আমি মনে করি আমাদের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মতো গৌরবময় গাণিতিক সরঞ্জামের ইতিহাস দিয়ে শুরু করা উচিত। সমস্ত ডিফারেনশিয়াল এবং অখণ্ড ক্যালকুলাসের মতো, এই সমীকরণগুলি 17 শতকের শেষের দিকে নিউটন আবিষ্কার করেছিলেন। তিনি তাঁর এই আবিষ্কারটিকে এত গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে করেছিলেন যে তিনি বার্তাটি এনক্রিপ্টও করেছিলেন, যা আজকে এইরকম কিছু অনুবাদ করা যেতে পারে: "প্রকৃতির সমস্ত নিয়ম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়।" এটি একটি অতিরঞ্জিত মত মনে হতে পারে, কিন্তু এটা সত্য. পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, জীববিদ্যার যে কোন নিয়ম এই সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যায়।
গণিতবিদ অয়লার এবং ল্যাগ্রেঞ্জ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তত্ত্বের বিকাশ এবং সৃষ্টিতে বিশাল অবদান রেখেছিলেন। ইতিমধ্যেই 18শ শতাব্দীতে, তারা এখন বিশ্ববিদ্যালয়গুলির সিনিয়র কোর্সে যা অধ্যয়ন করছে তা আবিষ্কার ও বিকাশ করেছে৷
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নের একটি নতুন মাইলফলক শুরু হয়েছিল হেনরি পয়নকেয়ারকে ধন্যবাদ৷ তিনি একটি "ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গুণগত তত্ত্ব" তৈরি করেছিলেন, যা একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশনের তত্ত্বের সাথে একত্রিত হয়ে টপোলজির ভিত্তিতে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিল - মহাকাশের বিজ্ঞান এবং এরবৈশিষ্ট্য।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কি?
অনেক মানুষ একটি বাক্যাংশ "ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ" ভয় পায়। যাইহোক, এই নিবন্ধে আমরা এই খুব দরকারী গাণিতিক যন্ত্রপাতির পুরো সারাংশটি বিস্তারিত করব, যা আসলে নাম থেকে মনে হয় ততটা জটিল নয়। প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলা শুরু করার জন্য, আপনাকে প্রথমে এই সংজ্ঞার সাথে অন্তর্নিহিতভাবে সম্পর্কিত মৌলিক ধারণাগুলির সাথে পরিচিত হওয়া উচিত। এবং আমরা ডিফারেনশিয়াল দিয়ে শুরু করব।
পার্থক্য
অনেকেই স্কুল থেকে এই ধারণাটি জানেন। যাইহোক, এর এটা ঘনিষ্ঠভাবে কটাক্ষপাত করা যাক. একটি ফাংশনের একটি গ্রাফ কল্পনা করুন। আমরা এটিকে এমন পরিমাণে বাড়াতে পারি যে এর যেকোন অংশ একটি সরল রেখায় রূপ নেবে। এটিতে আমরা দুটি বিন্দু নিই যা একে অপরের অসীম কাছাকাছি। তাদের স্থানাঙ্কের মধ্যে পার্থক্য (x বা y) হবে একটি অসীম মান। এটিকে একটি ডিফারেনশিয়াল বলা হয় এবং এটি dy (y থেকে পার্থক্য) এবং dx (x থেকে পার্থক্য) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটা বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে ডিফারেনশিয়াল একটি সীমাবদ্ধ মান নয়, এবং এটি এর অর্থ এবং প্রধান কাজ।
এবং এখন আমাদের পরবর্তী উপাদানটি বিবেচনা করতে হবে, যা একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণা ব্যাখ্যা করতে আমাদের জন্য কার্যকর হবে। এটি ডেরিভেটিভ।
ডেরিভেটিভ
আমরা সবাই সম্ভবত স্কুলে শুনেছি এবং এই ধারণাটি। ডেরিভেটিভকে একটি ফাংশনের বৃদ্ধি বা হ্রাসের হার বলা হয়। যাইহোক, এই সংজ্ঞা থেকেঅনেক কিছুই অস্পষ্ট হয়ে যায়। আসুন ডিফারেনশিয়ালের পরিপ্রেক্ষিতে ডেরিভেটিভ ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করি। আসুন একটি ফাংশনের অসীম সেগমেন্টে ফিরে যাই যেখানে দুটি বিন্দু রয়েছে যা একে অপরের থেকে ন্যূনতম দূরত্বে রয়েছে। তবে এই দূরত্বের জন্যও, ফাংশনটি কিছু পরিমাণে পরিবর্তন করতে পারে। এবং এই পরিবর্তনটি বর্ণনা করার জন্য, তারা একটি ডেরিভেটিভ নিয়ে এসেছে, যা অন্যথায় ডিফারেনশিয়ালের অনুপাত হিসাবে লেখা যেতে পারে: f(x)'=df/dx।
এখন ডেরিভেটিভের মৌলিক বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা মূল্যবান। তাদের মধ্যে মাত্র তিনটি আছে:
- সমষ্টি বা পার্থক্যের ডেরিভেটিভকে ডেরিভেটিভের যোগফল বা পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: (a+b)'=a'+b' এবং (a-b)'=a'-b'।
- দ্বিতীয় সম্পত্তি গুণের সাথে সম্পর্কিত। একটি পণ্যের ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশনের পণ্যের সমষ্টি এবং অন্যটির ডেরিভেটিভ: (ab)'=a'b+ab'।
- পার্থক্যের ডেরিভেটিভকে নিম্নলিখিত সমতা হিসাবে লেখা যেতে পারে: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য ফার্স্ট-অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান খুঁজতে কাজে লাগবে।
এছাড়াও আংশিক ডেরিভেটিভ আছে। ধরা যাক আমাদের একটি ফাংশন z আছে যা x এবং y ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে। এই ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ গণনা করার জন্য, বলুন, x এর ক্ষেত্রে, আমাদের y পরিবর্তনশীলটিকে একটি ধ্রুবক হিসাবে নিতে হবে এবং কেবল পার্থক্য করতে হবে।
অখণ্ড
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি হল অখণ্ড। আসলে, এটি ডেরিভেটিভের সরাসরি বিপরীত। অখণ্ডের বিভিন্ন প্রকার রয়েছে, তবে সহজতম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে, আমাদের সবচেয়ে তুচ্ছ অনির্দিষ্ট অখণ্ডের প্রয়োজন৷
তাহলে একটি অবিচ্ছেদ্য কি? ধরা যাক আমরা কিছু নির্ভরতা আছে চx থেকে। আমরা এটি থেকে পূর্ণাঙ্গ গ্রহণ করি এবং F (x) ফাংশনটি পাই (প্রায়শই এটিকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয়), যার ডেরিভেটিভটি আসল ফাংশনের সমান। এইভাবে F(x)'=f(x)। এটি থেকে এটিও অনুসরণ করে যে ডেরিভেটিভের অবিচ্ছেদ্য মূল ফাংশনের সমান।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, অখণ্ডের অর্থ এবং কার্যকারিতা বোঝা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ সমাধানটি খুঁজতে আপনাকে প্রায়শই সেগুলি নিতে হবে৷
সমীকরণ তাদের প্রকৃতির উপর নির্ভর করে ভিন্ন। পরবর্তী বিভাগে, আমরা প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকারগুলি বিবেচনা করব, এবং তারপর সেগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখব।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্লাস
"ডিফিউরি" তাদের সাথে জড়িত ডেরিভেটিভের ক্রম অনুসারে ভাগ করা হয়। সুতরাং, প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং আরও ক্রম রয়েছে। এগুলিকে কয়েকটি শ্রেণিতেও ভাগ করা যেতে পারে: সাধারণ এবং আংশিক ডেরিভেটিভ।
এই নিবন্ধে আমরা প্রথম ক্রমটির সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি বিবেচনা করব। আমরা নিম্নলিখিত বিভাগে উদাহরণ এবং সমাধান করার উপায় নিয়ে আলোচনা করব। আমরা শুধুমাত্র ওডিই বিবেচনা করব, কারণ এগুলি হল সবচেয়ে সাধারণ ধরনের সমীকরণ। সাধারণকে উপ-প্রজাতিতে বিভক্ত করা হয়েছে: বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ, একজাতীয় এবং ভিন্নধর্মী। এর পরে, আপনি শিখবেন কিভাবে তারা একে অপরের থেকে আলাদা, এবং কিভাবে তাদের সমাধান করতে হয় তা শিখবেন।
উপরন্তু, এই সমীকরণগুলিকে একত্রিত করা যেতে পারে, যাতে আমরা প্রথম ক্রমটির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম পেতে পারি। আমরা এই ধরনের সিস্টেমগুলিও বিবেচনা করব এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করতে হবে তা শিখব৷
কেন আমরা শুধুমাত্র প্রথম অর্ডার বিবেচনা করছি? কারণ আপনাকে একটি সাধারণ দিয়ে শুরু করতে হবে এবং ডিফারেনশিয়াল সম্পর্কিত সবকিছু বর্ণনা করতে হবেসমীকরণ, একটি নিবন্ধে কেবল অসম্ভব।
পৃথকযোগ্য পরিবর্তনশীল সমীকরণ
এগুলি সম্ভবত সহজ প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এর মধ্যে এমন উদাহরণ রয়েছে যা এভাবে লেখা যেতে পারে: y'=f(x)f(y)। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আমাদের ডিফারেনশিয়ালের অনুপাত হিসাবে ডেরিভেটিভকে উপস্থাপন করার জন্য একটি সূত্র প্রয়োজন: y'=dy/dx। এটি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই: dy/dx=f(x)f(y)। এখন আমরা স্ট্যান্ডার্ড উদাহরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিতে ফিরে যেতে পারি: আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে ভাগে ভাগ করব, অর্থাৎ আমরা y ভেরিয়েবলের সাথে সমস্ত কিছু স্থানান্তর করব যে অংশে dy অবস্থিত, এবং আমরা x ভেরিয়েবলের সাথে একই কাজ করব। আমরা ফর্মটির একটি সমীকরণ পাই: dy/f(y)=f(x)dx, যা উভয় অংশের অখণ্ডগুলি গ্রহণ করে সমাধান করা হয়। অবিচ্ছেদ্য নেওয়ার পরে যে ধ্রুবকটি অবশ্যই সেট করতে হবে তা ভুলে যাবেন না।
যেকোন "ডিফারেন্স" এর সমাধান হল y এর উপর x এর নির্ভরতার একটি ফাংশন (আমাদের ক্ষেত্রে) বা, যদি একটি সংখ্যাসূচক অবস্থা থাকে, তাহলে উত্তরটি একটি সংখ্যার আকারে। আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে সমাধানের পুরো কোর্সটি বিশ্লেষণ করি:
y'=2ysin(x)
ভেরিয়েবলগুলিকে বিভিন্ন দিকে সরান:
dy/y=2sin(x)dx
এখন আমরা পূর্ণাঙ্গ গ্রহণ করি। তাদের সবগুলোই অখণ্ডের একটি বিশেষ সারণীতে পাওয়া যাবে। এবং আমরা পাই:
ln(y)=-2cos(x) + C
যদি প্রয়োজন হয়, আমরা "x" এর ফাংশন হিসাবে "y" প্রকাশ করতে পারি। এখন আমরা বলতে পারি যে আমাদের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করা হয়েছে যদি কোন শর্ত দেওয়া না হয়। একটি শর্ত দেওয়া যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, y(n/2)=e। তারপরে আমরা কেবল এই ভেরিয়েবলের মানটিকে সমাধানে প্রতিস্থাপন করি এবংধ্রুবকের মান খুঁজুন। আমাদের উদাহরণে, এটি 1 এর সমান।
প্রথম ক্রম সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
এখন আরও কঠিন অংশে আসি। প্রথম ক্রমটির সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সাধারণ আকারে নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: y'=z(x, y)। এটি লক্ষ করা উচিত যে দুটি ভেরিয়েবলের সঠিক ফাংশন একজাতীয়, এবং এটি দুটি নির্ভরতায় ভাগ করা যায় না: x এর উপর z এবং y এর উপর z। সমীকরণটি সমজাতীয় কিনা তা পরীক্ষা করা বেশ সহজ: আমরা x=kx এবং y=ky প্রতিস্থাপন করি। এখন আমরা সব বাতিল. যদি এই সমস্ত অক্ষরগুলি হ্রাস করা হয়, তাহলে সমীকরণটি একজাতীয় এবং আপনি নিরাপদে এটি সমাধান করতে এগিয়ে যেতে পারেন। সামনের দিকে তাকিয়ে, আসুন বলি: এই উদাহরণগুলি সমাধান করার নীতিটিও খুব সহজ৷
আমাদের একটি প্রতিস্থাপন করতে হবে: y=t(x)x, যেখানে t এমন কিছু ফাংশন যা x এর উপরও নির্ভর করে। তারপর আমরা ডেরিভেটিভ প্রকাশ করতে পারি: y'=t'(x)x+t। আমাদের মূল সমীকরণে এই সমস্তগুলি প্রতিস্থাপন করে এবং এটিকে সরলীকরণ করে, আমরা বিভাজ্য ভেরিয়েবল t এবং x সহ একটি উদাহরণ পাই। আমরা এটি সমাধান করি এবং নির্ভরতা টি(x) পাই। যখন আমরা এটি পেয়েছি, তখন আমরা কেবল আমাদের পূর্ববর্তী প্রতিস্থাপনে y=t(x)x প্রতিস্থাপন করি। তাহলে আমরা x এর উপর y এর নির্ভরতা পাব।
এটি আরও পরিষ্কার করার জন্য, আসুন একটি উদাহরণ দেখি: xy'=y-xey/x.
প্রতিস্থাপনের সাথে চেক করার সময়, সবকিছু হ্রাস করা হয়। তাই সমীকরণ সত্যিই একজাত. এখন আমরা আরেকটি প্রতিস্থাপন করি যার বিষয়ে আমরা কথা বলেছি: y=t(x)x এবং y'=t'(x)x+t(x)। সরলীকরণের পরে, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি পাই: t'(x)x=-et। আমরা পৃথক ভেরিয়েবল দিয়ে ফলাফলের উদাহরণ সমাধান করি এবং পাই: e-t=ln(Cx)। আমাদের শুধুমাত্র t কে y/x দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে (যদি y=tx, তাহলে t=y/x), এবং আমরা পাইউত্তর: e-y/x=ln(xC)।
প্রথম ক্রম লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
এটি আরেকটি বড় বিষয়ের জন্য সময়। আমরা প্রথম অর্ডারের অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিশ্লেষণ করব। তারা আগের দুটি থেকে আলাদা কিভাবে? আসুন এটা বের করা যাক। সাধারণ আকারে প্রথম ক্রমটির রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি এইভাবে লেখা যেতে পারে: y' + g(x)y=z(x)। এটা পরিষ্কার করা দরকার যে z(x) এবং g(x) ধ্রুবক হতে পারে।
এবং এখন একটি উদাহরণ: y' - yx=x2.
এটি সমাধান করার দুটি উপায় আছে, এবং আমরা উভয়ই ক্রমানুসারে মোকাবেলা করব। প্রথমটি হল নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি৷
এইভাবে সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে প্রথমে ডান দিকটি শূন্যের সাথে সমান করতে হবে এবং ফলস্বরূপ সমীকরণটি সমাধান করতে হবে, যা অংশগুলি সরানোর পরে ফর্মটি নেবে:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1e x2/2।
এখন আমাদের ধ্রুবক C1কে v(x) ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে যা আমাদের খুঁজে বের করতে হবে।
y=vex2/2।
আসুন ডেরিভেটিভ পরিবর্তন করি:
y'=v'ex2/2-xvex2/2।
এবং এই অভিব্যক্তিগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে দুটি পদ বাম দিকে বাতিল হয়েছে৷ যদি কিছু উদাহরণে এটি না ঘটে, তাহলে আপনি কিছু ভুল করেছেন।চালিয়ে যান:
v'ex2/2 =x2।
এখন আমরা স্বাভাবিক সমীকরণটি সমাধান করি যেখানে আমাদের ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করতে হবে:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx।
অখণ্ড বের করার জন্য, আমাদের এখানে অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন প্রয়োগ করতে হবে। যাইহোক, এটি আমাদের নিবন্ধের বিষয় নয়। আপনি যদি আগ্রহী হন তবে আপনি নিজে কীভাবে এই জাতীয় ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করবেন তা শিখতে পারেন। এটা কঠিন নয়, এবং যথেষ্ট দক্ষতা ও মনোযোগ সহকারে বেশি সময় লাগে না।
আসুন একজাতীয় সমীকরণ সমাধানের দ্বিতীয় পদ্ধতির দিকে ফিরে আসা যাক: বার্নোলি পদ্ধতি। কোন পদ্ধতিটি দ্রুত এবং সহজ তা আপনার উপর নির্ভর করে৷
সুতরাং, এই পদ্ধতিতে সমীকরণটি সমাধান করার সময়, আমাদের একটি প্রতিস্থাপন করতে হবে: y=kn। এখানে k এবং n হল কিছু এক্স-নির্ভর ফাংশন। তারপর ডেরিভেটিভটি এইরকম দেখাবে: y'=k'n+kn'। উভয় প্রতিস্থাপনকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
k'n+kn'+xkn=x2.
গ্রুপ:
k'n+k(n'+xn)=x2।
এখন আমাদের বন্ধনীতে যা আছে তা শূন্যের সমান করতে হবে। এখন, যদি আপনি দুটি ফলাফল সমীকরণ একত্রিত করেন, তাহলে আপনি প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেম পাবেন যা আপনাকে সমাধান করতে হবে:
n'+xn=0;
k'n=x2.
প্রথম সমতা একটি সাধারণ সমীকরণের মত সমাধান করা হয়। এটি করার জন্য, আপনাকে ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করতে হবে:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx।
অখণ্ডটি নিন এবং পান: ln(n)=x2/2। তারপর, যদি আমরা n প্রকাশ করি:
n=ex2/2.
এখন আমরা ফলাফলের সমতাটিকে সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
k'ex2/2=x2।
এবং রূপান্তর, আমরা প্রথম পদ্ধতির মতো একই সমতা পাই:
dk=x2/ex2/2।
আমরা আরও ধাপে যাবো না। এটা বলার যোগ্য যে প্রথমে প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান উল্লেখযোগ্য অসুবিধা সৃষ্টি করে। যাইহোক, আপনি বিষয়ের গভীরে ডুব দেওয়ার সাথে সাথে এটি আরও ভাল হতে শুরু করে৷
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কোথায় ব্যবহৃত হয়?
পার্থক্য সমীকরণগুলি পদার্থবিদ্যায় খুব সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয়, যেহেতু প্রায় সমস্ত মৌলিক সূত্রগুলি ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখা হয় এবং আমরা যে সূত্রগুলি দেখতে পাই তা হল এই সমীকরণগুলির সমাধান। রসায়নে, তারা একই কারণে ব্যবহৃত হয়: মৌলিক আইনগুলি তাদের থেকে উদ্ভূত হয়। জীববিজ্ঞানে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সিস্টেমের আচরণের মডেল করতে ব্যবহৃত হয়, যেমন শিকারী-শিকার। এগুলি অণুজীবের একটি উপনিবেশের প্রজনন মডেল তৈরি করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কীভাবে জীবনে সাহায্য করবে?
এই প্রশ্নের উত্তর সহজ: কোন উপায় নেই। আপনি যদি একজন বিজ্ঞানী বা প্রকৌশলী না হন, তাহলে তারা আপনার কাজে লাগবে না। যাইহোক, সাধারণ বিকাশের জন্য, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কী এবং এটি কীভাবে সমাধান করা হয় তা জানার জন্য এটি ক্ষতি করে না। এবং তারপর একটি ছেলে বা মেয়ের প্রশ্ন "একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কি?" আপনাকে বিভ্রান্ত করবে না। ঠিক আছে, আপনি যদি একজন বিজ্ঞানী বা প্রকৌশলী হন তবে আপনি নিজেই বুঝতে পারবেন যে কোনও বিজ্ঞানে এই বিষয়টির গুরুত্ব। কিন্তু সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যে এখন প্রশ্ন "কীভাবে একটি প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করবেন?" আপনি সবসময় উত্তর দিতে পারেন। সম্মত, এটা সবসময় সুন্দরযখন আপনি বুঝতে পারেন যে মানুষ এমনকি বুঝতে ভয় পায়।
প্রধান শেখার সমস্যা
এই বিষয়টি বোঝার ক্ষেত্রে প্রধান সমস্যা হল ফাংশনগুলিকে একীভূত করার এবং পার্থক্য করার দুর্বল দক্ষতা। আপনি যদি ডেরিভেটিভস এবং ইন্টিগ্রালগুলি গ্রহণে খারাপ হন, তবে আপনার সম্ভবত আরও শিখতে হবে, একীকরণ এবং পার্থক্যের বিভিন্ন পদ্ধতিতে দক্ষতা অর্জন করতে হবে এবং তবেই নিবন্ধে বর্ণিত উপাদানগুলি অধ্যয়ন করা শুরু করুন৷
কিছু লোক অবাক হয় যখন তারা জানতে পারে যে dx স্থানান্তর করা যেতে পারে, কারণ আগে (স্কুলে) বলা হয়েছিল যে ভগ্নাংশ dy/dx অবিভাজ্য। এখানে আপনাকে ডেরিভেটিভের সাহিত্য পড়তে হবে এবং বুঝতে হবে যে এটি অসীম পরিমাণের অনুপাত যা সমীকরণ সমাধান করার সময় ব্যবহার করা যেতে পারে।
অনেকেই তাৎক্ষণিকভাবে বুঝতে পারেন না যে প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান প্রায়শই একটি ফাংশন বা একটি অবিচ্ছেদ্য যা নেওয়া যায় না এবং এই বিভ্রান্তি তাদের অনেক কষ্ট দেয়।
আরো ভালোভাবে বোঝার জন্য আর কী অধ্যয়ন করা যেতে পারে?
বিশেষ পাঠ্যপুস্তক দিয়ে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের জগতে আরও নিমজ্জন শুরু করা ভাল, উদাহরণস্বরূপ, অ-গাণিতিক বিশেষত্বের শিক্ষার্থীদের জন্য ক্যালকুলাসে। তারপরে আপনি আরও বিশেষ সাহিত্যে যেতে পারেন৷
এটা বলা উচিত যে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ছাড়াও, অবিচ্ছেদ্য সমীকরণও রয়েছে, তাই আপনার কাছে সর্বদা চেষ্টা করার জন্য কিছু থাকবে এবং অধ্যয়নের জন্য কিছু থাকবে৷
উপসংহার
আশা করি পড়ার পরএই নিবন্ধটি আপনাকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি কী এবং কীভাবে সেগুলি সঠিকভাবে সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে একটি ধারণা দিয়েছে৷
যে কোনও ক্ষেত্রে, গণিত কোনও না কোনওভাবে আমাদের জীবনে কাজে লাগবে। এটি যুক্তি এবং মনোযোগ বিকাশ করে, যা ছাড়া প্রতিটি ব্যক্তি হাত ছাড়ার মতো।
