গণিত এবং প্রক্রিয়াকরণে, একটি বিশ্লেষণাত্মক সংকেতের ধারণা (সংক্ষেপে - সি, এসি) একটি জটিল ফাংশন যার নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান নেই। এই ঘটনার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ হিলবার্ট রূপান্তর দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত বাস্তব ফাংশন। একটি বিশ্লেষণাত্মক সংকেত হল রসায়নের একটি মোটামুটি সাধারণ ঘটনা, যার সারাংশ এই ধারণার গাণিতিক সংজ্ঞার অনুরূপ৷
পারফরম্যান্স
একটি বাস্তব ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনা হল একটি বিশ্লেষণাত্মক সংকেত যাতে মূল ফাংশন এবং এর হিলবার্ট রূপান্তর থাকে। এই উপস্থাপনা অনেক গাণিতিক কারসাজির সুবিধা দেয়। মূল ধারণা হল যে একটি বাস্তব ফাংশনের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (বা বর্ণালী) এর নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি এই ধরনের বর্ণালীর হারমিটিয়ান প্রতিসাম্যের কারণে অপ্রয়োজনীয়। এই নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান ছাড়া বাতিল করা যেতে পারেতথ্যের ক্ষতি, যদি আপনি পরিবর্তে একটি জটিল ফাংশন মোকাবেলা করতে চান। এটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলিকে আরও অ্যাক্সেসযোগ্য করে তোলে এবং SSB-এর মতো মডুলেশন এবং ডিমডুলেশন কৌশলগুলি অর্জন করা সহজ করে তোলে।
নেতিবাচক উপাদান
যতক্ষণ ফাংশনটি ম্যানিপুলেট করা হচ্ছে তাতে কোনও নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান নেই (অর্থাৎ এটি এখনও বিশ্লেষণাত্মক), জটিল থেকে বাস্তবে রূপান্তর করা কেবল কাল্পনিক অংশটি বাদ দেওয়ার বিষয়। বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনা হল একটি ভেক্টরের ধারণার একটি সাধারণীকরণ: যখন একটি ভেক্টর একটি সময়-পরিবর্তনশীল প্রশস্ততা, পর্যায় এবং ফ্রিকোয়েন্সির মধ্যে সীমাবদ্ধ, একটি বিশ্লেষণাত্মক সংকেতের গুণগত বিশ্লেষণ সময়-পরিবর্তনশীল পরামিতিগুলির জন্য অনুমতি দেয়৷
তাৎক্ষণিক প্রশস্ততা, তাত্ক্ষণিক পর্যায় এবং ফ্রিকোয়েন্সি কিছু অ্যাপ্লিকেশনে C-এর স্থানীয় বৈশিষ্ট্যগুলি পরিমাপ এবং সনাক্ত করতে ব্যবহৃত হয়। বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনার আরেকটি প্রয়োগ মড্যুলেটেড সংকেতগুলির হ্রাসের সাথে সম্পর্কিত। পোলার স্থানাঙ্কগুলি AM এবং ফেজ (বা ফ্রিকোয়েন্সি) মড্যুলেশনের প্রভাবগুলিকে সুবিধাজনকভাবে আলাদা করে এবং কার্যকরভাবে নির্দিষ্ট ধরণের পরিবর্তন করে৷
তারপর প্রকৃত সহগ সহ একটি সাধারণ লো-পাস ফিল্টার আগ্রহের অংশটি কেটে ফেলতে পারে। আরেকটি উদ্দেশ্য হল সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সি কম করা, যা নন-অ্যালিয়াস স্যাম্পলিংয়ের জন্য সর্বনিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি কমিয়ে দেয়। ফ্রিকোয়েন্সি স্থানান্তর প্রতিনিধিত্বের গাণিতিক উপযোগিতাকে হ্রাস করে না। সুতরাং, এই অর্থে, ডাউন কনভার্টেড এখনও বিশ্লেষণাত্মক। তবে বাস্তব প্রতিনিধিত্ব পুনরুদ্ধারপ্রকৃত উপাদানটি বের করার সহজ বিষয় আর নয়। আপ-কনভারশনের প্রয়োজন হতে পারে, এবং যদি সিগন্যালটি নমুনা করা হয় (বিচ্ছিন্ন সময়), তাহলে অ্যালিয়াসিং এড়াতে ইন্টারপোলেশন (আপস্যাম্পলিং) প্রয়োজন হতে পারে।
ভেরিয়েবল
একক পরিবর্তনশীল ঘটনার জন্য ধারণাটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা সাধারণত অস্থায়ী। এই সাময়িকতা অনেক প্রারম্ভিক গণিতবিদদের বিভ্রান্ত করে। দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবলের জন্য, বিশ্লেষণাত্মক C বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এবং দুটি পদ্ধতি নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে।
এই ঘটনার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি একটি ভেক্টর-মূল্যযুক্ত মনোজেনিক সিগন্যালের দুটি উপাদানের সাথে মিলে যায়, যেমন একটি পরিবর্তনশীলের সাথে অনুরূপ ঘটনার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। যাইহোক, monogenic একটি সহজ উপায়ে ভেরিয়েবলের একটি নির্বিচারে সংখ্যায় প্রসারিত করা যেতে পারে, n-ভেরিয়েবল সিগন্যালের ক্ষেত্রে একটি (n + 1)-মাত্রিক ভেক্টর ফাংশন তৈরি করে।
সংকেত রূপান্তর
আপনি একটি কাল্পনিক (Q) উপাদান যোগ করে একটি বাস্তব সংকেতকে বিশ্লেষণাত্মক একটিতে রূপান্তর করতে পারেন, যা আসল উপাদানটির হিলবার্ট রূপান্তর।
যাইহোক, এটি এর ডিজিটাল প্রক্রিয়াকরণে নতুন নয়। একক সাইডব্যান্ড (SSB) AM তৈরির একটি ঐতিহ্যগত উপায়, ফেজিং পদ্ধতি, একটি এনালগ প্রতিরোধক-ক্যাপাসিটর নেটওয়ার্কে একটি অডিও সিগন্যালের হিলবার্ট রূপান্তর তৈরি করে সংকেত তৈরি করে। যেহেতু এটিতে শুধুমাত্র ইতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি রয়েছে, তাই এটিকে শুধুমাত্র একটি সাইডব্যান্ড দিয়ে একটি মড্যুলেটেড আরএফ সিগন্যালে রূপান্তর করা সহজ৷
সংজ্ঞা সূত্র
বিশ্লেষণাত্মক সংকেত অভিব্যক্তি হল একটি হলমরফিক জটিল ফাংশন যা উপরের জটিল অর্ধ-বিমানের সীমানায় সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপরের অর্ধ-বিমানটির সীমানা র্যান্ডম এর সাথে মিলে যায়, তাই C ম্যাপিং দ্বারা দেওয়া হয় fa: R → C। গত শতাব্দীর মাঝামাঝি থেকে, যখন ডেনিস গ্যাবর 1946 সালে ধ্রুবক প্রশস্ততা এবং পর্যায় অধ্যয়ন করার জন্য এই ঘটনাটি ব্যবহার করার প্রস্তাব করেছিলেন।, সংকেত অনেক অ্যাপ্লিকেশন পাওয়া গেছে. এই ঘটনার বিশেষত্বের উপর জোর দেওয়া হয়েছিল [Vak96], যেখানে এটি দেখানো হয়েছিল যে বিশ্লেষণাত্মক সংকেতের শুধুমাত্র একটি গুণগত বিশ্লেষণ প্রশস্ততা, পর্যায় এবং ফ্রিকোয়েন্সির শারীরিক অবস্থার সাথে মিলে যায়৷
সর্বশেষ অর্জন
গত কয়েক দশক ধরে, ইমেজ/ভিডিও প্রসেসিং থেকে শুরু করে পদার্থবিদ্যার বহুমাত্রিক দোলক প্রক্রিয়া, যেমন সিসমিক, ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক এবং ক্ষেত্রগুলিতে উদ্ভূত সমস্যাগুলির দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে অনেক মাত্রায় সংকেত অধ্যয়নের প্রতি আগ্রহ দেখা দিয়েছে। মহাকর্ষীয় তরঙ্গ এটি সাধারণত গৃহীত হয়েছে যে, বিভিন্ন মাত্রার ক্ষেত্রে বিশ্লেষণাত্মক C (গুণগত বিশ্লেষণ) সঠিকভাবে সাধারণীকরণ করার জন্য, একজনকে একটি বীজগাণিতিক নির্মাণের উপর নির্ভর করতে হবে যা সাধারণ জটিল সংখ্যাগুলিকে সুবিধাজনক উপায়ে প্রসারিত করে। এই ধরনের নির্মাণকে সাধারণত হাইপারকমপ্লেক্স সংখ্যা [SKE] বলা হয়।
অবশেষে, একটি হাইপারকমপ্লেক্স বিশ্লেষণাত্মক সংকেত fh: Rd → S নির্মাণ করা সম্ভব হবে, যেখানে কিছু সাধারণ হাইপারকমপ্লেক্স বীজগাণিতিক সিস্টেম উপস্থাপন করা হয়, যা স্বাভাবিকভাবেই একটি তাত্ক্ষণিক প্রশস্ততা পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত বৈশিষ্ট্যকে প্রসারিত করে এবংপর্যায়।
অধ্যয়ন
তাত্ক্ষণিক প্রশস্ততা এবং পর্যায় অধ্যয়নের জন্য হাইপারকমপ্লেক্স নম্বর সিস্টেমের সঠিক পছন্দ, হাইপারকমপ্লেক্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং ভগ্নাংশ হিলবার্ট ট্রান্সফর্মের সংজ্ঞা সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয়ের জন্য বেশ কয়েকটি কাগজ উৎসর্গ করা হয়েছে। এই কাজের বেশির ভাগই ছিল বিভিন্ন স্থানের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে যেমন Cd, quaternions, Clearon algebras, and Cayley-Dixon Constructions।
পরবর্তী, আমরা অনেক মাত্রায় সংকেত অধ্যয়নের জন্য নিবেদিত শুধুমাত্র কিছু কাজের তালিকা করব। যতদূর আমরা জানি, মাল্টিভারিয়েট পদ্ধতিতে প্রথম কাজগুলি 1990 এর দশকের গোড়ার দিকে প্রাপ্ত হয়েছিল। এর মধ্যে রয়েছে হাইপার কমপ্লেক্স ট্রান্সফরমেশনের উপর Ell-এর কাজ [Ell92]; অনেক পরিমাপের বিশ্লেষণাত্মক প্রতিক্রিয়া (বিশ্লেষণমূলক সংকেত) পদ্ধতির সাধারণীকরণের উপর বুলোর কাজ [BS01] এবং মনোজেনিক সংকেতগুলিতে ফেলসবার্গ এবং সোমারের কাজ।
আরো সম্ভাবনা
হাইপারকমপ্লেক্স সংকেতটি 1D ক্ষেত্রে আমাদের কাছে থাকা সমস্ত দরকারী বৈশিষ্ট্য প্রসারিত করবে বলে আশা করা হচ্ছে। প্রথমত, আমরা তাত্ক্ষণিক প্রশস্ততা এবং পরিমাপের ফেজ বের করতে এবং সাধারণীকরণ করতে সক্ষম হতে হবে। দ্বিতীয়ত, একটি জটিল বিশ্লেষণাত্মক সংকেতের ফুরিয়ার স্পেকট্রাম শুধুমাত্র ইতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিতে রক্ষণাবেক্ষণ করা হয়, তাই আমরা আশা করি হাইপারকমপ্লেক্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের নিজস্ব হাইপার ভ্যালুড স্পেকট্রাম থাকবে, যা শুধুমাত্র হাইপারকমপ্লেক্স স্পেসের কিছু ইতিবাচক চতুর্ভুজ রক্ষণাবেক্ষণ করা হবে। কারণ এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
তৃতীয়, একটি জটিল ধারণার সংযুক্ত অংশবিশ্লেষণাত্মক সংকেত হিলবার্ট ট্রান্সফর্মের সাথে সম্পর্কিত, এবং আমরা আশা করতে পারি যে হাইপারকমপ্লেক্স স্পেসের কনজুগেট উপাদানগুলিও হিলবার্ট ট্রান্সফর্মের কিছু সংমিশ্রণের সাথে সম্পর্কিত হতে হবে। এবং পরিশেষে, প্রকৃতপক্ষে, একটি হাইপারকমপ্লেক্স সংকেতকে একটি হাইপারকমপ্লেক্স স্পেসের কিছু ফর্মের সীমানায় সংজ্ঞায়িত বেশ কয়েকটি হাইপারকমপ্লেক্স ভেরিয়েবলের কিছু হাইপারকমপ্লেক্স হলোমরফিক ফাংশনের একটি এক্সটেনশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা আবশ্যক৷
আমরা এই সমস্যাগুলিকে ক্রমানুসারে সমাধান করছি৷ প্রথমত, আমরা ফুরিয়ার অখণ্ড সূত্রটি দেখে শুরু করি এবং দেখাই যে হিলবার্ট 1-ডি-তে রূপান্তরটি পরিবর্তিত ফুরিয়ার অখণ্ড সূত্রের সাথে সম্পর্কিত। এই সত্যটি আমাদের হাইপারকমপ্লেক্স নম্বর সিস্টেম এবং হলোমরফিক ফাংশনগুলির কোনও উল্লেখ ছাড়াই তাত্ক্ষণিক প্রশস্ততা, পর্যায় এবং ফ্রিকোয়েন্সি সংজ্ঞায়িত করতে দেয়৷
অখণ্ডের পরিবর্তন
আমরা পরিবর্তিত ফুরিয়ার ইন্টিগ্রাল সূত্রটিকে বিভিন্ন মাত্রায় প্রসারিত করে চালিয়ে যাচ্ছি এবং সমস্ত প্রয়োজনীয় ফেজ-শিফ্ট করা উপাদানগুলি নির্ধারণ করি যা আমরা তাত্ক্ষণিক প্রশস্ততা এবং পর্যায়ে সংগ্রহ করতে পারি। দ্বিতীয়ত, আমরা বেশ কয়েকটি হাইপারকমপ্লেক্স ভেরিয়েবলের হলমোরফিক ফাংশনের অস্তিত্বের প্রশ্নে ফিরে আসি। [Sch93] এর পরে দেখা যাচ্ছে যে উপবৃত্তাকার (e2i=−1) জেনারেটরগুলির একটি সেট দ্বারা উত্পন্ন কম্যুটেটিভ এবং অ্যাসোসিয়েটিভ হাইপারকমপ্লেক্স বীজগণিত একটি হাইপারকমপ্লেক্স বিশ্লেষণাত্মক সংকেত থাকার জন্য একটি উপযুক্ত স্থান, আমরা এই ধরনের হাইপারকমপ্লেক্স বীজগণিতকে শেফার্স স্পেস বলি এবং বোঝাই এটাSd.
অতএব, বিশ্লেষণাত্মক সংকেতগুলির হাইপারকমপ্লেক্সকে কিছু হাইপারকমপ্লেক্স স্পেসে পলিডিস্ক / সমতলের উপরের অর্ধেকের সীমানায় একটি হলমরফিক ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যাকে আমরা সাধারণ শেফার্স স্পেস বলি এবং Sd দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তারপরে আমরা Sd → Sd ফাংশনের জন্য Cauchy ইন্টিগ্রাল সূত্রের বৈধতা পর্যবেক্ষণ করি, যেগুলি Sd-এ একটি পলিডিস্কের ভিতরে একটি হাইপারসারফেসের উপর গণনা করা হয় এবং সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশ হিলবার্ট রূপান্তরগুলি বের করি যা হাইপারকমপ্লেক্স কনজুগেট উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কযুক্ত। অবশেষে, দেখা যাচ্ছে যে শেফার স্পেসে মান সহ ফুরিয়ার রূপান্তর শুধুমাত্র অ-নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিতে সমর্থিত। এই নিবন্ধটির জন্য ধন্যবাদ, আপনি একটি বিশ্লেষণাত্মক সংকেত কি তা শিখেছেন৷
