একটি বৃত্তে খোদাই করা চতুর্ভুজ। চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তে খোদাই করা আছে

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

গণিতকে বীজগণিত এবং জ্যামিতিতে ভাগ করার সাথে সাথে শিক্ষাগত উপাদান আরও কঠিন হয়ে পড়ে। নতুন পরিসংখ্যান এবং তাদের বিশেষ ক্ষেত্রে প্রদর্শিত হয়. উপাদানটি ভালভাবে বোঝার জন্য, ধারণা, বস্তুর বৈশিষ্ট্য এবং সম্পর্কিত উপপাদ্যগুলি অধ্যয়ন করা প্রয়োজন৷

সাধারণ ধারণা

একটি চতুর্ভুজ মানে জ্যামিতিক চিত্র। এটি 4 পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। তদুপরি, তাদের মধ্যে 3টি একই সরলরেখায় অবস্থিত নয়। সিরিজে নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করে এমন বিভাগ রয়েছে৷

স্কুল জ্যামিতি কোর্সে অধ্যয়ন করা সমস্ত চতুর্ভুজ নিম্নলিখিত চিত্রে দেখানো হয়েছে। উপসংহার: উপস্থাপিত চিত্রের যেকোনো বস্তুর পূর্ববর্তী চিত্রের বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

একটি চতুর্ভুজ নিম্নলিখিত ধরণের হতে পারে:

• সমান্তরালগ্রাম। এর বিপরীত বাহুর সমান্তরালতা সংশ্লিষ্ট উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত হয়।
• ট্র্যাপিজ। সমান্তরাল ভিত্তি সহ একটি চতুর্ভুজ। অন্য দুটি দল নয়।
• আয়তক্ষেত্র। একটি চিত্র যার সমস্ত 4টি কোণ রয়েছে=90º।
• রম্বস। একটি চিত্র যার সব দিক সমান।
• বর্গক্ষেত্র। শেষ দুটি পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্য একত্রিত করে। এর সব বাহু সমান এবং সব কোণ ঠিক।

এই বিষয়ের মূল সংজ্ঞা হল একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি চতুর্ভুজ৷ এটা নিম্নলিখিত গঠিত. এটি একটি চিত্র যার চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা হয়েছে। এটি অবশ্যই সমস্ত শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে হবে। একটি বৃত্তে খোদাই করা চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি 360º পর্যন্ত যোগ করে।

প্রতিটি চতুর্ভুজ খোদাই করা যায় না। এটি এই কারণে যে 4 বাহুর লম্ব দ্বিখণ্ডকগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না। এটি একটি 4-গন পরিক্রমা করে একটি বৃত্তের কেন্দ্র খুঁজে পাওয়া অসম্ভব করে তুলবে৷

বিশেষ ক্ষেত্রে

প্রতিটি নিয়মের ব্যতিক্রম আছে। সুতরাং, এই বিষয়ে বিশেষ ক্ষেত্রেও রয়েছে:

• একটি সমান্তরালগ্রাম, যেমন, একটি বৃত্তে খোদাই করা যায় না। শুধুমাত্র তার বিশেষ ক্ষেত্রে. এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
• যদি একটি রম্বসের সমস্ত শীর্ষবিন্দু বৃত্তাকার রেখায় থাকে তবে এটি একটি বর্গক্ষেত্র।
• ট্র্যাপিজয়েডের সমস্ত শীর্ষ বৃত্তের সীমানায় রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, তারা একটি সমদ্বিবাহু চিত্রের কথা বলে।

একটি বৃত্তের মধ্যে একটি উৎকীর্ণ চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য

প্রদত্ত বিষয়ে সহজ এবং জটিল সমস্যাগুলি সমাধান করার আগে, আপনাকে আপনার জ্ঞান যাচাই করতে হবে। শিক্ষাগত উপাদান অধ্যয়ন ছাড়া, একটি একক উদাহরণ সমাধান করা অসম্ভব।

তত্ত্ব ১

একটি বৃত্তে খোদাই করা চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি হল 180º।

প্রমাণ

প্রদত্ত: চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তে খোদাই করা আছে। এর কেন্দ্র হল O বিন্দু। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে _<A + _<C=180º এবং _< B + _<D=180º।

উপস্থাপিত পরিসংখ্যান বিবেচনা করা প্রয়োজন।

1. _{<A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তে খোদাই করা আছে। এটি ½ BCD (অর্ধ চাপ) দিয়ে পরিমাপ করা হয়।}
2. _{<C একই বৃত্তে খোদাই করা আছে। এটি ½ BAD (অর্ধ-চাপ) দিয়ে পরিমাপ করা হয়।}
3. BAD এবং BCD একটি সম্পূর্ণ বৃত্ত গঠন করে, অর্থাৎ তাদের মাত্রা 360º।
4. _<A + _{<C উপস্থাপিত অর্ধ-চাপগুলির অর্ধেক যোগফলের সমান৷}
5. অতএব _<A + _{<C=360º / 2=180º।}

একইভাবে, _<B এবং _{<D এর প্রমাণ। যাইহোক, সমস্যার একটি দ্বিতীয় সমাধান আছে।}

1. এটা জানা যায় যে চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল 360º।
2. কারণ _<A + _<C=180º। সেই অনুযায়ী, _<B + _{<D=360º – 180º=180º।}

তত্ত্ব ২

(এটিকে প্রায়ই বিপরীত বলা হয়) যদি চতুর্ভুজ হয় _<A + _<C=180º এবং _{<B +} <_{D=180º (যদি তারা বিপরীত হয়), তাহলে এমন একটি চিত্রের চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা যেতে পারে।}

প্রমাণ

180º এর সমান চতুর্ভুজ ABCD-এর বিপরীত কোণের সমষ্টি দেওয়া হয়েছে। _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে একটি বৃত্তকে ABCD এর চারপাশে পরিধি করা যেতে পারে।}

জ্যামিতি কোর্স থেকে জানা যায় যে একটি চতুর্ভুজের ৩টি বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি A, B, C বিন্দু ব্যবহার করতে পারেন। বিন্দু D কোথায় অবস্থিত হবে? 3টি অনুমান আছে:

1. সে বৃত্তের ভিতরে শেষ হয়৷ এই ক্ষেত্রে, D লাইন স্পর্শ করে না।
2. বৃত্তের বাইরে। সে রূপরেখার বাইরে চলে গেছে।
3. এটি একটি বৃত্তে দেখা যাচ্ছে৷

এটা ধরে নেওয়া উচিত যে D বৃত্তের ভিতরে রয়েছে। নির্দেশিত শীর্ষবিন্দুর স্থানটি D´ দ্বারা দখল করা হয়েছে। দেখা যাচ্ছে চতুর্ভুজ ABCD'।

ফলাফল হল:_<B + _<D´=2d.

যদি আমরা E বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত বিদ্যমান বৃত্তের সাথে সংযোগস্থলে AD' চালিয়ে যাই এবং E এবং C সংযোগ করি, আমরা একটি খোদাইকৃত চতুর্ভুজ ABCE পাই। প্রথম উপপাদ্য থেকে সমতা অনুসরণ করে:

জ্যামিতির নিয়ম অনুসারে, রাশিটি বৈধ নয় কারণ _<D´ হল ত্রিভুজ CD´E এর বাইরের কোণ। সেই অনুযায়ী, এটি _{<E-এর বেশি হওয়া উচিত। এর থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে D অবশ্যই বৃত্তে বা এর বাইরে হতে হবে।}

একইভাবে, তৃতীয় অনুমানটি ভুল প্রমাণিত হতে পারে যখন D´' বর্ণিত চিত্রের সীমানা ছাড়িয়ে যায়।

দুটি অনুমান থেকে একমাত্র সঠিকটি অনুসরণ করে। ভার্টেক্স ডি বৃত্ত লাইনে অবস্থিত। অন্য কথায়, D E এর সাথে মিলে যায়। এটি অনুসরণ করে যে চতুর্ভুজের সমস্ত বিন্দু বর্ণিত লাইনে অবস্থিত।

এগুলো থেকেদুটি উপপাদ্য, ফলাফলগুলি অনুসরণ করে:

যেকোন আয়তক্ষেত্র একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে। আরেকটি পরিণতি আছে। যেকোন আয়তক্ষেত্রের চারপাশে একটি বৃত্ত পরিবৃত্ত করা যেতে পারে।

সমান পোঁদ সহ ট্র্যাপিজয়েড একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে। অন্য কথায়, এটি এইরকম শোনাচ্ছে: সমান প্রান্ত সহ একটি ট্র্যাপিজয়েডের চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা যেতে পারে।

বেশ কয়েকটি উদাহরণ

সমস্যা 1. চতুর্ভুজ ABCD একটি বৃত্তে খোদাই করা আছে। _<ABC=105º, _<CAD=35º। খুঁজে বের করতে হবে _{<ABD। উত্তর অবশ্যই ডিগ্রিতে লিখতে হবে।}

সিদ্ধান্ত। প্রথমে উত্তর খুঁজে পাওয়া কঠিন মনে হতে পারে।

1. আপনি এই বিষয় থেকে বৈশিষ্ট্য মনে রাখা প্রয়োজন. যথা: বিপরীত কোণের সমষ্টি=180º।

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

জ্যামিতিতে, নীতিতে লেগে থাকা ভালো: আপনি যা পারেন তা খুঁজে বের করুন। পরে কাজে লাগবে।

2. পরবর্তী ধাপ: ত্রিভুজ যোগ উপপাদ্য ব্যবহার করুন।

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD এবং _{<ACD খোদাই করা আছে। শর্ত অনুসারে, তারা একটি চাপের উপর নির্ভর করে। তদনুসারে, তাদের সমান মান রয়েছে:}

_<ABD=_<ACD=70º

উত্তর: _<ABD=70º।

সমস্যা 2. BCDE হল একটি বৃত্তে খোদাই করা চতুর্ভুজ। _<B=69º, _<C=84º। বৃত্তের কেন্দ্র হল বিন্দু E। খুঁজুন - _<E.

সিদ্ধান্ত।

1. _{<E উপপাদ্য 1 দ্বারা খুঁজে বের করতে হবে।}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

উত্তর: _{< E=96º।}

সমস্যা 3. একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি চতুর্ভুজ দেওয়া হয়েছে। তথ্য চিত্রে দেখানো হয়েছে. x, y, z অজানা মান খুঁজে বের করতে হবে।

সমাধান:

z=180º – 93º=87º (উপাদ্য 1 দ্বারা)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (উপাদ্য 1 দ্বারা)

উত্তর: z=87º, x=82º, y=98º।

সমস্যা 4. একটি বৃত্তে একটি চতুর্ভুজ খোদাই করা আছে। মানগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। x, y. খুঁজুন

সমাধান:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

উত্তর: x=100º, y=109º।

স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা

উদাহরণ 1. একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে৷ এর কেন্দ্র O বিন্দু। AC এবং BD ব্যাস। _<ACB=38º। খুঁজে বের করতে হবে _{<AOD। উত্তর অবশ্যই ডিগ্রিতে দিতে হবে।}

উদাহরণ 2. একটি চতুর্ভুজ ABCD এবং এর চারপাশে একটি বৃত্ত প্রদত্ত। _<ABC=110º, _<ABD=70º। _{<CAD খুঁজুন। আপনার উত্তরটি ডিগ্রিতে লিখুন।}

উদাহরণ 3. একটি বৃত্ত এবং একটি খোদাইকৃত চতুর্ভুজ ABCD দেওয়া হয়েছে। এর দুটি কোণ 82º এবং58º। আপনাকে অবশিষ্ট কোণগুলির মধ্যে বৃহত্তমটি খুঁজে বের করতে হবে এবং উত্তরটি ডিগ্রিতে লিখতে হবে।

উদাহরণ 4. চতুর্ভুজ ABCD দেওয়া হয়েছে। কোণ A, B, C অনুপাতে 1:2:3 দেওয়া হয়েছে। যদি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজটিকে একটি বৃত্তে খোদাই করা যায় তবে D কোণটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। উত্তর অবশ্যই ডিগ্রিতে দিতে হবে।

উদাহরণ 5. চতুর্ভুজ ABCD দেওয়া হয়েছে। এর বাহুগুলি পরিধিকৃত বৃত্তের চাপ তৈরি করে। ডিগ্রির মান যথাক্রমে AB, BC, CD এবং AD হল: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚। প্রদত্ত চতুর্ভুজ থেকে আপনাকে _{< খুঁজে বের করতে হবে এবং উত্তরটি ডিগ্রিতে লিখতে হবে।}