একটি লাইন এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ গণনা করুন। সমস্যা সমাধানের জন্য সমন্বয় পদ্ধতি

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

স্টেরিওমেট্রির একটি সাধারণ সমস্যা হল সরলরেখা এবং সমতলকে অতিক্রম করা এবং তাদের মধ্যে কোণগুলি গণনা করা। আসুন আমরা এই নিবন্ধে তথাকথিত স্থানাঙ্ক পদ্ধতি এবং লাইন এবং সমতলের মধ্যে কোণগুলি আরও বিশদে বিবেচনা করি৷

রেখা ও সমতল জ্যামিতিতে

রেখা এবং সমতলের মধ্যে স্থানাঙ্ক পদ্ধতি এবং কোণ বিবেচনা করার আগে, আপনার নামযুক্ত জ্যামিতিক বস্তুর সাথে পরিচিত হওয়া উচিত।

একটি রেখা হল মহাকাশে বা একটি সমতলে বিন্দুর এমন একটি সংগ্রহ, যার প্রত্যেকটি রৈখিকভাবে পূর্ববর্তীটিকে একটি নির্দিষ্ট ভেক্টরে স্থানান্তর করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। নিম্নলিখিতটিতে, আমরা এই ভেক্টরটিকে u¯ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করি। এই ভেক্টরকে যদি শূন্যের সমান নয় এমন কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হয়, তাহলে আমরা u¯ এর সমান্তরাল একটি ভেক্টর পাব। একটি লাইন একটি রৈখিক অসীম বস্তু।

একটি সমতলও এমন বিন্দুর একটি সংগ্রহ যা এমনভাবে অবস্থিত যে আপনি যদি সেগুলি থেকে নির্বিচারে ভেক্টর তৈরি করেন, তবে তাদের সবগুলিই কিছু ভেক্টর n¯ এর সাথে লম্ব হবে। পরেরটিকে স্বাভাবিক বা সাধারণ বলা হয়।একটি সমতল, একটি সরলরেখা থেকে ভিন্ন, একটি দ্বি-মাত্রিক অসীম বস্তু৷

জ্যামিতি সমস্যা সমাধানের জন্য সমন্বয় পদ্ধতি

পদ্ধতিটির নামের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে আমরা সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলছি, যা বিশ্লেষণাত্মক অনুক্রমিক গণনার কার্যকারিতার উপর ভিত্তি করে। অন্য কথায়, সমন্বয় পদ্ধতি আপনাকে সার্বজনীন বীজগণিত সরঞ্জাম ব্যবহার করে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান করতে দেয়, যার মধ্যে প্রধান হল সমীকরণ।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে বিবেচনাধীন পদ্ধতিটি আধুনিক জ্যামিতি এবং বীজগণিতের ভোরে উপস্থিত হয়েছিল। 17-18 শতকে রেনে ডেসকার্টস, পিয়েরে ডি ফার্মাট, আইজ্যাক নিউটন এবং লাইবনিজ এর বিকাশে একটি মহান অবদান রেখেছিলেন।

পদ্ধতির সারমর্ম হ'ল পরিচিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কের উপর ভিত্তি করে জ্যামিতিক উপাদানগুলির দূরত্ব, কোণ, ক্ষেত্র এবং আয়তন গণনা করা। লক্ষ্য করুন যে প্রাপ্ত চূড়ান্ত সমীকরণের ফর্ম স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উপর নির্ভর করে। প্রায়শই, আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সিস্টেমটি সমস্যায় ব্যবহৃত হয়, কারণ এটির সাথে কাজ করা সবচেয়ে সুবিধাজনক।

রেখা সমীকরণ

স্থানাঙ্ক পদ্ধতি এবং রেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ বিবেচনা করে, রেখার সমীকরণ সেট করা শুরু করা যাক। বীজগণিত আকারে রেখাগুলিকে উপস্থাপন করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। এখানে আমরা শুধুমাত্র ভেক্টর সমীকরণ বিবেচনা করি, যেহেতু এটি সহজেই অন্য যেকোনো আকারে এটি থেকে পাওয়া যায় এবং এটির সাথে কাজ করা সহজ।

অনুমান করুন যে দুটি বিন্দু রয়েছে: P এবং Q। এটি জানা যায় যে তাদের মাধ্যমে একটি রেখা আঁকা যায়, এবং এটিএকমাত্র হবে। উপাদানটির সংশ্লিষ্ট গাণিতিক উপস্থাপনাটি এইরকম দেখাচ্ছে:

(x, y, z)=P + λPQ¯।

যেখানে PQ¯ একটি ভেক্টর যার স্থানাঙ্ক নিম্নরূপ পাওয়া যায়:

PQ¯=Q - P.

λ একটি প্যারামিটারকে বোঝায় যা একেবারে যেকোনো সংখ্যা নিতে পারে।

লিখিত অভিব্যক্তিতে, আপনি ভেক্টরের দিক পরিবর্তন করতে পারেন এবং P বিন্দুর পরিবর্তে স্থানাঙ্ক Q প্রতিস্থাপন করতে পারেন। এই সমস্ত রূপান্তর রেখার জ্যামিতিক অবস্থানে পরিবর্তন আনবে না।

মনে রাখবেন যে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, কখনও কখনও একটি সুস্পষ্ট (প্যারামেট্রিক) আকারে লিখিত ভেক্টর সমীকরণটি উপস্থাপন করতে হয়৷

মহাকাশে একটি প্লেন সেট করা

একটি সরলরেখার পাশাপাশি একটি সমতলের গাণিতিক সমীকরণেরও বেশ কিছু রূপ রয়েছে। তাদের মধ্যে, আমরা ভেক্টর, সেগমেন্টে সমীকরণ এবং সাধারণ ফর্ম নোট করি। এই নিবন্ধে, আমরা শেষ ফর্মের দিকে বিশেষ মনোযোগ দেব।

একটি নির্বিচারে সমতলের জন্য একটি সাধারণ সমীকরণ নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

Ax + By + Cz + D=0.

ল্যাটিন বড় অক্ষরগুলি নির্দিষ্ট সংখ্যা যা একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে৷

এই স্বরলিপির সুবিধা হল এটি স্পষ্টভাবে সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টর ধারণ করে। এটি সমান:

n¯=(A, B, C)।

এই ভেক্টরটি জানার ফলে সমতলের সমীকরণটি সংক্ষিপ্তভাবে দেখে, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পরবর্তীটির অবস্থান কল্পনা করা সম্ভব হয়।

পারস্পরিক ব্যবস্থালাইন এবং প্লেনের স্থান

নিবন্ধের পরবর্তী অনুচ্ছেদে আমরা স্থানাঙ্ক পদ্ধতি এবং লাইন এবং সমতলের মধ্যে কোণ বিবেচনায় এগিয়ে যাব। এখানে আমরা কীভাবে বিবেচিত জ্যামিতিক উপাদানগুলি মহাকাশে অবস্থিত হতে পারে সেই প্রশ্নের উত্তর দেব। তিনটি উপায় আছে:

1. সরল রেখা সমতলকে ছেদ করে। স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে, আপনি গণনা করতে পারেন কোন একক বিন্দুতে লাইন এবং সমতল ছেদ করছে।
2. একটি সরলরেখার সমতল সমান্তরাল। এই ক্ষেত্রে, জ্যামিতিক উপাদানগুলির সমীকরণের সিস্টেমের কোনও সমাধান নেই। সমান্তরালতা প্রমাণ করতে, সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্কেলার গুণফল এবং সমতলের স্বাভাবিকের বৈশিষ্ট্য সাধারণত ব্যবহৃত হয়।
3. প্লেনটিতে একটি লাইন রয়েছে। এই ক্ষেত্রে সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হব যে λ প্যারামিটারের যেকোনো মানের জন্য, সঠিক সমতা পাওয়া যায়।

দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ক্ষেত্রে, নির্দিষ্ট জ্যামিতিক বস্তুর মধ্যে কোণ শূন্যের সমান। প্রথম ক্ষেত্রে, এটি 0 এবং 90 এর মধ্যে থাকেo.

রেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণের গণনা

এখন সরাসরি নিবন্ধের বিষয়ে যাওয়া যাক। একটি রেখা এবং একটি সমতলের যেকোনো ছেদ কিছু কোণে ঘটে। এই কোণটি সরলরেখা নিজেই এবং সমতলে এর অভিক্ষেপ দ্বারা গঠিত হয়। একটি অভিক্ষেপ প্রাপ্ত করা যেতে পারে যদি একটি সরলরেখার যেকোনো বিন্দু থেকে একটি লম্বকে সমতলে নামানো হয় এবং তারপর সমতলের ছেদ বিন্দু এবং লম্ব এবং সমতল এবং মূল রেখার ছেদ বিন্দুর মাধ্যমে একটি আঁকুন সরলরেখা যা হবে একটি অভিক্ষেপ।

রেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ গণনা করা কঠিন কাজ নয়। এটি সমাধান করার জন্য, সংশ্লিষ্ট জ্যামিতিক বস্তুর সমীকরণ জানা যথেষ্ট। ধরা যাক এই সমীকরণগুলো দেখতে এরকম:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

u¯ এবং n¯ স্কেলার ভেক্টরের গুণফলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত কোণটি সহজেই পাওয়া যায়। চূড়ান্ত সূত্রটি এইরকম দেখাচ্ছে:

θ=আর্কসিন(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|))।

এই সূত্রটি বলে যে একটি রেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণের সাইন চিহ্নিত ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফলের মডুলাস এবং তাদের দৈর্ঘ্যের গুণফলের অনুপাতের সমান। কোসাইন এর পরিবর্তে সাইন কেন দেখা যাচ্ছে তা বোঝার জন্য, আসুন নীচের চিত্রে ফিরে যাই।

এটা দেখা যায় যে আমরা যদি কোসাইন ফাংশন প্রয়োগ করি তবে আমরা u¯ এবং n¯ ভেক্টরের মধ্যে কোণ পাব। পছন্দসই কোণ θ (চিত্রে α) নিম্নরূপ প্রাপ্ত হয়:

θ=৯০o- β.

সাইনটি হ্রাস সূত্র প্রয়োগের ফলে প্রদর্শিত হয়।

উদাহরণ সমস্যা

আসুন অর্জিত জ্ঞানের ব্যবহারিক ব্যবহারে এগিয়ে যাই। সরলরেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণে একটি সাধারণ সমস্যা সমাধান করা যাক। নিম্নলিখিত চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1)।

এটা জানা যায় যে PQM পয়েন্টের মাধ্যমেএকটি প্লেন এটির মধ্য দিয়ে যায় এবং একটি সরল রেখা MN এর মধ্য দিয়ে যায়। স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে, সমতল এবং লাইনের মধ্যে কোণ গণনা করা আবশ্যক।

প্রথমে, সরলরেখা এবং সমতলের সমীকরণগুলো লিখি। একটি সরল রেখার জন্য, এটি রচনা করা সহজ:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2)।

সমতলের সমীকরণ করতে, আমরা প্রথমে এটির স্বাভাবিকটি খুঁজে পাই। এর স্থানাঙ্কগুলি প্রদত্ত সমতলে থাকা দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের সমান। আমাদের আছে:

PQ¯=(-2, 3, 2);

QM¯=(1, 1, -3)=>

n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5)।

এখন মুক্ত শব্দের মান পেতে সাধারণ সমতলের সমীকরণে এতে থাকা যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করা যাক:

P=(1, -1, 0);

- (Ax + By + Cz)=D=>

D=- (-11 + 4 + 0)=7.

সমতল সমীকরণ হল:

11x + 4y + 5z - 7=0.

সমস্যাটির উত্তর পেতে একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের ছেদস্থলে গঠিত কোণের সূত্রটি প্রয়োগ করা বাকি আছে। আমাদের আছে:

(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;

|u¯|=√24; |n¯|=√162;

θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.

এই সমস্যাটিকে উদাহরণ হিসেবে ব্যবহার করে, আমরা দেখিয়েছি কিভাবে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয়।