বৈষম্যের ব্যবস্থাই সমাধান। রৈখিক অসমতার সিস্টেম

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

বৈষম্য এবং বৈষম্যের ব্যবস্থা হাই স্কুল বীজগণিতের একটি বিষয় যা পড়ানো হয়। অসুবিধার পরিপ্রেক্ষিতে, এটি সবচেয়ে কঠিন নয়, কারণ এটির সহজ নিয়ম রয়েছে (একটু পরে তাদের সম্পর্কে)। একটি নিয়ম হিসাবে, স্কুলছাত্রীরা বেশ সহজে বৈষম্যের সিস্টেমের সমাধান শিখে। এটি এই কারণেও যে শিক্ষকরা তাদের শিক্ষার্থীদের এই বিষয়ে কেবল "প্রশিক্ষিত" করেন। এবং তারা এটি করতে পারে না, কারণ এটি ভবিষ্যতে অন্যান্য গাণিতিক পরিমাণ ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয় এবং OGE এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্যও পরীক্ষা করা হয়। স্কুলের পাঠ্যপুস্তকগুলিতে, বৈষম্য এবং বৈষম্যের সিস্টেমগুলির বিষয়টি বিশদভাবে আচ্ছাদিত করা হয়েছে, তাই আপনি যদি এটি অধ্যয়ন করতে যাচ্ছেন, তবে সেগুলি অবলম্বন করা ভাল। এই নিবন্ধটি শুধুমাত্র অনেক উপাদানের একটি প্যারাফ্রেজ এবং এতে কিছু বাদ থাকতে পারে।

অবৈষম্য ব্যবস্থার ধারণা

যদি আমরা বৈজ্ঞানিক ভাষার দিকে ফিরে যাই তবে আমরা "সিস্টেম" এর ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারিঅসমতা।" এটি এমন একটি গাণিতিক মডেল যা বেশ কয়েকটি অসমতার প্রতিনিধিত্ব করে। অবশ্যই, এই মডেলটির একটি সমাধান প্রয়োজন, এবং এটি কাজটিতে প্রস্তাবিত সিস্টেমের সমস্ত অসমতার জন্য সাধারণ উত্তর হবে (সাধারণত এটি এভাবে লেখা হয়, জন্য উদাহরণ: "বৈষম্যের সিস্টেমটি সমাধান করুন 4 x + 1 > 2 এবং 30 - x > 6…")।

অসাম্যের সিস্টেম এবং সমীকরণের সিস্টেম

নতুন বিষয় শেখার প্রক্রিয়ায় প্রায়ই ভুল বোঝাবুঝির সৃষ্টি হয়। একদিকে, সবকিছু পরিষ্কার এবং আমি বরং কাজগুলি সমাধান করা শুরু করব, তবে অন্যদিকে, কিছু মুহূর্ত "ছায়ায়" থেকে যায়, সেগুলি ভালভাবে বোঝা যায় না। এছাড়াও, ইতিমধ্যে অর্জিত জ্ঞানের কিছু উপাদান নতুনের সাথে জড়িত হতে পারে। এই ওভারল্যাপের ফলে প্রায়ই ভুল হয়।

অতএব, আমাদের বিষয়ের বিশ্লেষণে এগিয়ে যাওয়ার আগে, আমাদের সমীকরণ এবং অসমতা, তাদের সিস্টেমের মধ্যে পার্থক্যগুলি স্মরণ করা উচিত। এটি করার জন্য, এই গাণিতিক ধারণাগুলি কী তা আবারও স্পষ্ট করা দরকার। একটি সমীকরণ সর্বদা একটি সমতা, এবং এটি সর্বদা কিছুর সমান (গণিতে, এই শব্দটিকে "=" চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়)। অসমতা হল এমন একটি মডেল যেখানে একটি মান হয় অন্যটির চেয়ে বেশি বা কম, অথবা এই দাবি ধারণ করে যে তারা একই নয়। সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে, সমতার কথা বলা উপযুক্ত, এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এটি যতই স্পষ্ট শোনা যাক না কেন।নাম নিজেই, প্রাথমিক তথ্যের অসমতা সম্পর্কে। সমীকরণ এবং অসমতার সিস্টেমগুলি কার্যত একে অপরের থেকে আলাদা নয় এবং তাদের সমাধানের পদ্ধতিগুলি একই। একমাত্র পার্থক্য হল যে আগেরটি সমতা ব্যবহার করে যখন পরেরটি অসমতা ব্যবহার করে৷

বৈষম্যের প্রকার

এখানে দুই ধরনের অসমতা রয়েছে: সংখ্যাসূচক এবং একটি অজানা পরিবর্তনশীল। প্রথম প্রকারের মান (সংখ্যা) প্রদান করা হয় যা একে অপরের সমান নয়, উদাহরণস্বরূপ, 8 > 10. দ্বিতীয় প্রকারটি একটি অজানা পরিবর্তনশীল (ল্যাটিন বর্ণমালার কিছু অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত, প্রায়শই X) সমন্বিত অসমতা। এই পরিবর্তনশীল খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন. কতগুলি আছে তার উপর নির্ভর করে, গাণিতিক মডেল একটির সাথে অসমতার মধ্যে পার্থক্য করে (তারা একটি পরিবর্তনশীলের সাথে অসমতার একটি সিস্টেম তৈরি করে) বা বিভিন্ন চলক (তারা বেশ কয়েকটি চলকের সাথে অসমতার একটি সিস্টেম তৈরি করে)।

শেষ দুটি প্রকার, তাদের নির্মাণের মাত্রা এবং সমাধানের জটিলতার স্তর অনুসারে, সরল এবং জটিলতে বিভক্ত। সরলকে রৈখিক অসমতাও বলা হয়। তারা, ঘুরে, কঠোর এবং অ-কঠোর মধ্যে বিভক্ত করা হয়। কঠোরভাবে বিশেষভাবে "বলুন" যে একটি মান অবশ্যই কম বা বেশি হতে হবে, তাই এটি বিশুদ্ধ অসমতা। বেশ কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, ইত্যাদি। অ-কঠোরগুলির মধ্যে সমতাও অন্তর্ভুক্ত। অর্থাৎ, একটি মান অন্য মানের থেকে বেশি বা সমান হতে পারে (চিহ্ন "≧") বা অন্য মানের থেকে কম বা সমান (চিহ্ন "≦")। এখনও লাইনেঅসমতায়, চলকটি মূল, বর্গক্ষেত্রে দাঁড়ায় না, কোন কিছু দ্বারা বিভাজ্য নয়, এই কারণেই তাদের "সরল" বলা হয়। জটিলগুলির মধ্যে অজানা ভেরিয়েবল রয়েছে, যেগুলির সন্ধানের জন্য আরও গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন। এগুলি প্রায়শই একটি বর্গক্ষেত্রে, ঘনক্ষেত্রে বা মূলের নীচে থাকে, সেগুলি মডুলার, লগারিদমিক, ভগ্নাংশ ইত্যাদি হতে পারে৷ কিন্তু যেহেতু আমাদের কাজ হল অসমতার সিস্টেমগুলির সমাধান বোঝা, তাই আমরা রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেম সম্পর্কে কথা বলব৷ যাইহোক, তার আগে, তাদের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ বলা উচিত।

বৈষম্যের বৈশিষ্ট্য

বৈষম্যের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নলিখিত বিধানগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

1. অবৈষম্য চিহ্নটি বিপরীত হয় যদি বাহুর ক্রম পরিবর্তন করার অপারেশন প্রয়োগ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≦ t₂, তারপর t₂ ≧ t₁).
2. বৈষম্যের উভয় অংশই আপনাকে নিজের সাথে একই সংখ্যা যোগ করার অনুমতি দেয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≦ t₂, তারপর t ₁ + সংখ্যা ≦ t₂ + সংখ্যা)।
3. একই দিকের চিহ্নের সাথে দুই বা ততোধিক অসমতা আপনাকে তাদের বাম এবং ডান অংশ যোগ করতে দেয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≧ t₂ , t₃ ≧ t₄, তারপর t₁ + t 3 _{≧ t}2 _{+ t}4_).
4. বৈষম্যের উভয় অংশই নিজেদেরকে একই ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করার অনুমতি দেয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≦ t_{2এবং সংখ্যা ≦ 0, তারপর সংখ্যা t}1 _{≧ সংখ্যা t}2_)।
5. দুই বা ততোধিক বৈষম্য যার ইতিবাচক পদ আছে এবং একই দিক নির্দেশনার চিহ্ন রয়েছেএকে অপরকে গুণ করুন (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≦ t₂, t₃ ≦ t4_{, t}1_{, t}2_{, t}3_{, t} 4 _{≧ 0 তারপর t}1 _t3 _{≦ t}2 t₄).
6. অসমতার উভয় অংশই নিজেদেরকে একই ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করার অনুমতি দেয়, কিন্তু অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≦ t2 _{এবং সংখ্যা ≦ 0, তারপর সংখ্যা t}1 _{≧ সংখ্যা t}2_)।
7. সমস্ত অসমতা ট্রানজিটিভ (উদাহরণস্বরূপ, যদি t₁ ≦ t₂ এবং t_{2≦ t}3_{, তারপর t}1 _{≦ t}3_)।

এখন, বৈষম্য সম্পর্কিত তত্ত্বের প্রধান বিধানগুলি অধ্যয়ন করার পরে, আমরা তাদের সিস্টেমগুলি সমাধানের নিয়মগুলির বিবেচনায় সরাসরি এগিয়ে যেতে পারি৷

বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান। সাধারণ জ্ঞাতব্য. সমাধান

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, সমাধান হল ভেরিয়েবলের মান যা প্রদত্ত সিস্টেমের সমস্ত অসমতার সাথে খাপ খায়। বৈষম্যের সিস্টেমগুলির সমাধান হল গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির বাস্তবায়ন যা শেষ পর্যন্ত পুরো সিস্টেমের সমাধানের দিকে নিয়ে যায় বা প্রমাণ করে যে এর কোনও সমাধান নেই। এই ক্ষেত্রে, ভেরিয়েবলটিকে খালি সংখ্যা সেট বোঝাতে বলা হয় (নিম্নলিখিতভাবে লেখা: ভেরিয়েবলকে বোঝানো অক্ষর ∈ (চিহ্নটি "অধিভুক্ত") ø (চিহ্ন "খালি সেট"), উদাহরণস্বরূপ, x ∈ ø (এটি এইভাবে পড়া হয়: "ভেরিয়েবল "x" খালি সেটের অন্তর্গত")। বৈষম্যের সিস্টেমগুলি সমাধান করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে:গ্রাফিকাল, বীজগণিত, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি। এটি লক্ষণীয় যে তারা সেই গাণিতিক মডেলগুলিকে উল্লেখ করে যেগুলির বেশ কয়েকটি অজানা ভেরিয়েবল রয়েছে। ক্ষেত্রে যেখানে শুধুমাত্র একটি আছে, ব্যবধান পদ্ধতি করবে।

গ্রাফিক পদ্ধতি

আপনাকে বেশ কিছু অজানা (দুই বা ততোধিক থেকে) সহ অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করতে দেয়। এই পদ্ধতির জন্য ধন্যবাদ, রৈখিক অসমতার সিস্টেমটি বেশ সহজে এবং দ্রুত সমাধান করা হয়, তাই এটি সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি। কারণ প্লটিং গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ লেখার পরিমাণ হ্রাস করে। কলম থেকে কিছুটা বিরতি নেওয়া, একটি শাসকের সাথে একটি পেন্সিল নেওয়া এবং অনেক কাজ করা হয়ে গেলে এবং আপনি কিছুটা বৈচিত্র্য চাইলে তাদের সহায়তায় আরও ক্রিয়াকলাপ নিয়ে এগিয়ে যাওয়া বিশেষভাবে আনন্দদায়ক হয়ে ওঠে। যাইহোক, কেউ কেউ এই পদ্ধতিটি পছন্দ করেন না এই কারণে যে আপনাকে কাজ থেকে দূরে সরে যেতে হবে এবং আপনার মানসিক ক্রিয়াকলাপটি অঙ্কনে স্যুইচ করতে হবে। যাইহোক, এটি একটি খুব কার্যকর উপায়।

গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি ব্যবহার করে অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করতে, প্রতিটি অসমতার সমস্ত সদস্যকে তাদের বাম দিকে স্থানান্তর করা প্রয়োজন। চিহ্নগুলি বিপরীত হবে, শূন্য ডানদিকে লিখতে হবে, তারপর প্রতিটি অসমতা আলাদাভাবে লিখতে হবে। ফলস্বরূপ, অসমতা থেকে ফাংশন প্রাপ্ত করা হবে। এর পরে, আপনি একটি পেন্সিল এবং একটি শাসক পেতে পারেন: এখন আপনাকে প্রাপ্ত প্রতিটি ফাংশনের একটি গ্রাফ আঁকতে হবে। সংখ্যার সম্পূর্ণ সেট যা তাদের ছেদকের ব্যবধানে থাকবে তা হবে অসমতার ব্যবস্থার সমাধান।

বীজগণিত পদ্ধতি

আপনাকে দুটি অজানা ভেরিয়েবলের সাথে অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করার অনুমতি দেয়। অসমতাগুলিরও একই অসমতার চিহ্ন থাকতে হবে (অর্থাৎ, সেগুলিতে অবশ্যই "এর চেয়ে বড়" চিহ্ন থাকতে হবে, বা শুধুমাত্র "এর চেয়ে কম" চিহ্ন ইত্যাদি থাকতে হবে) এর সীমাবদ্ধতা থাকা সত্ত্বেও, এই পদ্ধতিটি আরও জটিল। এটি দুটি ধাপে প্রয়োগ করা হয়।

প্রথমটির মধ্যে একটি অজানা ভেরিয়েবল থেকে মুক্তি পাওয়া জড়িত। প্রথমে আপনাকে এটি নির্বাচন করতে হবে, তারপর এই ভেরিয়েবলের সামনে সংখ্যার উপস্থিতি পরীক্ষা করুন। যদি কোনটি না থাকে (তখন ভেরিয়েবলটি একটি একক অক্ষরের মতো দেখাবে), তবে আমরা কিছু পরিবর্তন করি না, যদি থাকে (ভেরিয়েবলের ধরনটি হবে, উদাহরণস্বরূপ, 5y বা 12y), তবে এটি নিশ্চিত করা প্রয়োজন যে প্রতিটি অসমতায় নির্বাচিত ভেরিয়েবলের সামনের সংখ্যা একই। এটি করার জন্য, আপনাকে অসমতার প্রতিটি সদস্যকে একটি সাধারণ গুণক দ্বারা গুণ করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রথম অসমতার মধ্যে 3y লেখা হয় এবং দ্বিতীয়টিতে 5y লেখা হয়, তাহলে আপনাকে প্রথম অসমতার সমস্ত সদস্যকে 5 দ্বারা গুণ করতে হবে।, এবং দ্বিতীয়টি 3 দ্বারা। আপনি যথাক্রমে 15y এবং 15y পাবেন।

সিদ্ধান্তের দ্বিতীয় ধাপ। প্রতিটি অসমতার বাম দিকটিকে তাদের ডান দিকে স্থানান্তর করা প্রয়োজন প্রতিটি পদের চিহ্নের বিপরীতে পরিবর্তনের সাথে, ডানদিকে শূন্য লিখুন। তারপরে মজার অংশটি আসে: অসমতা যোগ করার সময় নির্বাচিত পরিবর্তনশীল (অন্যথায় "হ্রাস" হিসাবে পরিচিত) পরিত্রাণ পাওয়া। আপনি একটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি অসমতা পাবেন যা সমাধান করা দরকার। এর পরে, আপনার একই কাজ করা উচিত, শুধুমাত্র অন্য অজানা ভেরিয়েবলের সাথে। প্রাপ্ত ফলাফল সিস্টেমের সমাধান হবে।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

যখন আপনি একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের সুযোগ পান তখন আপনাকে অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করতে দেয়। সাধারণত এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় যখন অসমতার একটি পদে অজানা চলকটিকে চতুর্থ শক্তিতে উন্নীত করা হয় এবং অন্য পদে এটি বর্গ করা হয়। সুতরাং, এই পদ্ধতিটি সিস্টেমে বৈষম্যের মাত্রা হ্রাস করার লক্ষ্যে। নমুনা অসমতা x⁴ - x² - 1 ≦ 0 এইভাবে সমাধান করা হয়। একটি নতুন ভেরিয়েবল চালু করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ t. তারা লেখে: "Let t=x²", তারপর মডেলটি একটি নতুন আকারে আবার লেখা হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা পাই t² - t - 1 ≦0। এই অসমতাকে ব্যবধান পদ্ধতির মাধ্যমে সমাধান করতে হবে (এটি সম্পর্কে একটু পরে), তারপর পরিবর্তনশীল X-এ ফিরে যান, তারপর অন্য অসমতার সাথে একই কাজ করুন। প্রাপ্ত উত্তর সিস্টেমের সিদ্ধান্ত হবে।

ব্যবধান পদ্ধতি

এটি বৈষম্যের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সবচেয়ে সহজ উপায়, এবং একই সাথে এটি সর্বজনীন এবং ব্যাপক। এটি উচ্চ বিদ্যালয়ে এবং এমনকি উচ্চ বিদ্যালয়েও ব্যবহৃত হয়। এর সারমর্মটি এই সত্যের মধ্যে নিহিত যে শিক্ষার্থী নম্বর লাইনে অসমতার ব্যবধান খুঁজছে, যা একটি নোটবুকে আঁকা হয়েছে (এটি একটি গ্রাফ নয়, সংখ্যা সহ একটি সাধারণ সরল রেখা)। যেখানে অসমতার ব্যবধানগুলিকে ছেদ করে, সেখানে সিস্টেমের সমাধান পাওয়া যায়। ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করতে, এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

1. প্রতিটি অসমতার সমস্ত সদস্যকে বিপরীতে চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে বাম দিকে স্থানান্তরিত করা হয় (ডানদিকে শূন্য লেখা হয়)।
2. বৈষম্যগুলি আলাদাভাবে লেখা হয়, তাদের প্রতিটির সমাধান নির্ধারিত হয়।
3. সংখ্যার উপর অসমতার ছেদসোজা এই চৌরাস্তার সমস্ত নম্বরই সমাধান হবে৷

কোন উপায় ব্যবহার করবেন?

অবশ্যই যেটি সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে সুবিধাজনক বলে মনে হয়, কিন্তু এমন সময় আছে যখন কাজের জন্য একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। প্রায়শই, তারা বলে যে আপনাকে একটি গ্রাফ ব্যবহার করে বা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। বীজগাণিতিক পদ্ধতি এবং প্রতিস্থাপন খুব কমই ব্যবহৃত হয় বা একেবারেই নয়, যেহেতু তারা বেশ জটিল এবং বিভ্রান্তিকর, এবং পাশাপাশি, তারা অসমতার পরিবর্তে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য বেশি ব্যবহৃত হয়, তাই আপনার গ্রাফ এবং ব্যবধানগুলি আঁকার অবলম্বন করা উচিত। তারা দৃশ্যমানতা নিয়ে আসে, যা গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির দক্ষ এবং দ্রুত পরিচালনায় অবদান রাখতে পারে না৷

যদি কিছু কাজ না করে

বীজগণিত একটি নির্দিষ্ট বিষয় অধ্যয়নের সময়, অবশ্যই, এটি বোঝার ক্ষেত্রে সমস্যা হতে পারে। এবং এটি স্বাভাবিক, কারণ আমাদের মস্তিষ্ক এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যে এটি একযোগে জটিল উপাদান বুঝতে সক্ষম নয়। প্রায়শই আপনাকে একটি অনুচ্ছেদ পুনরায় পড়তে হবে, একজন শিক্ষকের সাহায্য নিতে হবে বা সাধারণ সমস্যা সমাধানের অনুশীলন করতে হবে। আমাদের ক্ষেত্রে, তারা দেখতে, উদাহরণস্বরূপ, এই মত: "বৈষম্য সিস্টেম 3 x + 1 ≧ 0 এবং 2 x - 1 > 3 সমাধান করুন"। এইভাবে, ব্যক্তিগত প্রচেষ্টা, বহিরাগতদের সাহায্য এবং যেকোন জটিল বিষয় বোঝার জন্য অনুশীলন সাহায্য করে।

রেশেবনিক?

এবং সমাধানের বইটিও খুব ভাল, তবে বাড়ির কাজ ঠকানোর জন্য নয়, আত্ম-সহায়তার জন্য। তাদের মধ্যে আপনি সমাধান সহ অসমতার সিস্টেমগুলি খুঁজে পেতে পারেন, দেখুনএগুলি (টেমপ্লেটগুলির মতো), সমাধানের লেখক কীভাবে কাজটি মোকাবেলা করেছেন তা বোঝার চেষ্টা করুন এবং তারপরে নিজে থেকে এটি করার চেষ্টা করুন৷

সিদ্ধান্ত

বীজগণিত স্কুলের সবচেয়ে কঠিন বিষয়গুলির মধ্যে একটি। হ্যাঁ, আপনি কি করতে পারেন? গণিত সর্বদা এইরকম ছিল: কারো জন্য এটি সহজে আসে, এবং অন্যদের জন্য এটি কঠিন। তবে যে কোনও ক্ষেত্রে, এটি মনে রাখা উচিত যে সাধারণ শিক্ষা প্রোগ্রামটি এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যে কোনও শিক্ষার্থী এটির সাথে মানিয়ে নিতে পারে। উপরন্তু, আপনি সহায়ক একটি বিশাল সংখ্যা মনে রাখা প্রয়োজন. তাদের মধ্যে কিছু উপরে উল্লেখ করা হয়েছে৷