আজকের বিশ্বে, আমরা ক্রমবর্ধমানভাবে বিভিন্ন ধরনের গাড়ি এবং গ্যাজেট ব্যবহার করি। এবং শুধুমাত্র যখন আক্ষরিক অর্থে অমানবিক শক্তি প্রয়োগ করা প্রয়োজন তখনই নয়: লোডটি সরান, এটিকে উচ্চতায় তুলুন, একটি দীর্ঘ এবং গভীর পরিখা খনন করুন ইত্যাদি। গাড়িগুলি আজ রোবট দ্বারা একত্রিত হয়, মাল্টিকুকার দ্বারা খাবার প্রস্তুত করা হয় এবং প্রাথমিক গাণিতিক গণনাগুলি হল ক্যালকুলেটর দ্বারা সঞ্চালিত। প্রায়শই আমরা "বুলিয়ান বীজগণিত" অভিব্যক্তি শুনতে পাই। রোবট তৈরিতে মানুষের ভূমিকা এবং শুধু গাণিতিকই নয়, যৌক্তিক সমস্যাও সমাধান করার জন্য মেশিনের ক্ষমতা বোঝার এখনই সময়।
যুক্তি
গ্রীক থেকে অনূদিত, যুক্তি হল চিন্তার একটি সুশৃঙ্খল পদ্ধতি যা প্রদত্ত অবস্থার মধ্যে সম্পর্ক তৈরি করে এবং আপনাকে প্রাঙ্গণ এবং অনুমানের উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে দেয়। প্রায়শই আমরা একে অপরকে জিজ্ঞাসা করি: "এটি কি যৌক্তিক?" প্রাপ্ত উত্তর আমাদের অনুমানকে নিশ্চিত করে বা চিন্তার ট্রেনের সমালোচনা করে। কিন্তু প্রক্রিয়া বন্ধ হয় না: আমরা যুক্তি অব্যাহত রাখি।
কখনও কখনও অবস্থার সংখ্যা (পরিচয়মূলক) এত বেশি, এবং তাদের মধ্যে সম্পর্ক এত জটিল এবং জটিল যে মানুষের মস্তিষ্ক একবারে সবকিছু "হজম" করতে সক্ষম হয় না। কি ঘটছে তা বুঝতে এক মাসেরও বেশি সময় লাগতে পারে (সপ্তাহ, বছর)। কিন্তুআধুনিক জীবন আমাদের সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য এমন সময় ব্যবধান দেয় না। আর আমরা কম্পিউটারের সাহায্য নিই। এবং এখানেই যুক্তির বীজগণিত উপস্থিত হয়, তার নিজস্ব আইন এবং বৈশিষ্ট্য সহ। সমস্ত প্রাথমিক ডেটা ডাউনলোড করার মাধ্যমে, আমরা কম্পিউটারকে সমস্ত সম্পর্ক চিনতে, দ্বন্দ্ব দূর করতে এবং একটি সন্তোষজনক সমাধান খুঁজে পেতে অনুমতি দিই৷
গণিত এবং যুক্তি
বিখ্যাত গটফ্রাইড উইলহেম লিবনিজ "গাণিতিক যুক্তি" ধারণাটি প্রণয়ন করেছিলেন, যার সমস্যাগুলি শুধুমাত্র বিজ্ঞানীদের একটি সংকীর্ণ বৃত্তের কাছে বোধগম্য ছিল। এই দিকটি বিশেষ আগ্রহ জাগিয়ে তোলেনি এবং 19 শতকের মাঝামাঝি পর্যন্ত, খুব কম লোকই গাণিতিক যুক্তি সম্পর্কে জানত।
বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়ের প্রতি ব্যাপক আগ্রহ একটি বিরোধের সৃষ্টি করেছিল যেখানে ইংরেজ জর্জ বুল গণিতের একটি শাখা তৈরি করার তার অভিপ্রায় ঘোষণা করেছিলেন যার একেবারেই কোনো ব্যবহারিক প্রয়োগ নেই। আমরা ইতিহাস থেকে মনে রাখি, সেই সময়ে শিল্প উত্পাদন সক্রিয়ভাবে বিকাশ লাভ করছিল, সমস্ত ধরণের সহায়ক মেশিন এবং মেশিন টুলস তৈরি হচ্ছিল, অর্থাৎ সমস্ত বৈজ্ঞানিক আবিষ্কারের একটি ব্যবহারিক ফোকাস ছিল৷
আগের দিকে তাকিয়ে, আসুন বলি যে বুলিয়ান বীজগণিত আধুনিক বিশ্বে গণিতের সর্বাধিক ব্যবহৃত অংশ। তাই বুল তার যুক্তি হারিয়েছে।
জর্জ বুহল
লেখকের ব্যক্তিত্ব বিশেষ মনোযোগের দাবি রাখে। এমনকি অতীতে মানুষ আমাদের সামনে বেড়ে উঠেছিল তা বিবেচনা করে, এটি এখনও অসম্ভব যে 16 বছর বয়সে, জে. বুহল একটি গ্রামের স্কুলে পড়াতেন এবং 20 বছর বয়সে তিনি লিঙ্কনে নিজের স্কুল খুলেছিলেন। গণিতবিদ পাঁচটি বিদেশী ভাষায় সাবলীল ছিলেন এবং অবসর সময়ে তিনি কাজগুলি পড়তেননিউটন এবং ল্যাগ্রেঞ্জ। আর এই সবই একজন সাধারণ শ্রমিকের ছেলেকে নিয়ে!
1839 সালে বুল প্রথম তার বৈজ্ঞানিক কাগজপত্র কেমব্রিজ গণিত জার্নালে জমা দেন। বিজ্ঞানীর বয়স 24 বছর। বুলের কাজ রয়্যাল সোসাইটির সদস্যদের এত আগ্রহী যে 1844 সালে তিনি গাণিতিক বিশ্লেষণের বিকাশে অবদানের জন্য একটি পদক পেয়েছিলেন। আরও বেশ কিছু প্রকাশিত কাজ, যা গাণিতিক যুক্তিবিদ্যার উপাদানগুলিকে বর্ণনা করে, তরুণ গণিতবিদকে কর্কের কলেজে অধ্যাপকের পদ গ্রহণ করার অনুমতি দেয়। মনে রাখবেন বুহলের নিজের কোন শিক্ষা ছিল না।
আইডিয়া
নীতিগতভাবে, বুলিয়ান বীজগণিত খুবই সহজ। এমন বিবৃতি (যৌক্তিক অভিব্যক্তি) আছে যেগুলি, গণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, শুধুমাত্র দুটি শব্দ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: "সত্য" বা "মিথ্যা"। উদাহরণস্বরূপ, বসন্তে গাছে ফুল ফোটে - সত্য, গ্রীষ্মে তুষারপাত হয় - একটি মিথ্যা। এই গণিতের সৌন্দর্য হল শুধুমাত্র সংখ্যা ব্যবহার করার কোন কঠোর প্রয়োজন নেই। দ্ব্যর্থহীন অর্থ সহ যেকোনো বিবৃতি রায়ের বীজগণিতের জন্য বেশ উপযুক্ত৷
এইভাবে, যুক্তির বীজগণিত আক্ষরিক অর্থে সর্বত্র ব্যবহার করা যেতে পারে: সময়সূচী এবং নির্দেশনা লিখতে, ঘটনা সম্পর্কে পরস্পরবিরোধী তথ্য বিশ্লেষণ করতে এবং কর্মের ক্রম নির্ধারণে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যে আমরা বিবৃতিটির সত্য বা মিথ্যা নির্ণয় করব তা সম্পূর্ণরূপে গুরুত্বহীন। এই "কীভাবে" এবং "কেন" বিমূর্ত করা প্রয়োজন. শুধুমাত্র সত্যের বিবৃতি গুরুত্বপূর্ণ: সত্য-মিথ্যা।
অবশ্যই, প্রোগ্রামিংয়ের জন্য, যুক্তিবিদ্যার বীজগণিতের ফাংশনগুলি গুরুত্বপূর্ণ, যা সংশ্লিষ্ট দ্বারা লিখিতচিহ্ন এবং চিহ্ন। এবং সেগুলি শেখার অর্থ একটি নতুন বিদেশী ভাষা আয়ত্ত করা। কিছুই অসম্ভব নয়।
মৌলিক ধারণা এবং সংজ্ঞা
গভীরতায় না গিয়ে, আসুন পরিভাষা নিয়ে কাজ করি। তাই বুলিয়ান বীজগণিত অনুমান করে:
- বিবৃতি;
- যৌক্তিক অপারেশন;
- কাজ এবং আইন।
বিবৃতি হল কোনো ইতিবাচক অভিব্যক্তি যা অস্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা যায় না। এগুলি সংখ্যা হিসাবে লেখা হয় (5 > 3) বা পরিচিত শব্দে তৈরি করা হয় (হাতি হল বৃহত্তম স্তন্যপায়ী প্রাণী)। একই সময়ে, "জিরাফের কোন ঘাড় নেই" বাক্যাংশটিরও অস্তিত্বের অধিকার রয়েছে, শুধুমাত্র বুলিয়ান বীজগণিত এটিকে "মিথ্যা" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করবে৷
সমস্ত বিবৃতি অবশ্যই দ্ব্যর্থহীন হতে হবে, তবে সেগুলি প্রাথমিক এবং যৌগিক হতে পারে। পরেরটি যৌক্তিক সংযোগ ব্যবহার করে। অর্থাৎ, বিচারের বীজগণিতে, যৌগিক বিবৃতিগুলি যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে প্রাথমিক বিবৃতি যোগ করে গঠিত হয়।
বুলিয়ান বীজগণিত অপারেশন
আমরা ইতিমধ্যেই মনে রেখেছি যে বিচারের বীজগণিতের ক্রিয়াকলাপগুলি যৌক্তিক। যেমন সংখ্যা বীজগণিত সংখ্যা যোগ, বিয়োগ বা তুলনা করার জন্য পাটিগণিত ব্যবহার করে, তেমনি গাণিতিক যুক্তিবিদ্যার উপাদানগুলি আপনাকে জটিল বিবৃতি তৈরি করতে, অস্বীকার করতে বা চূড়ান্ত ফলাফল গণনা করতে দেয়।
আনুষ্ঠানিকীকরণ এবং সরলতার জন্য যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপগুলি পাটিগণিত আমাদের কাছে পরিচিত সূত্র দ্বারা লেখা হয়। বুলিয়ান বীজগণিতের বৈশিষ্ট্যগুলি সমীকরণ লেখা এবং অজানা গণনা করা সম্ভব করে। লজিক্যাল অপারেশন সাধারণত একটি সত্য টেবিল ব্যবহার করে লেখা হয়. এর কলামগণনার উপাদান এবং তাদের উপর সঞ্চালিত অপারেশন সংজ্ঞায়িত করুন এবং লাইনগুলি গণনার ফলাফল দেখায়।
মৌলিক যৌক্তিক ক্রিয়া
বুলিয়ান বীজগণিতের সবচেয়ে সাধারণ ক্রিয়াকলাপগুলি হল নেগেশান (না) এবং যৌক্তিক AND এবং OR৷ বিচারের বীজগণিতের প্রায় সমস্ত ক্রিয়াকে এভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। আসুন তিনটি অপারেশনের প্রতিটিকে আরও বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করি।
নেগেশন (না) শুধুমাত্র একটি উপাদানের (অপারেন্ড) ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তাই, নেগেশান অপারেশনকে বলা হয় unary। "A নয়" ধারণাটি লিখতে নিম্নলিখিত চিহ্নগুলি ব্যবহার করুন: ¬A, A¯¯¯ বা !A। সারণী আকারে এটি এইরকম দেখায়:
নেগেশন ফাংশনটি নিম্নলিখিত বিবৃতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: যদি A সত্য হয়, তবে B মিথ্যা। উদাহরণস্বরূপ, চাঁদ পৃথিবীর চারপাশে ঘোরে - সত্য; পৃথিবী চাঁদের চারদিকে ঘোরে - মিথ্যা।
যৌক্তিক গুণ ও যোগ
যৌক্তিক AND কে কনজাঙ্কশন অপারেশন বলা হয়। এর মানে কী? প্রথমত, এটি দুটি অপারেন্ডে প্রয়োগ করা যেতে পারে, অর্থাৎ এবং এটি একটি বাইনারি অপারেশন। দ্বিতীয়ত, শুধুমাত্র উভয় অপারেন্ডের (A এবং B উভয়) সত্যের ক্ষেত্রে অভিব্যক্তি নিজেই সত্য। প্রবাদটি "ধৈর্য এবং কাজ সবকিছুকে পিষে দেবে" পরামর্শ দেয় যে শুধুমাত্র উভয় কারণই একজন ব্যক্তিকে অসুবিধা মোকাবেলা করতে সাহায্য করবে।
লেখার জন্য ব্যবহৃত চিহ্ন: A∧B, A⋅B বা A&B।
সংযোগটি পাটিগণিতের গুণের অনুরূপ। কখনও কখনও তারা বলে যে - যৌক্তিক গুণ। আমরা যদি সারণির সারির উপাদানগুলিকে সারি দ্বারা গুণ করি, তাহলে আমরা যৌক্তিক যুক্তির মতো ফলাফল পাই।
বিচ্ছিন্নতা একটি যৌক্তিক বা অপারেশন। সত্যের মূল্য লাগেযখন অন্তত একটি বিবৃতি সত্য (হয় A বা B)। এটি এভাবে লেখা হয়: A∨B, A+B বা A||B। এই অপারেশনের জন্য সত্য সারণী হল:
বিচ্ছিন্নতা পাটিগণিত যোগের মত। যৌক্তিক সংযোজন অপারেশনের শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধতা রয়েছে: 1+1=1। কিন্তু আমরা মনে রাখি যে ডিজিটাল বিন্যাসে, গাণিতিক যুক্তি 0 এবং 1 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ (যেখানে 1 সত্য, 0 মিথ্যা)। উদাহরণস্বরূপ, "একটি যাদুঘরে আপনি একটি মাস্টারপিস দেখতে পারেন বা একটি আকর্ষণীয় কথোপকথনের সাথে দেখা করতে পারেন" এর অর্থ হল আপনি শিল্পের কাজগুলি দেখতে পারেন বা আপনি একটি আকর্ষণীয় ব্যক্তির সাথে দেখা করতে পারেন। একই সময়ে, উভয় ঘটনা একই সাথে ঘটার সম্ভাবনা উড়িয়ে দেওয়া যায় না।
কাজ এবং আইন
সুতরাং, আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে বুলিয়ান বীজগণিত কী লজিক্যাল অপারেশন ব্যবহার করে। ফাংশনগুলি গাণিতিক যুক্তির উপাদানগুলির সমস্ত বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে এবং আপনাকে সমস্যার জটিল যৌগিক অবস্থাকে সরল করার অনুমতি দেয়। সবচেয়ে বোধগম্য এবং সহজ সম্পত্তি প্রাপ্ত অপারেশন প্রত্যাখ্যান বলে মনে হয়. ডেরিভেটিভগুলি একচেটিয়া OR, অন্তর্নিহিততা এবং সমতুল্য। যেহেতু আমরা শুধুমাত্র মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি অধ্যয়ন করেছি, তাই আমরা শুধুমাত্র সেগুলির বৈশিষ্ট্যগুলিও বিবেচনা করব৷
অ্যাসোসিয়েটিভিটি মানে "এবং A, এবং B, এবং C" এর মত বিবৃতিতে অপারেন্ডের ক্রম কোন ব্যাপার নয়। সূত্রটি এভাবে লেখা:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি কেবল সংযোগের বৈশিষ্ট্যই নয়, বিচ্ছিন্নতারও বৈশিষ্ট্য।
Commutativity বলে যে ফলাফলসংযোগ বা বিচ্ছিন্নতা কোন উপাদানটি প্রথমে বিবেচনা করা হয়েছিল তার উপর নির্ভর করে না:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
ডিস্ট্রিবিউটিভিটি জটিল লজিক্যাল এক্সপ্রেশনে বন্ধনীকে প্রসারিত করার অনুমতি দেয়। নিয়মগুলি বীজগণিতে গুণ এবং যোগে বন্ধনী খোলার অনুরূপ:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B)।
এক এবং শূন্যের বৈশিষ্ট্য, যা অপারেন্ডগুলির মধ্যে একটি হতে পারে, বীজগণিতিক শূন্য বা এক দ্বারা গুণ এবং একটির সাথে যোগ করার অনুরূপ:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
আইডেমপোটেন্সি আমাদের বলে যে, যদি দুটি সমান অপারেন্ডের ক্ষেত্রে, একটি অপারেশনের ফলাফল একই রকম হয়, তাহলে আমরা অতিরিক্ত অপারেন্ডগুলিকে "ছুড়ে ফেলতে" পারি যা যুক্তির গতিপথকে জটিল করে তোলে। সংযোগ এবং বিচ্ছিন্নতা উভয়ই অদম্য ক্রিয়াকলাপ।
B∧B=B; B∨B=B.
শোষণ আমাদের সমীকরণগুলিকে সরল করার অনুমতি দেয়। শোষণ বলে যে যখন একই উপাদান সহ অন্য একটি অপারেশন একটি অপারেন্ড সহ একটি এক্সপ্রেশনে প্রয়োগ করা হয়, তখন শোষণকারী অপারেশন থেকে ফলাফলটি হয় অপারেন্ড।
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
অপারেশনের ক্রম
অপারেশনের ক্রমটি খুব কম গুরুত্ব দেয় না। প্রকৃতপক্ষে, বীজগণিতের জন্য, বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে এমন ফাংশনগুলির একটি অগ্রাধিকার রয়েছে। ক্রিয়াকলাপগুলির তাত্পর্য পরিলক্ষিত হলেই সূত্রগুলি সরলীকৃত করা যেতে পারে। সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য থেকে সর্বনিম্ন পর্যন্ত র্যাঙ্কিং, আমরা নিম্নলিখিত ক্রমটি পাই:
1. অস্বীকার।
2. সংযোগ।
৩. বিচ্ছিন্নতা, একচেটিয়াঅথবা।
৪. অন্তর্নিহিততা, সমতা।
যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, শুধুমাত্র নেতিবাচক এবং সংযোগের সমান অগ্রাধিকার নেই। এবং বিচ্ছিন্নতা এবং XOR এর অগ্রাধিকার সমান, সেইসাথে অন্তর্নিহিততা এবং সমতুলতার অগ্রাধিকার।
ইমপ্লিকেশন এবং ইকুয়ালেন্স ফাংশন
যেমন আমরা আগেই বলেছি, মৌলিক লজিক্যাল ক্রিয়াকলাপ ছাড়াও গাণিতিক যুক্তি এবং অ্যালগরিদমের তত্ত্ব ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে। সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় নিহিতার্থ এবং সমতুল্য।
ইমপ্লিকেশন, বা যৌক্তিক পরিণতি, এমন একটি বিবৃতি যেখানে একটি ক্রিয়া একটি শর্ত, এবং অন্যটি এটির বাস্তবায়নের পরিণতি৷ অন্য কথায়, এটি "যদি … তারপর" অব্যয় সহ একটি বাক্য। "আপনি যদি চড়তে পছন্দ করেন, স্লেজ বহন করতে ভালোবাসেন।" অর্থাৎ, স্কিইংয়ের জন্য, আপনাকে পাহাড়ের উপরে স্লেজটি শক্ত করতে হবে। যদি পাহাড়ের নিচে নামার ইচ্ছা না থাকে, তাহলে আপনাকে স্লেজ বহন করতে হবে না। এটি এভাবে লেখা হয়: A→B বা A⇒B।
সমতা অনুমান করে যে ফলাফল ক্রিয়াটি তখনই ঘটে যখন উভয় অপারেন্ড সত্য হয়। উদাহরণস্বরূপ, রাত দিনে পরিণত হয় যখন (এবং শুধুমাত্র যখন) সূর্য দিগন্তের উপরে ওঠে। গাণিতিক যুক্তির ভাষায়, এই বিবৃতিটি এইভাবে লেখা হয়: A≡B, A⇔B, A==B.
বুলিয়ান বীজগণিতের অন্যান্য সূত্র
বিচারের বীজগণিত বিকাশ করছে, এবং অনেক আগ্রহী বিজ্ঞানী নতুন আইন প্রণয়ন করেছেন। স্কটিশ গণিতবিদ ও. ডি মরগানের পোস্টুলেটগুলি সবচেয়ে বিখ্যাত বলে মনে করা হয়। তিনি ঘনিষ্ঠ অস্বীকৃতি, পরিপূরক এবং দ্বিগুণ নেতিকরণের মতো বৈশিষ্ট্যগুলি লক্ষ্য করেছেন এবং সংজ্ঞায়িত করেছেন।
ক্লোজ নেগেশান মানে বন্ধনীর আগে কোন নেগেশান নেই:না (A বা B)=A নয় বা B নয়।
যখন একটি অপারেন্ড নেগেটিভ করা হয়, তার মান নির্বিশেষে, কেউ একটি পরিপূরকের কথা বলে:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
এবং পরিশেষে, ডবল নেগেশান নিজের জন্য ক্ষতিপূরণ দেয়। সেগুলো. হয় নেগেশান অপারেন্ডের আগে অদৃশ্য হয়ে যায়, অথবা শুধুমাত্র একটি অবশিষ্ট থাকে।
কীভাবে পরীক্ষা সমাধান করবেন
গাণিতিক যুক্তি প্রদত্ত সমীকরণের সরলীকরণ বোঝায়। বীজগণিতের মতোই, আপনাকে প্রথমে শর্তটি যতটা সম্ভব সহজ করতে হবে (এগুলি দিয়ে জটিল ইনপুট এবং অপারেশনগুলি থেকে মুক্তি পান), এবং তারপরে সঠিক উত্তর খুঁজতে শুরু করুন৷
সরলীকরণের জন্য কী করা যেতে পারে? সমস্ত উদ্ভূত অপারেশনকে সহজে রূপান্তর করুন। তারপর সমস্ত বন্ধনী খুলুন (অথবা বিপরীতভাবে, এই উপাদানটিকে ছোট করতে বন্ধনী থেকে বের করে নিন)। পরবর্তী পদক্ষেপটি অনুশীলনে বুলিয়ান বীজগণিতের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করা উচিত (শোষণ, শূন্য এবং একের বৈশিষ্ট্য ইত্যাদি)।
অবশেষে, সমীকরণটি সাধারণ ক্রিয়াকলাপের দ্বারা একত্রিত অজানা ন্যূনতম সংখ্যক নিয়ে গঠিত হওয়া উচিত। একটি সমাধান খুঁজে বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ঘনিষ্ঠ নেতিবাচক একটি বড় সংখ্যা অর্জন করা। তারপরে উত্তরটি নিজে থেকেই পপ আপ হবে।
