ফাংশন এবং তাদের গ্রাফের অধ্যয়ন একটি বিষয় যা হাই স্কুল পাঠ্যক্রমের কাঠামোর মধ্যে বিশেষ মনোযোগ দেওয়া হয়। গাণিতিক বিশ্লেষণের কিছু মৌলিক বিষয় - পার্থক্য - গণিতের পরীক্ষার প্রোফাইল স্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। কিছু স্কুলছাত্রের এই বিষয়ে সমস্যা আছে, কারণ তারা ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের গ্রাফগুলিকে বিভ্রান্ত করে এবং অ্যালগরিদমগুলিও ভুলে যায়। এই নিবন্ধটি প্রধান ধরনের কাজ এবং কিভাবে সমাধান করতে হবে তা কভার করবে৷
ফাংশনের মান কী?
একটি গণিত ফাংশন একটি বিশেষ সমীকরণ। এটি সংখ্যার মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে। ফাংশনটি আর্গুমেন্টের মানের উপর নির্ভর করে।
ফাংশনের মান প্রদত্ত সূত্র অনুযায়ী গণনা করা হয়। এটি করার জন্য, x এর জায়গায় এই সূত্রে বৈধ মানের পরিসরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেকোন যুক্তি প্রতিস্থাপন করুন এবং প্রয়োজনীয় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করুন। কি?
আপনি কিভাবে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান খুঁজে পেতে পারেন,একটি গ্রাফ ফাংশন ব্যবহার করছেন?
একটি আর্গুমেন্টের উপর ফাংশনের নির্ভরতার গ্রাফিক উপস্থাপনাকে ফাংশন গ্রাফ বলে। এটি একটি নির্দিষ্ট ইউনিট সেগমেন্ট সহ একটি সমতলে তৈরি করা হয়েছে, যেখানে একটি ভেরিয়েবল বা আর্গুমেন্টের মান অনুভূমিক অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়েছে এবং উল্লম্ব অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর সংশ্লিষ্ট ফাংশন মান।
যুক্তির মান যত বেশি হবে, গ্রাফে তত বেশি ডানদিকে থাকবে। এবং ফাংশনের মান যত বড় হবে, বিন্দু তত বেশি হবে।
এটা কি বলে? ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান হবে সেই বিন্দু যা গ্রাফের সর্বনিম্ন অবস্থানে থাকবে। একটি চার্ট বিভাগে এটি খুঁজে পেতে, আপনার প্রয়োজন:
1) এই সেগমেন্টের প্রান্তগুলি খুঁজুন এবং চিহ্নিত করুন৷
2) এই সেগমেন্টের কোন বিন্দুটি সবচেয়ে কম তা দৃশ্যত নির্ধারণ করুন।
3) উত্তরে, এর সংখ্যাসূচক মান লিখুন, যা y-অক্ষের উপর একটি বিন্দু প্রজেক্ট করে নির্ধারণ করা যেতে পারে।
ডেরিভেটিভ চার্টে এক্সট্রিম পয়েন্ট। কোথায় দেখতে হবে?
তবে, সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, কখনও কখনও একটি গ্রাফ একটি ফাংশনের নয়, তবে এর ডেরিভেটিভের দেওয়া হয়। দুর্ঘটনাক্রমে একটি বোকা ভুল এড়াতে, শর্তগুলি সাবধানে পড়া ভাল, কারণ এটি নির্ভর করে আপনাকে কোথায় চরম পয়েন্টগুলি সন্ধান করতে হবে৷
সুতরাং, ডেরিভেটিভ হল ফাংশনের বৃদ্ধির তাত্ক্ষণিক হার। জ্যামিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরিভেটিভটি স্পর্শকের ঢালের সাথে মিলে যায়, যা সরাসরি প্রদত্ত বিন্দুতে টানা হয়।
এটা জানা যায় যে চরম বিন্দুতে স্পর্শকটি অক্স অক্ষের সমান্তরাল।এর মানে হল এর ঢাল হল 0.
এ থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে এক্সট্রিম পয়েন্টে ডেরিভেটিভটি x-অক্ষের উপর থাকে বা অদৃশ্য হয়ে যায়। কিন্তু উপরন্তু, এই পয়েন্টগুলিতে, ফাংশন তার দিক পরিবর্তন করে। অর্থাৎ, বৃদ্ধির একটি সময় পরে, এটি কমতে শুরু করে এবং ডেরিভেটিভ, সেই অনুযায়ী, ইতিবাচক থেকে নেতিবাচক পরিবর্তিত হয়। অথবা উল্টো।
যদি ডেরিভেটিভটি ইতিবাচক থেকে নেতিবাচক হয় তবে এটি সর্বাধিক বিন্দু। যদি নেতিবাচক থেকে এটি ইতিবাচক হয় - সর্বনিম্ন পয়েন্ট৷
গুরুত্বপূর্ণ: আপনি যদি টাস্কে ন্যূনতম বা সর্বোচ্চ পয়েন্ট নির্দিষ্ট করতে চান, তাহলে উত্তরে আপনাকে অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর সংশ্লিষ্ট মান লিখতে হবে। কিন্তু যদি আপনাকে ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে হয়, তাহলে আপনাকে প্রথমে আর্গুমেন্টের সংশ্লিষ্ট মানটিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং এটি গণনা করতে হবে।
ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এক্সট্রিম পয়েন্ট কীভাবে খুঁজে পাবেন?
বিবেচিত উদাহরণগুলি প্রধানত পরীক্ষার 7 নম্বর টাস্ককে নির্দেশ করে, যার মধ্যে একটি ডেরিভেটিভ বা অ্যান্টিডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ নিয়ে কাজ করা জড়িত৷ কিন্তু কাজের 12 - একটি অংশে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান খুঁজে বের করার জন্য (কখনও কখনও সবচেয়ে বড়) - কোনও অঙ্কন ছাড়াই সম্পাদিত হয় এবং গাণিতিক বিশ্লেষণে মৌলিক দক্ষতার প্রয়োজন হয়৷
এটি সম্পাদন করতে, আপনাকে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এক্সট্রিম পয়েন্ট খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে। তাদের খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:
- একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
- এটি শূন্যে সেট করুন।
- সমীকরণের মূল খুঁজুন।
- প্রাপ্ত পয়েন্টগুলি এক্সট্রিম বা ইনফ্লেকশন পয়েন্ট কিনা তা পরীক্ষা করুন।
এটি করতে, একটি ডায়াগ্রাম আঁকুন এবং চালু করুনফলস্বরূপ ব্যবধানগুলি বিভাগগুলির অন্তর্গত সংখ্যাগুলিকে ডেরিভেটিভের মধ্যে প্রতিস্থাপন করে ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি নির্ধারণ করে। যদি, সমীকরণটি সমাধান করার সময়, আপনি দ্বিগুণ গুণের শিকড় পেয়ে থাকেন, এইগুলি হল ইনফ্লেকশন পয়েন্ট।
উপাদ্যগুলি প্রয়োগ করে, কোন পয়েন্টগুলি সর্বনিম্ন এবং কোনটি সর্বাধিক তা নির্ধারণ করুন৷
একটি ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান গণনা করুন
তবে, এই সমস্ত ক্রিয়া সম্পাদন করার পরে, আমরা x-অক্ষ বরাবর সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দুর মান খুঁজে পাব। কিন্তু কিভাবে একটি অংশে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান খুঁজে বের করা যায়?
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সংখ্যাটি খুঁজে পেতে কী করতে হবে? আপনাকে এই সূত্রে আর্গুমেন্টের মান প্রতিস্থাপন করতে হবে।
নূন্যতম এবং সর্বোচ্চ পয়েন্টগুলি সেগমেন্টের ফাংশনের ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মানের সাথে মিলে যায়৷ সুতরাং, ফাংশনের মান খুঁজে পেতে, আপনাকে প্রাপ্ত x মান ব্যবহার করে ফাংশনটি গণনা করতে হবে।
গুরুত্বপূর্ণ! যদি টাস্কের জন্য আপনাকে একটি সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ বিন্দু নির্দিষ্ট করতে হয়, তাহলে উত্তরে আপনাকে x-অক্ষ বরাবর সংশ্লিষ্ট মান লিখতে হবে। কিন্তু যদি আপনাকে ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে হয়, তাহলে আপনাকে প্রথমে আর্গুমেন্টের সংশ্লিষ্ট মানটিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং প্রয়োজনীয় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে হবে।
এই সেগমেন্টে কোন লো না থাকলে আমার কি করা উচিত?
কিন্তু এক্সট্রিম পয়েন্ট ছাড়াই একটি সেগমেন্টে ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান কীভাবে খুঁজে পাবেন?
এর মানে হল যে ফাংশনটি একঘেয়েভাবে কমে যায় বা বেড়ে যায়। তারপর আপনাকে ফাংশনে এই সেগমেন্টের চরম পয়েন্টের মান প্রতিস্থাপন করতে হবে। দুটি উপায় আছে।
1) গণনা করা হচ্ছেডেরিভেটিভ এবং যে ব্যবধানে এটি ধনাত্মক বা নেতিবাচক, একটি প্রদত্ত সেগমেন্টে ফাংশনটি কমছে বা বাড়ছে কিনা তা উপসংহারে।
তাদের সাথে মিল রেখে, ফাংশনে আর্গুমেন্টের একটি বড় বা কম মান প্রতিস্থাপন করুন।
2) সহজভাবে ফাংশনে উভয় পয়েন্ট প্রতিস্থাপন করুন এবং ফলস্বরূপ ফাংশনের মান তুলনা করুন।
যে টাস্কে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা ঐচ্ছিক
একটি নিয়ম হিসাবে, USE অ্যাসাইনমেন্টে, আপনাকে এখনও ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে। শুধুমাত্র কয়েকটি ব্যতিক্রম আছে।
1) প্যারাবোলা।
প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুটি সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়।
যদি একটি < 0 হয়, তাহলে প্যারাবোলার শাখাগুলি নীচের দিকে নির্দেশিত হয়। এবং এর সর্বোচ্চ বিন্দু হল সর্বোচ্চ।
যদি একটি > 0 হয়, তবে প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, শীর্ষবিন্দুটি সর্বনিম্ন বিন্দু।
প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু গণনা করার পরে, আপনাকে ফাংশনে এর মান প্রতিস্থাপন করা উচিত এবং ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মান গণনা করা উচিত।
2) ফাংশন y=tg x। অথবা y=ctg x.
এই ফাংশনগুলি একঘেয়েভাবে বাড়ছে। অতএব, আর্গুমেন্টের মান যত বেশি হবে, ফাংশনের মান তত বেশি হবে। এর পরে, আমরা উদাহরণ সহ একটি সেগমেন্টে একটি ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা দেখব৷
প্রধান ধরনের কাজ
টাস্ক: ফাংশনের সবচেয়ে বড় বা ছোট মান। চার্টে উদাহরণ।
ছবিতে আপনি ব্যবধানে f (x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের গ্রাফটি দেখতে পাচ্ছেন [-6; 6]। সেগমেন্টের কোন বিন্দুতে [-3; 3] f(x) সবচেয়ে ছোট মান নেয়?
সুতরাং, প্রারম্ভিকদের জন্য, আপনাকে নির্দিষ্ট সেগমেন্ট নির্বাচন করা উচিত। এটিতে, ফাংশনটি একবার একটি শূন্য মান নেয় এবং তার চিহ্ন পরিবর্তন করে - এটি চরম বিন্দু। যেহেতু নেতিবাচক থেকে ডেরিভেটিভ ইতিবাচক হয়ে যায়, এর মানে হল যে এটি ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু। এই পয়েন্টটি আর্গুমেন্ট 2 এর মানের সাথে মিলে যায়।
উত্তর: 2.
উদাহরণগুলি দেখা চালিয়ে যান। টাস্ক: সেগমেন্টে ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খুঁজুন।
ব্যবধানে y=(x - 8) ex-7 ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান খুঁজুন [6; ৮]।
1. একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিন।
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7)
2. প্রাপ্ত ডেরিভেটিভকে শূন্যে সমান করুন এবং সমীকরণটি সমাধান করুন।
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, অথবা ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, কোন শিকড় নেই
৩. ফাংশনে চরম বিন্দুর মান, সেইসাথে সমীকরণের প্রাপ্ত মূলগুলি প্রতিস্থাপন করুন।
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
উত্তর: -1.
সুতরাং, এই নিবন্ধে, মূল তত্ত্বটি বিবেচনা করা হয়েছিল কিভাবে একটি অংশে একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান খুঁজে বের করা যায়, যা বিশেষ গণিতের USE কাজগুলি সফলভাবে সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয়। এছাড়াও গাণিতিক উপাদানপরীক্ষার অংশ সি থেকে কাজগুলি সমাধান করার সময় বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয়, তবে স্পষ্টতই তারা জটিলতার একটি ভিন্ন স্তরের প্রতিনিধিত্ব করে এবং তাদের সমাধানের জন্য অ্যালগরিদমগুলি একটি উপাদানের কাঠামোর মধ্যে মাপসই করা কঠিন৷
