একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন স্থানীয়ভাবে অভিসারী পাওয়ার সিরিজ দ্বারা দেওয়া হয়। বাস্তব এবং জটিল উভয়ই অসীম পার্থক্যযোগ্য, তবে দ্বিতীয়টির কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সত্য। একটি উন্মুক্ত উপসেট U, R, বা C-তে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনকে বিশ্লেষণাত্মক বলা হয় যদি এটি একটি অভিসারী শক্তি সিরিজ দ্বারা স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়৷
এই ধারণার সংজ্ঞা
জটিল বিশ্লেষণমূলক ফাংশন: R (z)=P (z) / Q (z)। এখানে P(z)=am zm + am-1 zm-1 + ⋯ + a1 z + a0 এবং Q (z)=bn zn + bn-1 zn-1 + ⋯ + b1 z + b0। অধিকন্তু, P (z) এবং Q (z) হল am, am-1, …, a1, a0, bn, bn-1, …, b1, b0 সহ জটিল সহগ সহ বহুপদ।
ধরুন যে am এবং bn অ-শূন্য। এবং এছাড়াও যে P(z) এবং Q(z) এর কোন সাধারণ গুণনীয়ক নেই। C → SC → S যেকোন বিন্দুতে R (z) পার্থক্যযোগ্য, এবং S হল C এর ভিতরে একটি সসীম সেট যার জন্য Q (z) এর হর অদৃশ্য হয়ে যায়। লব এবং হর-এর শক্তি থেকে সর্বাধিক দুটি শক্তিকে যৌক্তিক ফাংশন R(z) এর শক্তি বলা হয়, ঠিক দুটি এবং গুণফলের যোগফলের মতো। উপরন্তু, এটি যাচাই করা যেতে পারে যে স্থানটি যোগ এবং গুণনের এই ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে ক্ষেত্রের স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং এটি C দ্বারা চিহ্নিত করা হয়(এক্স). এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ।
হলোমরফিক মানগুলির জন্য সংখ্যা ধারণা
বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি আমাদের P (z) এবং Q (z), P (Z)=am (z − z1) p1 (z − z2) p2….(z − zr) গণনা করতে দেয়) prP(Z)=am (z − z1) p1 (z − z2) p2….(z − zr) pr এবং Q (Z)=bn (z − s1) q1 (z − s2) q2….(z − sr) qr. যেখানে সূচকগুলি শিকড়ের বহুগুণকে নির্দেশ করে এবং এটি আমাদেরকে একটি যৌক্তিক ফাংশনের জন্য দুটি গুরুত্বপূর্ণ ক্যানোনিকাল ফর্মের প্রথমটি দেয়:
R (Z)=a m (z − z1) p1 (z − z2) p2….(z − zr) / p r bn(z−s1)q1(z−s2)q2….(z−s2) sr)qr. লবের Zeros z1, …, zr কে একটি যৌক্তিক ফাংশনে বলা হয়, এবং হর এর s1, …, sr কে এর মেরু হিসাবে বিবেচনা করা হয়। উপরোক্ত মানগুলির মূল হিসাবে ক্রমটি তার বহুবিধতা। প্রথম সিস্টেমের ক্ষেত্রগুলি সহজ৷
আমরা বলব যে মূলদ ফাংশন R(z) সঠিক যদি:
m=deg P (z) ≦≦ n=degF(o) Q (z) এবং m <n হলে কঠোরভাবে সঠিক। যদি R(z) কঠোরভাবে eigenvalue না হয় তাহলে R(z)=P1(z) + R1(z) পেতে আমরা হর দিয়ে ভাগ করতে পারি যেখানে P1(z) একটি বহুপদী এবং R1(z) এর অবশিষ্টাংশ কঠোরভাবে নিজস্ব যৌক্তিক ফাংশন।
পার্থক্য সহ বিশ্লেষণী
আমরা জানি যে কোনো বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন বাস্তব বা জটিল হতে পারে এবং বিভাগটি অসীম, যাকে মসৃণ বা C∞ও বলা হয়। এটি উপাদান ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে।
যখন বিশ্লেষণাত্মক এবং ডেরিভেটিভ জটিল ফাংশন বিবেচনা করা হয়, পরিস্থিতি খুবই ভিন্ন। এটা প্রমাণ করা সহজযে একটি উন্মুক্ত সেটে যে কোনো কাঠামোগতভাবে পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হলোমরফিক।
এই ফাংশনের উদাহরণ
নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন:
1)। সমস্ত বহুপদ বাস্তব বা জটিল হতে পারে। এর কারণ হল ডিগ্রী (সর্বোচ্চ) 'n'-এর বহুপদীর জন্য, সংশ্লিষ্ট টেলর সিরিজের সম্প্রসারণে n-এর চেয়ে বড় চলকগুলি অবিলম্বে 0-এ একত্রিত হয় এবং তাই সিরিজটি তুচ্ছভাবে একত্রিত হবে। এছাড়াও, প্রতিটি বহুপদ যোগ করা একটি ম্যাকলরিন সিরিজ।
2)। সমস্ত সূচকীয় ফাংশনও বিশ্লেষণাত্মক। এর কারণ হল তাদের জন্য সমস্ত টেলর সিরিজ সমস্ত মানগুলির জন্য একত্রিত হবে যা সংজ্ঞা অনুসারে "x0" এর খুব কাছাকাছি বাস্তব বা জটিল "x" হতে পারে৷
3)। সংশ্লিষ্ট ডোমেনে যেকোনো খোলা সেটের জন্য, ত্রিকোণমিতিক, শক্তি এবং লগারিদমিক ফাংশনগুলিও বিশ্লেষণাত্মক।
উদাহরণ: সম্ভাব্য মান খুঁজুন i-2i=exp ((2) লগ (i))
সিদ্ধান্ত। এই ফাংশনের সম্ভাব্য মান খুঁজে বের করার জন্য, আমরা প্রথমে দেখি যে, লগ? (i)=লগ? 1 + i arg? [কারণ (i)=0 + i pi2pi2 + 2ππki, প্রতিটি k-এর জন্য যা পুরো সেটের অন্তর্গত। এই দেয়, i-2i=exp? (ππ + 4ππk), পূর্ণসংখ্যার সেটের অন্তর্গত প্রতিটি k-এর জন্য। এই উদাহরণটি দেখায় যে জটিল পরিমাণ zαα-এরও বিভিন্ন মান থাকতে পারে, লগারিদমের মতো অসীমভাবে। যদিও বর্গমূল ফাংশনগুলির সর্বাধিক দুটি মান থাকতে পারে, তবে সেগুলি বহুমূল্য ফাংশনের একটি ভাল উদাহরণ৷
হলোমরফিক সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য
বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের তত্ত্বটি নিম্নরূপ:
1)। রচনা, যোগফল বা পণ্য হলমোরফিক৷
2)। একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্য, এর বিপরীত, যদি এটি শূন্যের সমান না হয় তবে একই রকম। এছাড়াও, যার বিপরীত ডেরিভেটিভ 0 হতে হবে না তা আবার হলমোরফিক।
3)। এই ফাংশন ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য. অন্য কথায়, আমরা বলতে পারি যে এটি মসৃণ। কথোপকথনটি সত্য নয়, অর্থাৎ, সমস্ত অসীম পার্থক্যযোগ্য ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক নয়। এর কারণ হল, এক অর্থে, তারা সমস্ত বিপরীতের তুলনায় বিরল।
একাধিক ভেরিয়েবল সহ হোলোমরফিক ফাংশন
পাওয়ার সিরিজের সাহায্যে, এই মানগুলি বিভিন্ন সূচক দ্বারা নির্দেশিত সিস্টেম নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অনেকগুলি ভেরিয়েবলের বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলির একটি ভেরিয়েবলের মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যাইহোক, বিশেষত জটিল ব্যবস্থার জন্য, 2 বা তার বেশি মাত্রায় কাজ করার সময় নতুন এবং আকর্ষণীয় ঘটনা আবির্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একাধিক ভেরিয়েবলের জটিল হলোমরফিক ফাংশনের শূন্য সেট কখনই বিচ্ছিন্ন হয় না। বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ ল্যাপ্লেস সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। অর্থাৎ, ফাংশনের বিশ্লেষণাত্মক কার্য সম্পাদন করার জন্য, নিম্নলিখিত মান এবং তত্ত্বগুলির প্রয়োজন। যদি z=x + iy হয়, তাহলে একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত যে f(z) হলোমরফিক হল কচি-রিম্যান সমীকরণের পূর্ণতা: যেখানে ux হল x এর সাপেক্ষে u-এর প্রথম আংশিক ডেরিভেটিভ। অতএব, এটি ল্যাপ্লেস সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। সেইসাথে একটি অনুরূপ গণনা ফলাফল দেখাচ্ছে v.
ফাংশনের জন্য অসমতা পূরণের বৈশিষ্ট্য
বিপরীতভাবে, হারমোনিক ভেরিয়েবল দেওয়া হলে, এটি হলোমরফিকের আসল অংশ (অন্তত স্থানীয়ভাবে)। যদি ট্রায়াল ফর্ম, তাহলে Cauchy-Riemann সমীকরণ সন্তুষ্ট হবে. এই অনুপাত ψ নির্ধারণ করে না, তবে শুধুমাত্র এর বৃদ্ধি। এটি φ-এর জন্য ল্যাপ্লেস সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে যে ψ-এর অখণ্ডতা শর্তটি সন্তুষ্ট। এবং, তাই, ψ একটি রৈখিক হর দেওয়া যেতে পারে। এটি শেষ প্রয়োজনীয়তা এবং স্টোকসের উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যে দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী একটি লাইন ইন্টিগ্রেলের মান পথের উপর নির্ভর করে না। ল্যাপ্লেস সমীকরণের সমাধানের ফলস্বরূপ জোড়াকে কনজুগেট হারমোনিক ফাংশন বলা হয়। এই নির্মাণ শুধুমাত্র স্থানীয়ভাবে বৈধ বা প্রদত্ত যে পথটি এককতা অতিক্রম না করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি r এবং θ মেরু স্থানাঙ্ক হয়। যাইহোক, কোণ θ শুধুমাত্র সেই অঞ্চলে অনন্য যা উৎপত্তিকে কভার করে না।
ল্যাপ্লেস সমীকরণ এবং মৌলিক বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্কের অর্থ হল যে কোনও সমাধানের সমস্ত অর্ডারের ডেরিভেটিভ রয়েছে এবং একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে, অন্তত একটি বৃত্তের মধ্যে যাতে কিছু এককতা নেই। এটি তরঙ্গ অসমতার সমাধানগুলির সম্পূর্ণ বিপরীত, যার নিয়মিততা কম থাকে। পাওয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার তত্ত্বের মধ্যে একটি ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। যদি F ফাংশনটি R ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়, তাহলে এর অর্থ হল, যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত সহগ সহ, বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে একত্রিত করা হয়েছে। এই ত্রিকোণমিতিক মানগুলি একাধিক কোণ সূত্র ব্যবহার করে প্রসারিত করা যেতে পারে।
তথ্য-বিশ্লেষণমূলক ফাংশন
এই মানগুলি 8i-এর রিলিজ 2-এ প্রবর্তন করা হয়েছিল এবং সারাংশ রিপোর্ট এবং OLAP প্রশ্নগুলি সরল, অ-প্রক্রিয়াগত SQL-এ মূল্যায়ন করার উপায়গুলিকে ব্যাপকভাবে সরলীকৃত করেছে৷ বিশ্লেষণাত্মক ব্যবস্থাপনা বৈশিষ্ট্য প্রবর্তনের পূর্বে, জটিল স্ব-যোগদান, সাবকোয়েরি এবং ইনলাইন ভিউ ব্যবহার করে ডাটাবেসে জটিল প্রতিবেদন তৈরি করা যেত, কিন্তু এগুলো সম্পদ নিবিড় এবং খুব অদক্ষ ছিল। অধিকন্তু, উত্তর দেওয়া প্রশ্নটি যদি খুব জটিল হয় তবে এটি PL/SQL-এ লেখা যেতে পারে (যা সাধারণত সিস্টেমে একটি একক বিবৃতির চেয়ে কম কার্যকরী হয়)।
বিবর্ধনের প্রকার
এখানে তিন ধরনের এক্সটেনশন রয়েছে যা একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন ভিউয়ের ব্যানারের অধীনে পড়ে, যদিও কেউ বলতে পারে যে প্রথমটি একই রকম সূচক এবং দৃষ্টিভঙ্গি না হয়ে "হোলোমরফিক কার্যকারিতা" প্রদান করে৷
1)। গ্রুপিং এক্সটেনশন (রোলআপ এবং কিউব)
2)। GROUP BY ক্লজের এক্সটেনশনগুলি SQLPlus-এর মতো একটি টুল ব্যবহার করার পরিবর্তে ওরাকল সার্ভার থেকে পূর্বনির্ধারিত ফলাফল সেট, সারাংশ এবং সারাংশ সরবরাহ করার অনুমতি দেয়।
বিকল্প 1: টাস্কের জন্য মোট বেতন, এবং তারপর প্রতিটি বিভাগ এবং তারপর পুরো কলাম।
3)। পদ্ধতি 2: কাজ প্রতি মজুরি একত্রিত করে এবং গণনা করে, প্রতিটি বিভাগ এবং প্রশ্নের ধরন (এসকিউএলপ্লাসের মোট সমষ্টির রিপোর্টের মতো), তারপর পুরো মূলধন সারি। এটি GROUP BY ধারার সমস্ত কলামের জন্য গণনা প্রদান করবে৷
বিস্তারিতভাবে একটি ফাংশন খোঁজার উপায়
এই সাধারণ উদাহরণগুলি বিশ্লেষণমূলক ফাংশনগুলি খুঁজে বের করার জন্য বিশেষভাবে ডিজাইন করা পদ্ধতির শক্তি প্রদর্শন করে। তারা গণনা, সংগঠিত এবং সমষ্টিগত ডেটার জন্য ওয়ার্কগ্রুপে সেট করা ফলাফলকে ভেঙে দিতে পারে। উপরের বিকল্পগুলি স্ট্যান্ডার্ড SQL এর সাথে উল্লেখযোগ্যভাবে আরও জটিল হবে এবং একটির পরিবর্তে EMP টেবিলের তিনটি স্ক্যানের মতো কিছু প্রয়োজন হবে। ওভার অ্যাপের তিনটি উপাদান রয়েছে:
- PARTITION, যার সাহায্যে ফলাফল সেটকে বিভাগগুলির মতো গ্রুপে বিভক্ত করা যেতে পারে। এটি ছাড়া, এটি একটি বিভাগ হিসাবে বিবেচিত হয়৷
- ORDER BY, যা ফলাফল বা বিভাগগুলির একটি গ্রুপ অর্ডার করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি কিছু হলোমরফিক ফাংশনের জন্য ঐচ্ছিক, কিন্তু তাদের জন্য অপরিহার্য যাদের বর্তমানের প্রতিটি পাশের লাইনে অ্যাক্সেস প্রয়োজন, যেমন LAG এবং LEAD৷
- RANGE বা ROWS (একেএতে), যার সাহায্যে আপনি আপনার গণনার বর্তমান কলামের চারপাশে সারি বা মান অন্তর্ভুক্তি মোড তৈরি করতে পারেন। RANGE উইন্ডোগুলি মানগুলির উপর কাজ করে এবং ROWS উইন্ডোগুলি রেকর্ডগুলিতে কাজ করে, যেমন বর্তমান বিভাগের প্রতিটি দিকের X আইটেম বা বর্তমান বিভাগে সমস্ত পূর্ববর্তীগুলি৷
ওভার অ্যাপ্লিকেশনের মাধ্যমে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন পুনরুদ্ধার করুন। এটি আপনাকে PL/SQL এবং অন্যান্য অনুরূপ মান, সূচক, ভেরিয়েবলের মধ্যে পার্থক্য করতে দেয় যেগুলির একই নাম, যেমন AVG, MIN এবং MAX৷
ফাংশন প্যারামিটারের বিবরণ
অ্যাপ্লিকেশন পার্টিশন এবং অর্ডার করুনউপরের প্রথম উদাহরণে দেখানো হয়েছে। ফলাফল সেট প্রতিষ্ঠানের পৃথক বিভাগে বিভক্ত ছিল. প্রতিটি গ্রুপিং-এ, ডেটা ename দ্বারা অর্ডার করা হয়েছিল (ডিফল্ট মানদণ্ড ব্যবহার করে (ASC এবং NULLS LAST)। RANGE অ্যাপ্লিকেশন যোগ করা হয়নি, যার অর্থ হল ডিফল্ট মান RANGE UNABUNDED PRECEDING ব্যবহার করা হয়েছিল। এটি নির্দেশ করে যে বর্তমানের সমস্ত পূর্ববর্তী রেকর্ডগুলি বর্তমান লাইনের জন্য গণনায় পার্টিশন।
বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন এবং উইন্ডো বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হল উদাহরণের মাধ্যমে যা ওভার সিস্টেমের জন্য তিনটি উপাদানের প্রতিটি প্রদর্শন করে। এই ভূমিকা তাদের ক্ষমতা এবং আপেক্ষিক সরলতা প্রদর্শন করে. তারা কম্পিউটিং ফলাফল সেটের জন্য একটি সহজ পদ্ধতি প্রদান করে যা 8i-এর আগে ছিল অদক্ষ, অব্যবহারিক এবং কিছু ক্ষেত্রে "সরাসরি এসকিউএল"-এ অসম্ভব।
অপ্রচলিতদের কাছে, সিনট্যাক্সটি প্রথমে কষ্টকর মনে হতে পারে, কিন্তু একবার আপনার কাছে এক বা দুটি উদাহরণ থাকলে, আপনি সক্রিয়ভাবে সেগুলি ব্যবহারের সুযোগ খুঁজতে পারেন। তাদের নমনীয়তা এবং ক্ষমতা ছাড়াও, তারা অত্যন্ত দক্ষ। এটি সহজেই SQL_TRACE এর সাথে প্রদর্শন করা যেতে পারে এবং বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলির কর্মক্ষমতা তুলনা করে ডেটাবেস স্টেটমেন্টের সাথে তুলনা করুন যা 8.1.6 এর আগের দিনগুলিতে প্রয়োজন হত।
বিশ্লেষণাত্মক মার্কেটিং ফাংশন
বাজার নিজেই অধ্যয়ন এবং গবেষণা করে। এই বিভাগে সম্পর্ক নিয়ন্ত্রিত নয় এবং বিনামূল্যে। পণ্য, পরিষেবা এবং অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ উপাদানগুলির বিনিময়ের বাজারের আকারে, বাণিজ্য সংস্থা এবং ক্ষমতার বস্তুগুলির মধ্যে কোনও নিয়ন্ত্রণ নেই। সর্বোচ্চ পেতেলাভ এবং সাফল্য, এটা তার ইউনিট বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন. উদাহরণস্বরূপ, সরবরাহ এবং চাহিদা। শেষ দুটি মানদণ্ডের জন্য ধন্যবাদ, গ্রাহকের সংখ্যা বাড়ছে৷
আসলে, ভোক্তার প্রয়োজনের অবস্থার বিশ্লেষণ এবং পদ্ধতিগত পর্যবেক্ষণ প্রায়শই ইতিবাচক ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়। বিপণন গবেষণার কেন্দ্রবিন্দুতে একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন যা সরবরাহ এবং চাহিদার অধ্যয়নকে জড়িত করে, এটি সরবরাহ করা পণ্য এবং পরিষেবার স্তর এবং গুণমানও নিরীক্ষণ করে যা বাস্তবায়িত হচ্ছে বা প্রদর্শিত হচ্ছে। ঘুরে, বাজার ভোক্তা, বিশ্ব, বাণিজ্যে বিভক্ত। অন্যান্য জিনিসের মধ্যে, এটি কর্পোরেট কাঠামো অন্বেষণ করতে সাহায্য করে, যা সরাসরি এবং সম্ভাব্য প্রতিযোগীদের উপর ভিত্তি করে।
একজন নবীন উদ্যোক্তা বা ফার্মের জন্য প্রধান বিপদ হল একযোগে বিভিন্ন ধরনের বাজারে প্রবেশ করা। একজন নবাগত পণ্য বা পরিষেবার চাহিদা উন্নত করার জন্য, নির্দিষ্ট ধরণের নির্বাচিত বিভাগের একটি সম্পূর্ণ অধ্যয়ন যেখানে বিক্রয় উপলব্ধ করা হবে। এছাড়াও, একটি অনন্য পণ্য নিয়ে আসা গুরুত্বপূর্ণ যা বাণিজ্যিক সাফল্যের সম্ভাবনা বাড়িয়ে তুলবে। এইভাবে, বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন শুধুমাত্র সংকীর্ণ অর্থেই নয়, সাধারণভাবেও একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিবর্তনশীল, কারণ এটি বাজার সম্পর্কের সমস্ত অংশকে ব্যাপকভাবে এবং ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করে৷
