এমনকি স্কুলেও, আমরা প্রত্যেকে সমীকরণ এবং নিশ্চিতভাবে, সমীকরণের সিস্টেমগুলি অধ্যয়ন করেছি। কিন্তু অনেকেই জানেন না যে তাদের সমাধান করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। আজ আমরা রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের একটি পদ্ধতির সমাধান করার জন্য সমস্ত পদ্ধতি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব, যা দুটির বেশি সমতা নিয়ে গঠিত।
ইতিহাস
আজ এটি জানা যায় যে সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেমগুলি সমাধান করার শিল্প প্রাচীন ব্যাবিলন এবং মিশরে উদ্ভূত হয়েছিল। যাইহোক, তাদের স্বাভাবিক আকারে সমতা সমান চিহ্নের উপস্থিতির পরে উপস্থিত হয়েছিল "=", যা 1556 সালে ইংরেজ গণিতবিদ রেকর্ড দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। যাইহোক, এই চিহ্নটি একটি কারণে বেছে নেওয়া হয়েছিল: এর অর্থ দুটি সমান্তরাল সমান অংশ। প্রকৃতপক্ষে, সমতার এর চেয়ে ভালো উদাহরণ আর নেই।
অজানা এবং ডিগ্রির চিহ্নের আধুনিক অক্ষর উপাধির প্রতিষ্ঠাতা হলেন ফরাসি গণিতবিদ ফ্রাঁসোয়া ভিয়েত। যাইহোক, তার পদবী আজকের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন। উদাহরণস্বরূপ, তিনি একটি অজানা সংখ্যার বর্গকে Q অক্ষর দিয়ে নির্দেশ করেছেন (lat. "quadratus"), এবং কিউবকে C অক্ষর দিয়ে (lat. "cubus")। এই উপাধিগুলি এখন অসুবিধাজনক বলে মনে হয়, কিন্তু তারপররৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের সিস্টেম লেখার সবচেয়ে বোধগম্য উপায় ছিল।
তবে, সমাধানের তৎকালীন পদ্ধতির অসুবিধা হল যে গণিতবিদরা শুধুমাত্র ইতিবাচক মূল বলে মনে করতেন। সম্ভবত এটি এই কারণে যে নেতিবাচক মানগুলির কোনও ব্যবহারিক ব্যবহার ছিল না। কোনো না কোনোভাবে, ইতালীয় গণিতবিদ নিকোলো টারটাগলিয়া, গেরোলামো কার্ডানো এবং রাফায়েল বোম্বেলি 16 শতকে প্রথম নেতিবাচক শিকড় বিবেচনা করেছিলেন। এবং আধুনিক চেহারা, দ্বিঘাত সমীকরণ (বৈষম্যকারীর মাধ্যমে) সমাধানের প্রধান পদ্ধতিটি শুধুমাত্র 17 শতকে তৈরি হয়েছিল ডেসকার্টস এবং নিউটনের কাজের জন্য ধন্যবাদ।
18 শতকের মাঝামাঝি, সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিগুলিকে সহজতর করার জন্য একটি নতুন উপায় খুঁজে পান। এই পদ্ধতিটি পরবর্তীকালে তার নামে নামকরণ করা হয়েছিল এবং আজ অবধি আমরা এটি ব্যবহার করি। তবে আমরা ক্রেমার পদ্ধতি সম্পর্কে একটু পরে কথা বলব, তবে আপাতত আমরা রৈখিক সমীকরণ এবং সিস্টেম থেকে আলাদাভাবে সমাধান করার পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব।
রৈখিক সমীকরণ
রৈখিক সমীকরণগুলি পরিবর্তনশীল(গুলি) সহ সবচেয়ে সহজ সমতা। তারা বীজগণিত হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়. রৈখিক সমীকরণগুলি নিম্নরূপ সাধারণ আকারে লেখা হয়: 2+…a x =b. সিস্টেম এবং ম্যাট্রিক্স আরও কম্পাইল করার সময় আমাদের এই ফর্মে তাদের প্রতিনিধিত্বের প্রয়োজন হবে৷
রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেম
এই শব্দটির সংজ্ঞা হল: এটি সমীকরণের একটি সেট যাতে সাধারণ অজানা এবং একটি সাধারণ সমাধান রয়েছে। একটি নিয়ম হিসাবে, স্কুলে সবকিছু সিস্টেম দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিলদুই বা এমনকি তিনটি সমীকরণ সহ। কিন্তু চার বা ততোধিক উপাদান সহ সিস্টেম আছে। আসুন প্রথমে সেগুলি কীভাবে লিখতে হয় তা নির্ধারণ করি যাতে পরে সেগুলি সমাধান করা সুবিধাজনক হয়। প্রথমত, রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমগুলি আরও ভাল দেখাবে যদি সমস্ত ভেরিয়েবলগুলিকে উপযুক্ত সূচক সহ x হিসাবে লেখা হয়: 1, 2, 3 এবং আরও অনেক কিছু। দ্বিতীয়ত, সমস্ত সমীকরণ ক্যানোনিকাল আকারে কমিয়ে আনা উচিত: a1x1+a2 x 2+…ax=b.
এই সমস্ত পদক্ষেপের পরে, আমরা কীভাবে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান খুঁজে বের করতে পারি সে সম্পর্কে কথা বলা শুরু করতে পারি। এর জন্য ম্যাট্রিক্স খুবই উপযোগী হবে।
ম্যাট্রিস
একটি ম্যাট্রিক্স হল একটি টেবিল যা সারি এবং কলাম নিয়ে গঠিত এবং এর উপাদানগুলি তাদের সংযোগস্থলে অবস্থিত। এগুলি হয় নির্দিষ্ট মান বা ভেরিয়েবল হতে পারে। প্রায়শই, উপাদানগুলিকে মনোনীত করার জন্য, সাবস্ক্রিপ্টগুলি তাদের অধীনে রাখা হয় (উদাহরণস্বরূপ, a11 বা একটি23)। প্রথম সূচকের অর্থ সারি নম্বর এবং দ্বিতীয়টি কলাম নম্বর। ম্যাট্রিসে, সেইসাথে অন্য কোনো গাণিতিক উপাদানে, আপনি বিভিন্ন অপারেশন করতে পারেন। তাই আপনি করতে পারেন:
1) বিয়োগ করুন এবং একই আকারের টেবিল যোগ করুন।
2) একটি ম্যাট্রিক্সকে কিছু সংখ্যা বা ভেক্টর দ্বারা গুণ করুন।
3) স্থানান্তর: ম্যাট্রিক্স সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিণত করুন।
4) ম্যাট্রিক্সকে গুণ করুন যদি তাদের একটির সারির সংখ্যা অন্যটির কলামের সংখ্যার সমান হয়।
আমরা এই সমস্ত কৌশলগুলি আরও বিশদে আলোচনা করব, কারণ সেগুলি ভবিষ্যতে আমাদের কাজে লাগবে৷ ম্যাট্রিক্স বিয়োগ এবং যোগ করা খুব সহজ। তাইযেহেতু আমরা একই আকারের ম্যাট্রিক্স নিই, তখন একটি টেবিলের প্রতিটি উপাদান অন্যটির প্রতিটি উপাদানের সাথে মিলে যায়। সুতরাং, আমরা এই দুটি উপাদান যোগ (বিয়োগ) (এটি গুরুত্বপূর্ণ যে তারা তাদের ম্যাট্রিক্সে একই স্থানে রয়েছে)। একটি সংখ্যা বা ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সময়, আপনাকে কেবল সেই সংখ্যা (বা ভেক্টর) দ্বারা ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে গুণ করতে হবে। স্থানান্তর একটি খুব আকর্ষণীয় প্রক্রিয়া. কখনও কখনও বাস্তব জীবনে এটি দেখতে খুব আকর্ষণীয় হয়, উদাহরণস্বরূপ, একটি ট্যাবলেট বা ফোনের অভিযোজন পরিবর্তন করার সময়। ডেস্কটপের আইকনগুলি একটি ম্যাট্রিক্স, এবং আপনি যখন অবস্থান পরিবর্তন করেন, তখন এটি স্থানান্তরিত হয় এবং প্রশস্ত হয়, তবে উচ্চতা হ্রাস পায়।
আসুন ম্যাট্রিক্স গুণনের মতো একটি প্রক্রিয়ার দিকে আরও একবার নজর দেওয়া যাক। যদিও এটা আমাদের কাজে লাগবে না, তবুও এটা জেনে কাজে লাগবে। একটি টেবিলের কলামের সংখ্যা অন্য টেবিলের সারির সংখ্যার সমান হলেই আপনি দুটি ম্যাট্রিক্স গুণ করতে পারবেন। এখন একটি ম্যাট্রিক্সের একটি সারির উপাদান এবং অন্যটির সংশ্লিষ্ট কলামের উপাদানগুলি নেওয়া যাক। আমরা তাদের একে অপরের দ্বারা গুণ করি এবং তারপরে তাদের যোগ করি (যেমন, উপাদানগুলির গুণফল a11 এবং a12 b 12 এবং b22 সমান হবে: a11b12 + a 12 b22)। এইভাবে, টেবিলের একটি উপাদান প্রাপ্ত হয়, এবং এটি আরও একটি অনুরূপ পদ্ধতি দ্বারা পূরণ করা হয়।
এখন আমরা রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি কীভাবে সমাধান করা হয় তা দেখা শুরু করতে পারি।
গাউস পদ্ধতি
এই বিষয়টি স্কুলেও পাস হতে শুরু করে। আমরা "দুটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম" ধারণাটি ভালভাবে জানি এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করতে হয় তা জানি।কিন্তু সমীকরণের সংখ্যা দুইটির বেশি হলে কী হবে? গাউস পদ্ধতি আমাদের এতে সাহায্য করবে।
অবশ্যই, এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক যদি আপনি সিস্টেমের বাইরে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করেন। কিন্তু আপনি এটিকে রূপান্তর করতে পারবেন না এবং এটির সবচেয়ে বিশুদ্ধতম আকারে সমাধান করতে পারবেন না।
তাহলে কীভাবে এই পদ্ধতিটি রৈখিক গাউসীয় সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান করে? যাইহোক, যদিও এই পদ্ধতিটি তার নামে নামকরণ করা হয়েছে, এটি প্রাচীনকালে আবিষ্কৃত হয়েছিল। গাউস নিম্নলিখিত প্রস্তাব করেছেন: সমীকরণ সহ ক্রিয়াকলাপগুলি শেষ পর্যন্ত সম্পূর্ণ সেটটিকে একটি ধাপে পরিণত করার জন্য। অর্থাৎ, এটি প্রয়োজনীয় যে উপরের থেকে নীচে (যদি সঠিকভাবে স্থাপন করা হয়) প্রথম সমীকরণ থেকে শেষ পর্যন্ত, একটি অজানা হ্রাস পায়। অন্য কথায়, আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে আমরা তিনটি সমীকরণ পেয়েছি: প্রথমটিতে - তিনটি অজানা, দ্বিতীয়টিতে - দুটি, তৃতীয়টিতে - একটি। তারপর শেষ সমীকরণ থেকে আমরা প্রথম অজানাটি খুঁজে পাই, এর মানটিকে দ্বিতীয় বা প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং তারপর অবশিষ্ট দুটি চলক খুঁজে পাই।
ক্রেমার পদ্ধতি
এই পদ্ধতিটি আয়ত্ত করতে, ম্যাট্রিক্সের যোগ, বিয়োগ করার দক্ষতা আয়ত্ত করা অত্যাবশ্যক এবং আপনাকে নির্ধারক খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে। অতএব, আপনি যদি এই সব খারাপভাবে করেন বা জানেন না কিভাবে, আপনাকে শিখতে হবে এবং অনুশীলন করতে হবে।
এই পদ্ধতির সারমর্ম কী এবং কীভাবে এটি তৈরি করা যায় যাতে লিনিয়ার ক্রেমার সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়? সবকিছু খুব সহজ. রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমের সংখ্যাসূচক (প্রায় সবসময়) সহগ থেকে আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হবে। এটি করার জন্য, কেবল অজানাদের সামনে নম্বরগুলি নিন এবং সেগুলি সাজানসেগুলি সিস্টেমে রেকর্ড করা হয় এমন ক্রমে টেবিল। যদি সংখ্যাটির আগে একটি "-" চিহ্ন থাকে, তাহলে আমরা একটি ঋণাত্মক সহগ লিখি। সুতরাং, আমরা অজানাদের সহগ থেকে প্রথম ম্যাট্রিক্স সংকলন করেছি, সমান চিহ্নের পরে সংখ্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত না করে (স্বাভাবিকভাবে, সমীকরণটি ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করা উচিত, যখন শুধুমাত্র সংখ্যাটি ডানদিকে থাকে এবং সমস্ত অজানা সহ বাম দিকে সহগ)। তারপরে আপনাকে আরও কয়েকটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হবে - প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য একটি। এটি করার জন্য, আমরা সমান চিহ্নের পরে সংখ্যার কলাম সহ প্রথম ম্যাট্রিক্সের সহগ সহ প্রতিটি কলাম প্রতিস্থাপন করি। এইভাবে, আমরা বেশ কিছু ম্যাট্রিক্স পাই এবং তারপর তাদের নির্ধারক খুঁজে পাই।
আমরা নির্ধারক খুঁজে পাওয়ার পরে, বিষয়টি ছোট। আমাদের একটি প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স আছে, এবং বিভিন্ন ভেরিয়েবলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বেশ কয়েকটি ফলাফল ম্যাট্রিক্স রয়েছে। সিস্টেমের সমাধান পেতে, আমরা ফলাফল টেবিলের নির্ধারককে প্রাথমিক টেবিলের নির্ধারক দ্বারা ভাগ করি। ফলাফল সংখ্যা হল একটি ভেরিয়েবলের মান। একইভাবে, আমরা সব অজানা খুঁজে পাই।
অন্যান্য পদ্ধতি
রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান পেতে আরও বেশ কিছু পদ্ধতি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, তথাকথিত গাউস-জর্ডান পদ্ধতি, যা দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খুঁজতে ব্যবহৃত হয় এবং ম্যাট্রিক্স ব্যবহারের সাথেও যুক্ত। রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য একটি জ্যাকোবি পদ্ধতিও রয়েছে। এটি একটি কম্পিউটারের সাথে মানিয়ে নেওয়া সবচেয়ে সহজ এবং কম্পিউটিংয়ে ব্যবহৃত হয়৷
কঠিন ক্ষেত্রে
জটিলতা সাধারণত ঘটে যখন সমীকরণের সংখ্যা ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে কম হয়। তারপরে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ (অর্থাৎ এটির কোন শিকড় নেই), অথবা এর সমাধানের সংখ্যা অসীমতার দিকে ঝোঁক। যদি আমাদের দ্বিতীয় ক্ষেত্রে থাকে, তাহলে আমাদের রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সাধারণ সমাধান লিখতে হবে। এতে অন্তত একটি ভেরিয়েবল থাকবে।
উপসংহার
এখানে আমরা শেষ করছি। সংক্ষিপ্ত করার জন্য: আমরা একটি সিস্টেম এবং একটি ম্যাট্রিক্স কি তা বিশ্লেষণ করেছি, আমরা শিখেছি কিভাবে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে হয়। এছাড়াও, অন্যান্য বিকল্পগুলি বিবেচনা করা হয়েছিল। আমরা খুঁজে পেয়েছি কিভাবে রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করা হয়: গাউস পদ্ধতি এবং ক্রেমার পদ্ধতি। আমরা কঠিন মামলা এবং সমাধান খোঁজার অন্যান্য উপায় সম্পর্কে কথা বলেছি।
আসলে, এই বিষয়টি অনেক বেশি বিস্তৃত, এবং আপনি যদি এটি আরও ভালভাবে বুঝতে চান তবে আমরা আপনাকে আরও বিশেষ সাহিত্য পড়ার পরামর্শ দিই।
