জ্যামিতিতে বিপ্লবের পরিসংখ্যানগুলি তাদের বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার সময় বিশেষ মনোযোগ দেওয়া হয়। তাদের মধ্যে একটি কাটা শঙ্কু। এই নিবন্ধটির উদ্দেশ্য হল একটি ছাঁটা শঙ্কুর ক্ষেত্রফল গণনা করতে কী সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে সেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া।
আমরা কোন চিত্রের কথা বলছি?
একটি কাটা শঙ্কুর ক্ষেত্রফল বর্ণনা করার আগে, এই চিত্রটির একটি সঠিক জ্যামিতিক সংজ্ঞা দেওয়া প্রয়োজন। ছাঁটাই হল এমন একটি শঙ্কু, যা একটি সমতল দ্বারা একটি সাধারণ শঙ্কুর শীর্ষবিন্দু কেটে ফেলার ফলে প্রাপ্ত হয়। এই সংজ্ঞায়, বেশ কয়েকটি সূক্ষ্মতার উপর জোর দেওয়া উচিত। প্রথমত, বিভাগ সমতল শঙ্কুর ভিত্তি সমতল সমান্তরাল হতে হবে। দ্বিতীয়ত, মূল চিত্রটি একটি বৃত্তাকার শঙ্কু হতে হবে। অবশ্যই, এটি একটি উপবৃত্তাকার, হাইপারবোলিক এবং অন্যান্য ধরণের চিত্র হতে পারে তবে এই নিবন্ধে আমরা শুধুমাত্র একটি বৃত্তাকার শঙ্কু বিবেচনা করার জন্য নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ করব। পরেরটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
এটা অনুমান করা সহজ যে এটি শুধুমাত্র একটি প্লেনের একটি অংশের সাহায্যে নয়, একটি ঘূর্ণন অপারেশনের সাহায্যেও পাওয়া যেতে পারে৷ জন্যএটি করার জন্য, আপনাকে একটি ট্র্যাপিজয়েড নিতে হবে যার দুটি সমকোণ রয়েছে এবং এটিকে এই সমকোণগুলির সংলগ্ন পাশের চারপাশে ঘোরাতে হবে। ফলস্বরূপ, ট্র্যাপিজয়েডের ঘাঁটিগুলি কাটা শঙ্কুর ঘাঁটির ব্যাসার্ধে পরিণত হবে এবং ট্র্যাপিজয়েডের পার্শ্বীয় বাঁকযুক্ত দিকটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠকে বর্ণনা করবে৷
আকৃতি উন্নয়ন
একটি ছাঁটা শঙ্কুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বিবেচনা করে, এটির বিকাশ আনার জন্য এটি কার্যকর, অর্থাৎ, একটি সমতলে একটি ত্রিমাত্রিক চিত্রের পৃষ্ঠের চিত্র। নীচে অধ্যয়নকৃত চিত্রের একটি স্ক্যান করা হয়েছে যা ইচ্ছাকৃত পরামিতি সহ৷
এটা দেখা যায় যে চিত্রটির ক্ষেত্রফল তিনটি উপাদান দ্বারা গঠিত: দুটি বৃত্ত এবং একটি ছাঁটা বৃত্তাকার অংশ। স্পষ্টতই, প্রয়োজনীয় এলাকা নির্ধারণ করতে, সমস্ত নামযুক্ত পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলি যোগ করা প্রয়োজন। পরবর্তী অনুচ্ছেদে এই সমস্যার সমাধান করা যাক।
ছাঁটা শঙ্কু এলাকা
নিম্নলিখিত যুক্তি বোঝা সহজ করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত স্বরলিপি উপস্থাপন করি:
- r1, r2 - যথাক্রমে বড় এবং ছোট ঘাঁটির রেডিআই;
- h - চিত্রের উচ্চতা;
- g - শঙ্কুর জেনারাট্রিক্স (ট্র্যাপিজয়েডের তির্যক দিকের দৈর্ঘ্য)।
একটি কাটা শঙ্কুর ঘাঁটির ক্ষেত্রফল গণনা করা সহজ। আসুন সংশ্লিষ্ট অভিব্যক্তি লিখি:
So1=পাইr12;
So2=পাইr22.
।
একটি বৃত্তাকার অংশের একটি অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা কিছুটা কঠিন। যদি আমরা কল্পনা করি যে এই বৃত্তাকার সেক্টরের কেন্দ্রটি কেটে ফেলা হয় না, তবে এর ব্যাসার্ধ G মানের সমান হবে। আমরা যদি অনুরূপ বিবেচনা করি তবে এটি গণনা করা কঠিন নয়।অনুরূপ সমকোণী শঙ্কু ত্রিভুজ। এটি সমান:
G=r1g/(r1-r2)।
তারপর পুরো বৃত্তাকার সেক্টরের ক্ষেত্রফল, যা G ব্যাসার্ধে নির্মিত এবং যা দৈর্ঘ্য 2pir1 এর উপর নির্ভর করে, সমান হবে প্রতি:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2)।
এবার ছোট বৃত্তাকার সেক্টরের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা যাক S2, যা S1 থেকে বিয়োগ করতে হবে। এটি সমান:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - জি)=pir22g/(r1-r2 )।
শঙ্কুযুক্ত কাটা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল Sb S1 এবং S এর মধ্যে পার্থক্যের সমান 2 আমরা পাই:
Sb=S1- S2=পাইr 12g/(r1-r2) - পাই r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
কিছু কষ্টকর গণনা সত্ত্বেও, আমরা চিত্রটির পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের জন্য মোটামুটি সহজ অভিব্যক্তি পেয়েছি।
ঘাঁটিগুলির ক্ষেত্রগুলি এবং Sb যোগ করে, আমরা একটি ছাঁটা শঙ্কুর ক্ষেত্রফলের সূত্রে পৌঁছেছি:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2)।
এইভাবে, অধ্যয়নকৃত চিত্রের S এর মান গণনা করতে, আপনাকে এর তিনটি লিনিয়ার প্যারামিটার জানতে হবে।
উদাহরণ সমস্যা
বৃত্তাকার সোজা শঙ্কু10 সেমি ব্যাসার্ধ এবং 15 সেমি উচ্চতা একটি সমতল দ্বারা কেটে ফেলা হয়েছিল যাতে একটি নিয়মিত কাটা শঙ্কু পাওয়া যায়। ছেঁটে ফেলা চিত্রটির ঘাঁটির মধ্যে দূরত্ব 10 সেমি তা জেনে, এটির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা প্রয়োজন৷
একটি ছাঁটা শঙ্কুর ক্ষেত্রফলের সূত্রটি ব্যবহার করতে, আপনাকে এর তিনটি পরামিতি খুঁজে বের করতে হবে। একজনকে আমরা জানি:
r1=10 সেমি।
অন্য দুটি গণনা করা সহজ যদি আমরা অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করি, যা শঙ্কুর অক্ষীয় অংশের ফলে প্রাপ্ত হয়। সমস্যাটির অবস্থা বিবেচনা করে, আমরা পাই:
r2=105/15=3.33 সেমি।
অবশেষে, কাটা শঙ্কু g এর গাইড হবে:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12.02 সেমি।
এখন আপনি S: এর সূত্রে r1, r2
এবং g প্রতিস্থাপন করতে পারেন
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851.93 সেমি 2 ।
চিত্রটির কাঙ্ক্ষিত পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল প্রায় 852 সেমি2।
