যেকোন পিরামিডের সাধারণ রৈখিক পরামিতি হল এর ভিত্তির বাহুর দৈর্ঘ্য, উচ্চতা, পাশের প্রান্ত এবং অ্যাপোথেম। তবুও, উল্লেখিত পরামিতিগুলির সাথে যুক্ত আরেকটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে - এটি হল ডিহেড্রাল কোণ। এটি কী এবং কীভাবে এটি খুঁজে পাওয়া যায় তা নিবন্ধে বিবেচনা করুন৷
স্থানিক ফিগার পিরামিড
প্রত্যেক শিক্ষার্থীর "পিরামিড" শব্দটি শুনলে কী ঝুঁকিতে পড়ে সে সম্পর্কে একটি ভাল ধারণা থাকে। এটি নিম্নরূপ জ্যামিতিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে: একটি নির্দিষ্ট বহুভুজ নির্বাচন করুন, তারপর স্থানটিতে একটি বিন্দু ঠিক করুন এবং বহুভুজের প্রতিটি কোণে এটি সংযুক্ত করুন। ফলস্বরূপ ত্রিমাত্রিক চিত্রটি একটি নির্বিচারী ধরণের একটি পিরামিড হবে। যে বহুভুজটি এটি তৈরি করে তাকে বেস বলা হয় এবং যে বিন্দুতে এর সমস্ত কোণগুলি সংযুক্ত থাকে সেটি হল চিত্রের শীর্ষবিন্দু। নীচের চিত্রটি পরিকল্পিতভাবে একটি পঞ্চভুজ পিরামিড দেখায়৷
এটা দেখা যায় যে এর পৃষ্ঠটি কেবল পঞ্চভুজ দ্বারা নয়, পাঁচটি ত্রিভুজ দ্বারাও গঠিত। সাধারণভাবে, এই ত্রিভুজগুলির সংখ্যা সংখ্যার সমান হবেবহুভুজ ভিত্তির বাহু।
চিত্রের ডাইহেড্রাল কোণ
যখন একটি সমতলে জ্যামিতিক সমস্যা বিবেচনা করা হয়, যেকোন কোণ দুটি ছেদকারী সরলরেখা বা অংশ দ্বারা গঠিত হয়। মহাকাশে, এই রৈখিক কোণগুলির সাথে ডাইহেড্রাল কোণগুলি যোগ করা হয়, যা দুটি সমতলের ছেদ দ্বারা গঠিত হয়৷
যদি মহাশূন্যে একটি কোণের চিহ্নিত সংজ্ঞাটি প্রশ্নে থাকা চিত্রটিতে প্রয়োগ করা হয়, তবে আমরা বলতে পারি যে দুটি ধরণের দ্বি-কোণ রয়েছে:
- পিরামিডের গোড়ায়। এটি ভিত্তির সমতল এবং পাশের মুখগুলির (ত্রিভুজ) দ্বারা গঠিত হয়। এর মানে হল পিরামিডের ভিত্তি কোণগুলি হল n, যেখানে n হল বহুভুজের বাহুর সংখ্যা৷
- বাহুর মধ্যে (ত্রিভুজ)। এই ডাইহেড্রাল কোণের সংখ্যাও n টুকরা।
উল্লেখ্য যে প্রথম ধরণের বিবেচিত কোণগুলি ভিত্তির প্রান্তে তৈরি করা হয়েছে, দ্বিতীয় প্রকারটি - পাশের প্রান্তগুলিতে৷
পিরামিডের কোণগুলি কীভাবে গণনা করবেন?
একটি ডিহেড্রাল কোণের রৈখিক কোণ হল পরেরটির পরিমাপ। এটি গণনা করা সহজ নয়, যেহেতু পিরামিডের মুখগুলি, প্রিজমের মুখগুলির বিপরীতে, সাধারণ ক্ষেত্রে সমকোণে ছেদ করে না। সাধারণ আকারে সমতলের সমীকরণ ব্যবহার করে ডাইহেড্রাল কোণের মান গণনা করা সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য।
ত্রিমাত্রিক মহাকাশে, একটি সমতল নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা দেওয়া হয়:
Ax + By + Cz + D=0
যেখানে A, B, C, D কিছু বাস্তব সংখ্যা। এই সমীকরণের সুবিধা হল প্রথম তিনটি চিহ্নিত সংখ্যা হল ভেক্টরের স্থানাঙ্ক,যা প্রদত্ত সমতলে লম্ব, যেমন:
n¯=[ক; খ; C
যদি সমতলের অন্তর্গত তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা যায়, তাহলে এই বিন্দুতে নির্মিত দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল গ্রহণ করে, একজন স্থানাঙ্ক n¯ পেতে পারে। ভেক্টর n¯ কে প্লেনের গাইড বলা হয়।
সংজ্ঞা অনুসারে, দুটি সমতলের ছেদ দ্বারা গঠিত ডাইহেড্রাল কোণ তাদের দিক ভেক্টরের মধ্যে রৈখিক কোণের সমান। ধরুন আমাদের দুটি প্লেন আছে যার স্বাভাবিক ভেক্টর সমান:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2
তাদের মধ্যে কোণ φ গণনা করতে, আপনি স্কেলার পণ্য বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারেন, তারপর সংশ্লিষ্ট সূত্রটি হয়ে যায়:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(n1 ¯||n2¯|))
অথবা সমন্বিত আকারে:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1) 2 )√(A22 + B22+ C22)))
জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের সময় ডিহেড্রাল কোণ গণনা করার জন্য উপরের পদ্ধতিটি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা দেখাই।
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার পিরামিডের কোণ
অনুমান করুন যে একটি নিয়মিত পিরামিড রয়েছে, যার গোড়ায় 10 সেন্টিমিটার একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। চিত্রটির উচ্চতা হল12 সেমি। পিরামিডের গোড়ায় এবং এর বাহুগুলির জন্য ডাইহেড্রাল কোণগুলি কী তা গণনা করা প্রয়োজন।
যেহেতু সমস্যার কন্ডিশনে প্রদত্ত চিত্রটি সঠিক, অর্থাৎ এতে উচ্চ প্রতিসাম্য রয়েছে, তাহলে গোড়ার সমস্ত কোণ একে অপরের সমান। পাশের মুখগুলি দ্বারা গঠিত কোণগুলিও একই। প্রয়োজনীয় ডাইহেড্রাল কোণ গণনা করতে, আমরা বেস এবং দুই পাশের সমতলগুলির জন্য দিক ভেক্টর খুঁজে পাই। a অক্ষর দ্বারা বেসের পাশের দৈর্ঘ্য এবং h উচ্চতা নির্দেশ করুন।
উপরের ছবিটি একটি চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিড দেখায়। আসুন প্রবেশ করা স্থানাঙ্ক সিস্টেম অনুসারে বিন্দু A, B, C এবং D এর স্থানাঙ্কগুলি লিখি:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
এখন আমরা উপরের অনুচ্ছেদে বর্ণিত পদ্ধতি অনুসারে বেস প্লেন ABC এবং দুটি বাহুর ABD এবং BCD-এর জন্য দিক ভেক্টর খুঁজে পাই:
ABC এর জন্য:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD এর জন্য:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD এর জন্য:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
এখন φ কোণের জন্য উপযুক্ত সূত্র প্রয়োগ করা এবং সমস্যা বিবৃতি থেকে পার্শ্ব এবং উচ্চতার মান প্রতিস্থাপন করা বাকি আছে:
ABC এবং এর মধ্যে কোণABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
ABD এবং BDC এর মধ্যে কোণ:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4))))=81, 49o
আমরা কোণগুলির মানগুলি গণনা করেছি যা সমস্যার অবস্থার দ্বারা খুঁজে পাওয়া দরকার৷ সমস্যা সমাধানে প্রাপ্ত সূত্রগুলি a এবং h-এর যেকোনো মান সহ চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের দ্বিমুখী কোণ নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
একটি ত্রিভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের কোণ
নীচের চিত্রটি একটি পিরামিড দেখায় যার ভিত্তি একটি নিয়মিত ত্রিভুজ। এটা জানা যায় যে পক্ষের মধ্যে ডিহেড্রাল কোণটি সঠিক। ভিত্তিটির ক্ষেত্রফল গণনা করা প্রয়োজন যদি এটি জানা যায় যে চিত্রটির উচ্চতা 15 সেমি।
90o এর সমান একটি ডাইহেড্রাল কোণকে চিত্রে ABC হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। আপনি উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে আমরা এটি আরও সহজ করব। চলুন ত্রিভুজ a এর বাহু বোঝাই, চিত্রের উচ্চতা - h, apothema - hb এবং পাশেপাঁজর - খ. এখন আপনি নিম্নলিখিত সূত্র লিখতে পারেন:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
যেহেতু পিরামিডের দুটি বাহুর ত্রিভুজ একই, বাহু AB এবং CB সমান এবং ত্রিভুজ ABC এর পা। আসুন x দ্বারা তাদের দৈর্ঘ্য বোঝাই, তারপর:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
বাহুর ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলিকে সমান করে এবং অনুরূপ রাশিতে apothem প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নিম্নরূপ গণনা করা হয়:
S=√3/4a2=3√3/2h2
সমস্যার অবস্থা থেকে উচ্চতার মান প্রতিস্থাপন করুন, আমরা উত্তর পাব: S=584, 567 সেমি2.
