

n¯=[ক; B

উপরন্তু, একটি সরলরেখা থেকে কিছু বিন্দু P(x₁; y_{1) দূরত্ব নির্ণয় করতে অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক)। ডি দূরত্বের সূত্র হল:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

এটা দেখানো সহজ যে যদি আমরা সাধারণ সমীকরণ থেকে y পরিবর্তনশীলকে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করি, তাহলে আমরা একটি সরল রেখা লেখার নিম্নলিখিত সুপরিচিত রূপটি পাই:

y=kx + b

যেখানে k এবং b স্বতন্ত্রভাবে A, B, C সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়।

সেগমেন্ট এবং ক্যানোনিকাল সমীকরণ

সেগমেন্টের সমীকরণটি সাধারণ দৃশ্য থেকে পাওয়া সবচেয়ে সহজ। আমরা আপনাকে দেখাব কিভাবে এটি করতে হয়।

ধরুন আমাদের নিম্নলিখিত লাইন আছে:

Ax + By + C=0

মুক্ত শব্দটিকে সমতার ডানদিকে সরান, তারপর পুরো সমীকরণটিকে এটি দিয়ে ভাগ করুন, আমরা পাই:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, যেখানে q=-C / A, p=-C / B

আমরা অংশে তথাকথিত সমীকরণ পেয়েছি। এটির নামকরণ হয়েছে এই কারণে যে প্রতিটি ভেরিয়েবলকে যে হর দ্বারা ভাগ করা হয় সেটি সংশ্লিষ্ট অক্ষের সাথে রেখার ছেদকের স্থানাঙ্কের মান দেখায়। একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সরল রেখাকে চিত্রিত করতে, সেইসাথে অন্যান্য জ্যামিতিক বস্তুর (সরলরেখা, বিন্দু) সাথে এর আপেক্ষিক অবস্থান বিশ্লেষণ করতে এই সত্যটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

এখন আসুন ক্যানোনিকাল সমীকরণের দিকে এগিয়ে যাই। আমরা যদি প্যারামেট্রিক বিকল্পটি বিবেচনা করি তবে এটি করা সহজ। প্লেনের ক্ষেত্রে আমাদের আছে:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

আমরা প্রতিটি সমতায় λ প্যারামিটার প্রকাশ করি, তারপর আমরা তাদের সমান করি, আমরা পাই:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

এটি প্রতিসম আকারে লেখা পছন্দসই সমীকরণ। একটি ভেক্টর এক্সপ্রেশনের মতো, এটি স্পষ্টভাবে দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং রেখার অন্তর্গত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক ধারণ করে।

এটা দেখা যায় যে এই অনুচ্ছেদে আমরা দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রের সমীকরণ দিয়েছি। একইভাবে, আপনি স্থানের একটি সরল রেখার সমীকরণ লিখতে পারেন। এখানে উল্লেখ্য যে যদি ক্যানোনিকাল ফর্মসেগমেন্টে রেকর্ড এবং এক্সপ্রেশন একই ফর্ম হবে, তারপর একটি সরল রেখার জন্য মহাকাশে সাধারণ সমীকরণটি সমতল ছেদ করার জন্য দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা উপস্থাপিত হয়৷

একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্মাণের সমস্যা

জ্যামিতি থেকে, প্রত্যেক শিক্ষার্থী জানে যে দুটি বিন্দুর মাধ্যমে আপনি একটি একক রেখা আঁকতে পারেন। অনুমান করুন যে নিম্নলিখিত পয়েন্টগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে দেওয়া হয়েছে:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

এটি লাইনের সমীকরণ খুঁজে বের করা প্রয়োজন যেখানে উভয় বিন্দু রয়েছে, সেগমেন্টে, ভেক্টরে, ক্যানোনিকাল এবং সাধারণ আকারে।

আসুন প্রথমে ভেক্টর সমীকরণটি নেওয়া যাক। এটি করার জন্য, সরাসরি দিক নির্দেশনা ভেক্টরের জন্য সংজ্ঞায়িত করুন M₁M_2¯:

M_1M2_{¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

এখন আপনি সমস্যা বিবৃতিতে উল্লেখিত দুটি পয়েন্টের একটি নিয়ে একটি ভেক্টর সমীকরণ তৈরি করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

প্রামাণিক সমীকরণ পেতে, পাওয়া সমতাকে একটি প্যারামেট্রিক আকারে রূপান্তর করা এবং পরামিতি λ বাদ দেওয়া যথেষ্ট। আমাদের আছে:

x=-1 - 2λ, তাই λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, তাহলে আমরা পাব λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

বাকী দুটি সমীকরণ (সাধারণ এবং সেগমেন্টে) ক্যানোনিকাল থেকে এটিকে নিম্নরূপ রূপান্তর করে পাওয়া যেতে পারে:

x + 1=-2y + 6;

সাধারণ সমীকরণ: x + 2y - 5=0;

সেগমেন্ট সমীকরণে: x / 5 + y / 2, 5=1

ফলিত সমীকরণগুলি দেখায় যে ভেক্টর (1; 2) অবশ্যই রেখার লম্ব হতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি দিক ভেক্টরের সাথে এর স্কেলার পণ্যটি খুঁজে পান তবে এটি শূন্যের সমান হবে। লাইন সেগমেন্ট সমীকরণ বলে যে রেখাটি x-অক্ষকে (5; 0) এবং y-অক্ষকে (2, 5; 0) এ ছেদ করে।

রেখার ছেদ বিন্দু নির্ধারণের সমস্যা

নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সমতলে দুটি সরল রেখা দেওয়া হয়েছে:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

এই রেখাগুলিকে ছেদ করে এমন বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন৷

সমস্যা সমাধানের দুটি উপায় রয়েছে:

ভেক্টর সমীকরণটিকে একটি সাধারণ আকারে রূপান্তর করুন, তারপর দুটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন।
কোন রূপান্তর সঞ্চালন করবেন না, তবে প্রথম সমীকরণে λ প্যারামিটারের মাধ্যমে প্রকাশ করা ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন। তারপর প্যারামিটার মান খুঁজুন।

আসুন দ্বিতীয় উপায়টি করা যাক। আমাদের আছে: