সমতল এবং মহাকাশে লাইনের মধ্যে কোণ গণনা করুন: সূত্র

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

একটি সাধারণ জ্যামিতিক সমস্যা হল লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজে বের করা। একটি সমতলে, রেখার সমীকরণ জানা থাকলে, সেগুলি আঁকা যায় এবং একটি প্রটেক্টর দিয়ে কোণ পরিমাপ করা যায়। যাইহোক, এই পদ্ধতিটি শ্রমসাধ্য এবং সবসময় সম্ভব নয়। নামযুক্ত কোণ খুঁজে বের করতে, সরলরেখা আঁকার প্রয়োজন নেই, এটি গণনা করা যেতে পারে। এই নিবন্ধটি কীভাবে এটি করা হয় তার উত্তর দেবে৷

একটি সরলরেখা এবং এর ভেক্টর সমীকরণ

যেকোন সরল রেখাকে একটি ভেক্টর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যা -∞ থেকে শুরু হয় এবং +∞ এ শেষ হয়। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর মহাশূন্যের কিছু বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এইভাবে, একটি সরলরেখার যে কোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে যে সমস্ত ভেক্টর আঁকা যায় সেগুলো একে অপরের সমান্তরাল হবে। এই সংজ্ঞা আপনাকে ভেক্টর আকারে একটি সরল রেখার সমীকরণ সেট করতে দেয়:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

এখানে, স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর (a; b; c) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া এই লাইনের নির্দেশিকা (x₀; y_{0; z}0_{)।α প্যারামিটার আপনাকে এই লাইনের জন্য নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে অন্য যেকোনো স্থানে স্থানান্তর করতে দেয়। এই সমীকরণটি স্বজ্ঞাত এবং 3D স্থান এবং সমতলে উভয়ের সাথে কাজ করা সহজ। একটি সমতলের জন্য, এতে z স্থানাঙ্ক এবং তৃতীয় দিক ভেক্টর উপাদান থাকবে না।}

একটি ভেক্টর সমীকরণ ব্যবহারের কারণে গণনা সম্পাদন এবং সরলরেখার আপেক্ষিক অবস্থান অধ্যয়ন করার সুবিধাটি এর নির্দেশক ভেক্টর পরিচিত হওয়ার কারণে। এর স্থানাঙ্কগুলি লাইনের মধ্যে কোণ এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

একটি সমতলে সরলরেখার জন্য সাধারণ সমীকরণ

আসুন দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণটি স্পষ্টভাবে লিখি। দেখে মনে হচ্ছে:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb}

এখন আমরা প্রতিটি সমতার জন্য প্যারামিটার α গণনা করি এবং প্রাপ্ত সমতার সঠিক অংশগুলিকে সমান করি:

α=(x - x_0)/a;

α=(y - y_0)/b;

(x - x₀)/a=(y - y_0)/b

বন্ধনী খোলা এবং সমতার একপাশে সমস্ত পদ স্থানান্তর করা, আমরা পাই:

1/ax +(-1/b)y+y₀/b- x_0/a=0=>

Ax + By + C=0, যেখানে A=1/a, B=-1/b, C=y₀/b- x 0_/a

ফলিত অভিব্যক্তিটিকে দ্বি-মাত্রিক স্থানে প্রদত্ত একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ বলা হয় (ত্রিমাত্রিক এই সমীকরণটি z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সাথে মিলে যায়, সরলরেখা নয়)।

যদি আমরা এই রাশিতে x এর মাধ্যমে স্পষ্টভাবে y লিখি, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত ফর্মটি পাব, পরিচিতপ্রতিটি ছাত্র:

y=kx + p, যেখানে k=-A/B, p=-C/B

এই রৈখিক সমীকরণটি সমতলের একটি সরল রেখাকে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করে। সুপরিচিত সমীকরণ অনুসারে এটি আঁকা খুব সহজ, এর জন্য আপনাকে x=0 এবং y=0 লাগাতে হবে, স্থানাঙ্ক সিস্টেমে সংশ্লিষ্ট বিন্দুগুলি চিহ্নিত করতে হবে এবং প্রাপ্ত বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে একটি সরল রেখা আঁকতে হবে।

রেখার মধ্যে কোণের সূত্র

একটি সমতলে, দুটি লাইন হয় ছেদ করতে পারে বা একে অপরের সমান্তরাল হতে পারে। মহাকাশে, এই বিকল্পগুলিতে স্কু লাইনের অস্তিত্বের সম্ভাবনা যুক্ত করা হয়। এই এক-মাত্রিক জ্যামিতিক বস্তুর আপেক্ষিক অবস্থানের যে সংস্করণই প্রয়োগ করা হোক না কেন, তাদের মধ্যকার কোণ সর্বদা নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:

φ=arccos(|(v₁¯v₂¯)|/(v₁ ¯||v_2¯|))

যেখানে v₁¯ এবং v_{2¯ লাইন 1 এবং 2 এর জন্য যথাক্রমে গাইড ভেক্টর। লব হল বিন্দু পণ্যের মডুলাস যা স্থূলকোণ বাদ দিয়ে শুধুমাত্র তীক্ষ্ণ কোণগুলিকে বিবেচনায় নেয়৷}

ভেক্টর v₁¯ এবং v_{2¯ দুটি বা তিনটি স্থানাঙ্ক দ্বারা দেওয়া যেতে পারে, যখন কোণের সূত্র φ অপরিবর্তিত রয়েছে।}

রেখার সমান্তরালতা এবং লম্বতা

যদি উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা 2টি লাইনের মধ্যে কোণটি 0o হয়, তাহলে সেগুলিকে সমান্তরাল বলা হয়। রেখাগুলি সমান্তরাল কিনা তা নির্ধারণ করতে, আপনি কোণ গণনা করতে পারবেন নাφ, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে একটি দিক ভেক্টরকে অন্য লাইনের অনুরূপ ভেক্টরের মাধ্যমে উপস্থাপন করা যেতে পারে, তা হল:

v₁¯=qv_2¯

এখানে q কিছু বাস্তব সংখ্যা।

যদি রেখার সমীকরণ এইভাবে দেওয়া হয়:

y=k₁x + p_1,

y=k₂x + p_2,

তাহলে x এর সহগ সমান হলেই তারা সমান্তরাল হবে, অর্থাৎ:

k₁=k₂

এই সত্যটি প্রমাণ করা যেতে পারে যদি আমরা বিবেচনা করি যে কীভাবে সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে k সহগ প্রকাশ করা হয়।

যদি রেখার মধ্যে ছেদকের কোণ 90^o হয়, তাহলে তাকে লম্ব বলে। রেখাগুলির লম্বতা নির্ধারণের জন্য, φ কোণ গণনা করারও প্রয়োজন নেই, এর জন্য শুধুমাত্র v₁¯ এবং v ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনা করা যথেষ্ট। 2_{¯। এটা অবশ্যই শূন্য হতে হবে।}

স্থানে সরল রেখাকে ছেদ করার ক্ষেত্রে, কোণের φ সূত্রটিও ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, ফলাফল সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত। গণনা করা φ রেখাগুলির দিকনির্দেশের ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ দেখায় যা ছেদ করে না এবং সমান্তরাল নয়৷

টাস্ক 1। লম্ব রেখা

এটা জানা যায় যে লাইনের সমীকরণের ফর্ম আছে:

(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);

(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)

এই লাইনগুলি কিনা তা নির্ধারণ করা প্রয়োজনলম্ব।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, গাইডের ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল গণনা করা যথেষ্ট, যা স্থানাঙ্ক (1; 2) এবং (-4; 2) এর সাথে মিলে যায়। আমাদের আছে:

(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0

যেহেতু আমরা 0 পেয়েছি, এর অর্থ হল বিবেচিত রেখাগুলি একটি সমকোণে ছেদ করে, অর্থাৎ, তারা লম্ব৷

টাস্ক 2। লাইন ছেদ কোণ

এটা জানা যায় যে সরলরেখার জন্য দুটি সমীকরণের নিম্নলিখিত রূপ রয়েছে:

y=2x - 1;

y=-x + 3

রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে হবে।

যেহেতু x এর সহগগুলির মান আলাদা, এই রেখাগুলি সমান্তরাল নয়। তারা ছেদ করলে যে কোণটি গঠিত হয় তা খুঁজে বের করতে, আমরা প্রতিটি সমীকরণকে একটি ভেক্টর আকারে অনুবাদ করি।

প্রথম লাইনের জন্য আমরা পাই:

(x; y)=(x; 2x - 1)

সমীকরণের ডানদিকে, আমরা একটি ভেক্টর পেয়েছি যার স্থানাঙ্ক x এর উপর নির্ভর করে। আসুন এটিকে দুটি ভেক্টরের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করি, এবং প্রথমটির স্থানাঙ্কে x পরিবর্তনশীল থাকবে এবং দ্বিতীয়টির স্থানাঙ্কগুলি একচেটিয়াভাবে সংখ্যাগুলি নিয়ে গঠিত হবে:

(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)

যেহেতু x নির্বিচারে মান নেয়, এটিকে প্যারামিটার α দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে। প্রথম লাইনের ভেক্টর সমীকরণটি হয়ে যায়:

(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)

আমরা লাইনের দ্বিতীয় সমীকরণের সাথে একই ক্রিয়া করি, আমরা পাই:

(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>

(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)

আমরা মূল সমীকরণগুলি ভেক্টর আকারে পুনরায় লিখি। এখন আপনি ছেদ কোণের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন, এতে লাইনগুলির নির্দেশক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারেন:

(1; 2)(1; -1)=-1;

|(1; 2)|=√5;

|(1; -1)|=√2;

φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o

এইভাবে, বিবেচনাধীন রেখাগুলি 71.565o, বা 1.249 রেডিয়ান কোণে ছেদ করে৷

এই সমস্যাটি অন্যভাবে সমাধান করা যেত। এটি করার জন্য, প্রতিটি সরল রেখার দুটি নির্বিচারে বিন্দু নেওয়া প্রয়োজন ছিল, তাদের থেকে সরাসরি ভেক্টর রচনা করা এবং তারপর φ এর জন্য সূত্রটি ব্যবহার করা।