প্ল্যানিমেট্রি জ্যামিতির একটি শাখা যা সমতল চিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে। এর মধ্যে শুধুমাত্র সুপরিচিত ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র নয়, সরলরেখা এবং কোণও রয়েছে। প্ল্যানমিট্রিতে, একটি বৃত্তে কোণের মতো ধারণাগুলিও রয়েছে: কেন্দ্রীয় এবং খোদাই করা। কিন্তু তারা কি মানে?
কেন্দ্রীয় কোণ কী?
কেন্দ্রীয় কোণ কী তা বোঝার জন্য, আপনাকে একটি বৃত্ত সংজ্ঞায়িত করতে হবে। একটি বৃত্ত হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (বৃত্তের কেন্দ্র) থেকে সমান দূরত্বে থাকা সমস্ত বিন্দুর সংগ্রহ।
এটি একটি বৃত্ত থেকে আলাদা করা খুবই গুরুত্বপূর্ণ৷ এটি অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি বৃত্ত হল একটি বন্ধ রেখা, এবং একটি বৃত্ত হল এটি দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতলের একটি অংশ। একটি বহুভুজ বা একটি কোণ একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে৷
একটি কেন্দ্রীয় কোণ হল একটি কোণ যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় এবং যার বাহুগুলি বৃত্তটিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে। চাপ, যে কোণটি ছেদ বিন্দু দ্বারা সীমাবদ্ধ করে, তাকে চাপ বলা হয় যার উপর প্রদত্ত কোণটি বিশ্রাম নেয়।
1 উদাহরণ বিবেচনা করুন।
ছবিতে, কোণ AOB কেন্দ্রীয়, কারণ কোণের শীর্ষবিন্দু এবং বৃত্তের কেন্দ্র এক বিন্দু O। এটি চাপ AB-তে অবস্থিত, যাতে C বিন্দু নেই।
কীভাবে একটি খোদাই করা কোণ একটি কেন্দ্রীয় কোণ থেকে আলাদা?
তবে, কেন্দ্রীয় অংশগুলি ছাড়াও, খোদাই করা কোণগুলিও রয়েছে৷ তাদের পার্থক্য কি? ঠিক কেন্দ্রীয়টির মতো, একটি বৃত্তে খোদাই করা কোণটি একটি নির্দিষ্ট চাপের উপর স্থির থাকে। কিন্তু এর শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় না, বরং এটির উপর থাকে।
আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি নেওয়া যাক।
কোণ ACB কে O বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তে খোদিত একটি কোণ বলা হয়। বিন্দু C বৃত্তের অন্তর্গত, অর্থাৎ এটির উপর অবস্থিত। কোণটি চাপ AB এর উপর অবস্থিত।
কেন্দ্রীয় কোণ কী
জ্যামিতিতে সমস্যাগুলি সফলভাবে মোকাবেলা করার জন্য, খোদাই করা এবং কেন্দ্রীয় কোণগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে সক্ষম হওয়া যথেষ্ট নয়। একটি নিয়ম হিসাবে, তাদের সমাধান করার জন্য, আপনাকে সঠিকভাবে জানতে হবে কিভাবে একটি বৃত্তে কেন্দ্রীয় কোণ খুঁজে বের করতে হবে এবং এর মান ডিগ্রীতে গণনা করতে সক্ষম হবেন।
সুতরাং, কেন্দ্রীয় কোণটি চাপের ডিগ্রী পরিমাপের সমান।
ছবিতে, AOB কোণটি 66° এর সমান চাপ AB এর উপর অবস্থিত। সুতরাং AOB কোণটিও 66° এর সমান।
এইভাবে, সমান চাপের উপর ভিত্তি করে কেন্দ্রীয় কোণগুলি সমান।
চিত্রে, চাপ DC চাপ AB এর সমান। সুতরাং কোণ AOB কোণ DOC এর সমান।
কীভাবে একটি খোদাই করা কোণ খুঁজে পাবেন
মনে হতে পারে যে বৃত্তে খোদাই করা কোণটি কেন্দ্রীয় কোণের সমান,যা একই চাপের উপর নির্ভর করে। যাইহোক, এটি একটি গুরুতর ভুল। প্রকৃতপক্ষে, এমনকি কেবল অঙ্কনটি দেখে এবং একে অপরের সাথে এই কোণগুলি তুলনা করলে, আপনি দেখতে পাবেন যে তাদের ডিগ্রি পরিমাপের বিভিন্ন মান থাকবে। তাহলে বৃত্তে খোদাই করা কোণটি কী?
একটি খোদাই করা কোণের ডিগ্রী পরিমাপ হল এটি স্থিত চাপের অর্ধেক বা অর্ধেক কেন্দ্রীয় কোণ যদি তারা একই চাপের উপর নির্ভর করে।
আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। কোণ ACB 66° এর সমান একটি চাপের উপর ভিত্তি করে।
তাহলে কোণটি DIA=66°: 2=33°
আসুন এই উপপাদ্যটির কিছু ফলাফল বিবেচনা করা যাক।
- খোদিত কোণগুলি, যদি তারা একই চাপ, জ্যা বা সমান চাপের উপর ভিত্তি করে থাকে তবে সমান।
- যদি খোদাই করা কোণগুলি একই জ্যার উপর ভিত্তি করে থাকে, কিন্তু তাদের শীর্ষবিন্দুগুলি এর বিপরীত দিকে থাকে, তাহলে এই ধরনের কোণের ডিগ্রি পরিমাপের যোগফল 180°, যেহেতু এই ক্ষেত্রে উভয় কোণই চাপের উপর ভিত্তি করে, যার মোট ডিগ্রী পরিমাপ হল 360° (পুরো বৃত্ত), 360°: 2=180°
- যদি খোদাই করা কোণটি প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসের উপর ভিত্তি করে হয়, তবে এর ডিগ্রি পরিমাপ 90°, যেহেতু ব্যাসটি 180°, 180°: 2=90° এর সমান একটি চাপকে সাবটেন করে
- যদি একটি বৃত্তের কেন্দ্রীয় এবং খোদাই করা কোণ একই চাপ বা জ্যার উপর ভিত্তি করে হয়, তাহলে খোদাই করা কোণটি কেন্দ্রীয় একের অর্ধেকের সমান।
এই বিষয়ে সমস্যা কোথায় পাওয়া যাবে? তাদের প্রকার এবং সমাধান
যেহেতু বৃত্ত এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি জ্যামিতির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিভাগগুলির মধ্যে একটি, বিশেষ করে প্ল্যানমিট্রি, বৃত্তে খোদাই করা এবং কেন্দ্রীয় কোণগুলি এমন একটি বিষয় যা ব্যাপকভাবে এবং বিস্তারিত।স্কুল পাঠ্যক্রম অধ্যয়ন. তাদের বৈশিষ্ট্যের জন্য নিবেদিত কার্যগুলি প্রধান রাজ্য পরীক্ষা (OGE) এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় (USE) পাওয়া যায়। একটি নিয়ম হিসাবে, এই সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য, আপনাকে ডিগ্রীতে বৃত্তের কোণগুলি খুঁজে বের করতে হবে৷
একই চাপের উপর ভিত্তি করে কোণ
এই ধরণের সমস্যাটি সম্ভবত সবচেয়ে সহজ, কারণ এটি সমাধান করার জন্য আপনাকে কেবল দুটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য জানতে হবে: যদি উভয় কোণ খোদাই করা হয় এবং একই জ্যায় ঝুঁকে থাকে তবে তারা সমান, যদি তাদের মধ্যে একটি হয় কেন্দ্রীয়, তারপর সংশ্লিষ্ট খোদাই করা কোণটি এর অর্ধেকের সমান। যাইহোক, এগুলি সমাধান করার সময়, একজনকে অবশ্যই অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে: কখনও কখনও এই সম্পত্তিটি লক্ষ্য করা কঠিন, এবং শিক্ষার্থীরা যখন এই জাতীয় সাধারণ সমস্যাগুলি সমাধান করে তখন শেষ পর্যন্ত চলে আসে। একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।
সমস্যা 1
O বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে। কোণ AOB হল 54°। ডিআইএ কোণের ডিগ্রি পরিমাপ খুঁজুন।
এই কাজটি এক ধাপে সমাধান করা হয়। এটির উত্তরটি দ্রুত খুঁজে পেতে আপনার একমাত্র জিনিসটি লক্ষ্য করা উচিত যে উভয় কোণে অবস্থিত চাপটি একটি সাধারণ। এটি দেখে, আপনি ইতিমধ্যে পরিচিত সম্পত্তি প্রয়োগ করতে পারেন। কোণ ACB হল AOB-এর অর্ধেক কোণ। তাই
1) AOB=54°: 2=27°।
উত্তর: 54°।
একই বৃত্তের বিভিন্ন আর্কের উপর ভিত্তি করে কোণ
কখনও কখনও চাপের মাপ যেটির উপর প্রয়োজনীয় কোণটি বিশ্রাম নেয় তা সমস্যার শর্তে সরাসরি নির্দিষ্ট করা হয় না। এটি গণনা করার জন্য, আপনাকে এই কোণগুলির মাত্রা বিশ্লেষণ করতে হবে এবং বৃত্তের পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে তাদের তুলনা করতে হবে৷
সমস্যা 2
O কেন্দ্রিক একটি বৃত্তে, AOC কোণহল 120°, এবং কোণ AOB হল 30°৷ আপনি কোণ খুঁজে নিন।
শুরু করার জন্য, এটা বলা উচিত যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা সম্ভব, তবে এর জন্য আরও গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন হবে। অতএব, এখানে আমরা একটি বৃত্তে কেন্দ্রীয় এবং উৎকীর্ণ কোণের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সমাধানটি বিশ্লেষণ করব।
সুতরাং, AOC কোণটি arc AC এর উপর স্থির থাকে এবং এটি কেন্দ্রীয়, যার অর্থ হল চাপ AC কোণ AOC-এর সমান।
AC=120°
একইভাবে, কোণ AOB চাপ AB-এর উপর অবস্থিত।
AB=30°।
এটি এবং সমগ্র বৃত্তের ডিগ্রী পরিমাপ (360°) জেনে আপনি সহজেই BC এর বৃত্তের মাত্রা খুঁজে পেতে পারেন।
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
কোণের শীর্ষবিন্দু CAB, বিন্দু A, বৃত্তের উপর অবস্থিত। সুতরাং, কোণ CAB খোদাই করা হয়েছে এবং চাপ CB-এর অর্ধেকের সমান।
CAB কোণ=210°: 2=110°
উত্তর: 110°
আর্ক অনুপাতের উপর ভিত্তি করে সমস্যা
কিছু সমস্যায় কোণ সংক্রান্ত ডেটা একেবারেই থাকে না, তাই শুধুমাত্র পরিচিত উপপাদ্য এবং একটি বৃত্তের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে সেগুলি অনুসন্ধান করতে হবে৷
সমস্যা ১
প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান একটি জ্যা দ্বারা সমর্থিত একটি বৃত্তে খোদাই করা কোণটি খুঁজুন।
আপনি যদি মানসিকভাবে বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে সেগমেন্টের প্রান্তগুলিকে সংযুক্ত করে রেখা আঁকেন, তাহলে আপনি একটি ত্রিভুজ পাবেন। এটি পরীক্ষা করার পরে, আপনি দেখতে পারেন যে এই রেখাগুলি বৃত্তের ব্যাসার্ধ, যার অর্থ হল ত্রিভুজের সমস্ত বাহু সমান। আমরা জানি যে একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমস্ত কোণ60° এর সমান। সুতরাং, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ধারণকারী চাপ AB 60° এর সমান। এখান থেকে আমরা চাপ AB খুঁজে পাই, যার উপর ভিত্তি করে কাঙ্খিত কোণ।
AB=360° - 60°=300°
কোণ ABC=300°: 2=150°
উত্তর: 150°
সমস্যা 2
O বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্তে, আর্কগুলি 3:7 হিসাবে সম্পর্কিত। ছোট খোদাই করা কোণ খুঁজুন।
সলিউশনের জন্য, আমরা একটি অংশকে X হিসাবে চিহ্নিত করি, তারপর একটি চাপ 3X এর সমান এবং দ্বিতীয়টি যথাক্রমে 7X। একটি বৃত্তের ডিগ্রি পরিমাপ 360° জেনে আমরা একটি সমীকরণ লিখতে পারি।
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
শর্ত অনুযায়ী, আপনাকে একটি ছোট কোণ খুঁজে বের করতে হবে। স্পষ্টতই, যদি কোণের মানটি স্থিত চাপের সাথে সরাসরি সমানুপাতিক হয়, তাহলে প্রয়োজনীয় (ছোট) কোণটি 3X এর সমান একটি চাপের সাথে মিলে যায়।
তাহলে ছোট কোণটি হল (36° 3): 2=108°: 2=54°
উত্তর: 54°
সমস্যা ৩
O বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্তে, AOB কোণটি 60° এবং ছোট চাপের দৈর্ঘ্য 50। বড় চাপের দৈর্ঘ্য গণনা করুন।
একটি বৃহত্তর চাপের দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য, আপনাকে একটি অনুপাত তৈরি করতে হবে - কীভাবে ছোট চাপটি বড়টির সাথে সম্পর্কিত। এটি করার জন্য, আমরা ডিগ্রীতে উভয় আর্কের মাত্রা গণনা করি। ছোট চাপটি তার উপর অবস্থিত কোণের সমান। এর ডিগ্রী পরিমাপ 60°। বৃহত্তর চাপ বৃত্তের ডিগ্রী পরিমাপের মধ্যে পার্থক্যের সমান (অন্যান্য ডেটা নির্বিশেষে এটি 360° এর সমান) এবং ছোট চাপের সমান।
বড় চাপ 360° - 60°=300°।
300°: 60°=5 থেকে, বৃহত্তর চাপটি ছোটটির 5 গুণ।
বিগ আর্ক=505=250
উত্তর: 250
সুতরাং, অবশ্যই, অন্যান্য আছেঅনুরূপ সমস্যা সমাধানের পন্থা, কিন্তু সেগুলি সবই কোনও না কোনওভাবে কেন্দ্রীয় এবং খোদাই করা কোণ, ত্রিভুজ এবং বৃত্তগুলির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। সফলভাবে সেগুলি সমাধান করার জন্য, আপনাকে অঙ্কনটি যত্ন সহকারে অধ্যয়ন করতে হবে এবং সমস্যার ডেটার সাথে তুলনা করতে হবে, সেইসাথে আপনার তাত্ত্বিক জ্ঞানকে অনুশীলনে প্রয়োগ করতে সক্ষম হতে হবে৷
