প্লেনগুলির সমান্তরালতা এবং লম্বতা নির্ণয় করতে, সেইসাথে এই জ্যামিতিক বস্তুর মধ্যে দূরত্ব গণনা করতে, এক বা অন্য ধরণের সংখ্যাসূচক ফাংশন ব্যবহার করা সুবিধাজনক। কোন সমস্যার জন্য অংশে সমতলের সমীকরণ ব্যবহার করা সুবিধাজনক? এই নিবন্ধে, আমরা এটি কী এবং কীভাবে এটি ব্যবহারিক কাজে ব্যবহার করা যায় তা দেখব।
রেখা অংশে একটি সমীকরণ কী?
একটি প্লেনকে 3D স্পেসে বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এই নিবন্ধে, বিভিন্ন ধরনের সমস্যা সমাধান করার সময় তাদের কিছু দেওয়া হবে। এখানে আমরা সমতলের অংশগুলির সমীকরণের একটি বিশদ বিবরণ দিই। এটির সাধারণত নিম্নলিখিত ফর্ম থাকে:
x/p + y/q + z/r=1.
যেখানে p, q, r চিহ্ন কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যা নির্দেশ করে। এই সমীকরণটি সহজেই একটি সাধারণ অভিব্যক্তিতে এবং সমতলের জন্য সংখ্যাসূচক ফাংশনের অন্যান্য ফর্মগুলিতে অনুবাদ করা যেতে পারে।
খণ্ডে সমীকরণটি লেখার সুবিধার মধ্যে রয়েছে যে এতে লম্ব স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে সমতলের ছেদগুলির সুস্পষ্ট স্থানাঙ্ক রয়েছে৷ x-অক্ষেউৎপত্তির সাপেক্ষে, সমতলটি y অক্ষের উপর p দৈর্ঘ্যের একটি অংশ কেটে ফেলে - q এর সমান, z-এ r দৈর্ঘ্য।
যদি তিনটি ভেরিয়েবলের যেকোনও সমীকরণে না থাকে, তাহলে এর মানে হল সমতলটি সংশ্লিষ্ট অক্ষের মধ্য দিয়ে যায় না (গণিতবিদরা বলেন যে এটি অসীমে অতিক্রম করে)
পরবর্তী, এখানে কিছু সমস্যা রয়েছে যেখানে আমরা এই সমীকরণের সাথে কীভাবে কাজ করব তা দেখাব।
সাধারণ এবং সমীকরণের অংশে যোগাযোগ
এটা জানা যায় যে বিমানটি নিম্নলিখিত সমতা দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
2x - 3y + z - 6=0.
এটি প্লেনের এই সাধারণ সমীকরণটি অংশে লিখতে হবে।
যখন একটি অনুরূপ সমস্যা দেখা দেয়, আপনাকে এই কৌশলটি অনুসরণ করতে হবে: আমরা সমতার ডানদিকে বিনামূল্যের শব্দটি স্থানান্তর করি। তারপরে আমরা পুরো সমীকরণটিকে এই শব্দটি দ্বারা ভাগ করি, এটিকে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে দেওয়া ফর্মে প্রকাশ করার চেষ্টা করি। আমাদের আছে:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
আমরা অংশে সমতলের সমীকরণ পেয়েছি, প্রাথমিকভাবে একটি সাধারণ আকারে দেওয়া হয়েছে। এটা লক্ষণীয় যে প্লেনটি যথাক্রমে x, y এবং z অক্ষের জন্য 3, 2 এবং 6 দৈর্ঘ্যের অংশগুলিকে কেটে দেয়। y-অক্ষ ঋণাত্মক স্থানাঙ্ক এলাকায় সমতলকে ছেদ করে।
খণ্ডে একটি সমীকরণ আঁকার সময়, এটি গুরুত্বপূর্ণ যে সমস্ত ভেরিয়েবলের আগে একটি "+" চিহ্ন থাকে। শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে, যে সংখ্যা দ্বারা এই ভেরিয়েবলকে ভাগ করা হয়েছে সেটি অক্ষের উপর স্থানাঙ্ক কাটা দেখাবে।
সমতলের সাধারণ ভেক্টর এবং বিন্দু
এটা জানা যায় যে কিছু প্লেনের দিক ভেক্টর থাকে (3; 0; -1)। এটি বিন্দু (1; 1; 1) এর মধ্য দিয়ে যায় বলেও জানা যায়। এই সমতলের জন্য, অংশে একটি সমীকরণ লিখুন।
এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আপনাকে প্রথমে এই দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিক বস্তুর সাধারণ আকৃতি ব্যবহার করতে হবে। সাধারণ ফর্মটি এভাবে লেখা হয়:
Ax + By + Cz + D=0.
এখানে প্রথম তিনটি সহগ হল গাইড ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, যা সমস্যা বিবৃতিতে উল্লেখ করা হয়েছে, তা হল:
A=3;
B=0;
C=-1.
এটি বিনামূল্যের শব্দ D খুঁজে বের করতে বাকি রয়েছে। এটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1)।
যেখানে সূচক 1 এর সাথে স্থানাঙ্কের মান সমতলের অন্তর্গত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়। আমরা সমস্যার অবস্থা থেকে তাদের মান প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
এখন আপনি সম্পূর্ণ সমীকরণ লিখতে পারেন:
3x - z - 2=0.
এই অভিব্যক্তিটিকে সমতলের অংশে একটি সমীকরণে রূপান্তর করার কৌশলটি ইতিমধ্যে উপরে প্রদর্শিত হয়েছে। এটি প্রয়োগ করুন:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
সমস্যার উত্তর পাওয়া গেছে। মনে রাখবেন যে এই সমতলটি শুধুমাত্র x এবং z অক্ষকে ছেদ করে। y এর জন্য এটি সমান্তরাল৷
একটি সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে দুটি সরল রেখা
স্থানিক জ্যামিতির কোর্স থেকে, প্রত্যেক শিক্ষার্থী জানে যে দুটি নির্বিচারে লাইন একটি সমতলকে স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করেত্রিমাত্রিক স্থান। আসুন একই ধরনের সমস্যার সমাধান করি।
রেখার দুটি সমীকরণ জানা যায়:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1)।
এই লাইনগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া, অংশে সমতলের সমীকরণ লিখতে হবে।
যেহেতু উভয় লাইনই সমতলে থাকা আবশ্যক, এর মানে হল তাদের ভেক্টর (গাইড) অবশ্যই সমতলের ভেক্টর (গাইড) এর লম্ব হতে হবে। একই সময়ে, এটি জানা যায় যে নির্বিচারে দুটি নির্দেশিত অংশের ভেক্টর গুণফলটি তৃতীয়টির স্থানাঙ্কের আকারে ফলাফল দেয়, দুটি আসলটির সাথে লম্ব। এই বৈশিষ্ট্যটি দেওয়া হলে, আমরা পছন্দসই সমতলে একটি ভেক্টর স্বাভাবিকের স্থানাঙ্ক পেতে পারি:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1)।
যেহেতু এটি একটি নির্বিচারে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে, এটি আসলটির সমান্তরাল একটি নতুন নির্দেশিত অংশ গঠন করে, আমরা প্রাপ্ত স্থানাঙ্কের চিহ্নটিকে বিপরীত (-1 দ্বারা গুণ) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি, আমরা পাই:
(1; 2; 1)।
আমরা দিক ভেক্টর জানি। একটি সরল রেখার একটি নির্বিচারে বিন্দু নিতে এবং সমতলের সাধারণ সমীকরণটি আঁকতে বাকি রয়েছে:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
এই সমতাকে সেগমেন্টে একটি অভিব্যক্তিতে অনুবাদ করলে আমরা পাই:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
এইভাবে, সমতল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ধনাত্মক অঞ্চলে তিনটি অক্ষকে ছেদ করে।
তিন পয়েন্ট এবং একটি প্লেন
দুটি সরল রেখার মতো, তিনটি বিন্দু একটি সমতলকে ত্রিমাত্রিক স্থানে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করে। সমতলে থাকা বিন্দুগুলির নিম্নোক্ত স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকলে আমরা বিভাগগুলিতে সংশ্লিষ্ট সমীকরণ লিখি:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0)।
আসুন নিম্নলিখিতটি করি: এই বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী দুটি নির্বিচারী ভেক্টরের স্থানাঙ্ক গণনা করুন, তারপর পাওয়া নির্দেশিত অংশগুলির গুণফল গণনা করে সমতলে ভেক্টর n ¯ স্বাভাবিক খুঁজুন। আমরা পাই:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6)।
উদাহরণ হিসেবে P বিন্দুটি ধরুন, সমতলের সমীকরণটি রচনা করুন:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 বা z=0.
আমরা একটি সাধারণ অভিব্যক্তি পেয়েছি যা প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় xy সমতলের সাথে মিলে যায়। এটি সেগমেন্টে লেখা যাবে না, যেহেতু x এবং y অক্ষ সমতলের অন্তর্গত, এবং z অক্ষের কাটা অংশের দৈর্ঘ্য শূন্য (বিন্দু (0; 0; 0) সমতলের অন্তর্গত)।
