একটি শঙ্কুর ক্ষেত্রফলের সূত্রের প্রাপ্তি। সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

স্থানিক পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্যের অধ্যয়ন ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যে বিজ্ঞান মহাকাশের পরিসংখ্যান নিয়ে কাজ করে তাকে স্টেরিওমেট্রি বলে। এই নিবন্ধে, কঠিন জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা একটি শঙ্কু বিবেচনা করব এবং কীভাবে একটি শঙ্কুর ক্ষেত্রফল বের করতে হয় তা দেখাব।

গোলাকার ভিত্তি সহ শঙ্কু

সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি শঙ্কু হল কিছু সমতল বক্ররেখার উপর নির্মিত একটি পৃষ্ঠ, যার সমস্ত বিন্দু স্থানের এক বিন্দুর সাথে অংশ দ্বারা সংযুক্ত থাকে। পরেরটিকে শঙ্কুর শীর্ষ বলা হয়।

উপরের সংজ্ঞা থেকে, এটা স্পষ্ট যে একটি বক্ররেখার একটি স্বেচ্ছাচারী আকার থাকতে পারে, যেমন প্যারাবোলিক, হাইপারবোলিক, উপবৃত্তাকার ইত্যাদি। তবুও, অনুশীলনে এবং জ্যামিতির সমস্যাগুলির মধ্যে, এটি প্রায়শই একটি বৃত্তাকার শঙ্কু যা প্রায়ই সম্মুখীন হয়। এটি নীচের ছবিতে দেখানো হয়েছে৷

এখানে r চিহ্নটি চিত্রের গোড়ায় অবস্থিত বৃত্তের ব্যাসার্ধকে নির্দেশ করে, h হল বৃত্তের সমতলের লম্ব, যা চিত্রের শীর্ষ থেকে আঁকা হয়েছে। একে উচ্চতা বলে। মান s হল শঙ্কুর জেনারাট্রিক্স বা এর জেনারাট্রিক্স।

এটা দেখা যায় যে রেখাংশ r, h এবং sএকটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করুন। যদি এটি পায়ের h এর চারপাশে ঘোরানো হয়, তাহলে কর্ণ s শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠকে বর্ণনা করবে এবং লেগ r চিত্রটির গোলাকার ভিত্তি তৈরি করবে। এই কারণে, শঙ্কু বিপ্লবের একটি চিত্র হিসাবে বিবেচিত হয়। তিনটি নামযুক্ত রৈখিক পরামিতি সমতা দ্বারা আন্তঃসংযুক্ত:

s²=r²+ h²

মনে রাখবেন যে প্রদত্ত সমতা শুধুমাত্র একটি গোলাকার সোজা শঙ্কুর জন্য বৈধ। একটি সরল চিত্র তখনই হয় যখন এর উচ্চতা বেস বৃত্তের ঠিক কেন্দ্রে পড়ে। যদি এই শর্তটি পূরণ না হয়, তাহলে চিত্রটিকে তির্যক বলা হয়। সোজা এবং তির্যক শঙ্কুর মধ্যে পার্থক্য নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷

আকৃতি উন্নয়ন

একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল অধ্যয়ন করা সুবিধাজনক, এটি একটি সমতলে বিবেচনা করে। মহাকাশে পরিসংখ্যানের পৃষ্ঠকে উপস্থাপন করার এই পদ্ধতিকে তাদের বিকাশ বলা হয়। একটি শঙ্কুর জন্য, এই বিকাশটি নিম্নরূপ প্রাপ্ত করা যেতে পারে: আপনাকে একটি চিত্র তৈরি করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, কাগজ থেকে। তারপর, কাঁচি দিয়ে, পরিধির চারপাশে বৃত্তাকার ভিত্তিটি কেটে ফেলুন। এর পরে, জেনারাট্রিক্স বরাবর, শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠের একটি কাটা তৈরি করুন এবং এটিকে সমতলে পরিণত করুন। এই সাধারণ ক্রিয়াকলাপের ফলাফল হবে শঙ্কুর বিকাশ, নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠটি প্রকৃতপক্ষে একটি সমতলে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি নিম্নলিখিত দুটি অংশ নিয়ে গঠিত:

• ব্যাসার্ধ r সহ বৃত্ত চিত্রের ভিত্তিকে প্রতিনিধিত্ব করে;
• ব্যাসার্ধ জি সহ বৃত্তাকার সেক্টর, যা একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ।

একটি শঙ্কুর ক্ষেত্রফলের সূত্রে উন্মোচিত উভয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্র খুঁজে বের করা জড়িত।

একটি চিত্রের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করুন

আসুন কাজটিকে দুটি পর্যায়ে ভাগ করা যাক। প্রথমে আমরা শঙ্কুর গোড়ার ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই, তারপর শঙ্কু পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বের করি।

সমস্যার প্রথম অংশটি সমাধান করা সহজ। যেহেতু ব্যাসার্ধ r দেওয়া হয়েছে, বেসের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের জন্য সংশ্লিষ্ট অভিব্যক্তিটি স্মরণ করা যথেষ্ট। আসুন এটি লিখে রাখি:

S_o=pi × r²

যদি ব্যাসার্ধটি জানা না থাকে, তাহলে আপনাকে প্রথমে এটির মধ্যে সম্পর্ক সূত্র, উচ্চতা এবং জেনারেটর ব্যবহার করে খুঁজে বের করতে হবে।

শঙ্কুর ক্ষেত্রফল বের করার সমস্যার দ্বিতীয় অংশটি কিছুটা জটিল। উল্লেখ্য যে বৃত্তাকার সেক্টরটি জেনাট্রিক্সের ব্যাসার্ধ g এর উপর নির্মিত এবং একটি চাপ দ্বারা আবদ্ধ যার দৈর্ঘ্য বৃত্তের পরিধির সমান। এই সত্যটি আপনাকে অনুপাতটি লিখতে এবং বিবেচিত সেক্টরের কোণ খুঁজে বের করতে দেয়। গ্রীক অক্ষর φ দিয়ে বোঝাই। এই কোণটি সমান হবে:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

একটি বৃত্তাকার সেক্টরের কেন্দ্রীয় কোণ φ জেনে, আপনি এর ক্ষেত্রফল বের করতে উপযুক্ত অনুপাত ব্যবহার করতে পারেন। আসুন এটিকে S_b দিয়ে বোঝাই। এটি সমান হবে:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

অর্থাৎ, শঙ্কু পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল জেনাট্রিক্স g, বেস r এর ব্যাসার্ধ এবং Pi সংখ্যার গুণফলের সাথে মিলে যায়।

জানেন উভয়ের ক্ষেত্র কিবিবেচিত পৃষ্ঠতল, আমরা একটি শঙ্কুর ক্ষেত্রফলের চূড়ান্ত সূত্র লিখতে পারি:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

লিখিত অভিব্যক্তিটি S গণনা করতে শঙ্কুর দুটি রৈখিক পরামিতির জ্ঞান অনুমান করে। যদি g বা r অজানা হয়, তাহলে উচ্চতা h এর মাধ্যমে পাওয়া যাবে।

শঙ্কুর ক্ষেত্রফল গণনার সমস্যা

এটা জানা যায় যে গোলাকার সোজা শঙ্কুর উচ্চতা তার ব্যাসের সমান। চিত্রটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন, জেনে রাখা দরকার যে এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল হল 50 সেমি2^।

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল জেনে আপনি চিত্রটির ব্যাসার্ধ খুঁজে পেতে পারেন। আমাদের আছে:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

এবার h এবং r এর পরিপ্রেক্ষিতে জেনারেটর জি খুঁজে বের করা যাক। শর্ত অনুসারে, চিত্রটির উচ্চতা h দুইটি রেডিআই r এর সমান, তারপর:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

g এবং r-এর জন্য পাওয়া সূত্রগুলিকে শঙ্কুর পুরো এলাকার জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপিত করা উচিত। আমরা পাই:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

ফলিত অভিব্যক্তিতে আমরা ভিত্তির ক্ষেত্রফল S_o প্রতিস্থাপন করি এবং উত্তরটি লিখি: S ≈ 161.8 সেমি².