কীভাবে একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করবেন: বৈশিষ্ট্য, পদ্ধতি এবং উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

ফাংশন এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়ন আধুনিক গণিতের অন্যতম প্রধান অধ্যায়। যেকোন ফাংশনের প্রধান উপাদান হল গ্রাফগুলি শুধুমাত্র এর বৈশিষ্ট্যগুলিই নয়, এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের পরামিতিগুলিও চিত্রিত করে। আসুন এই চতুর বিষয় কটাক্ষপাত করা যাক. তাহলে একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট খুঁজে বের করার সর্বোত্তম উপায় কী?

ফাংশন: সংজ্ঞা

যেকোন ভেরিয়েবল যা অন্য মানের মানের উপর কোনোভাবে নির্ভর করে তাকে ফাংশন বলা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন f(x²) দ্বিঘাত এবং সমগ্র সেট x এর মান নির্ধারণ করে। ধরা যাক x=9, তাহলে আমাদের ফাংশনের মান হবে 9^2=81.

ফাংশনগুলি বিভিন্ন প্রকারে আসে: লজিক্যাল, ভেক্টর, লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক, সংখ্যাসূচক এবং অন্যান্য। Lacroix, Lagrange, Leibniz এবং Bernoulli এর মতো অসামান্য মন তাদের গবেষণায় নিযুক্ত ছিলেন। ফাংশন অধ্যয়নের আধুনিক উপায়ে তাদের লেখাগুলি একটি বাঁধা হিসাবে কাজ করে। ন্যূনতম পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করার আগে, ফাংশনের অর্থ এবং এর ডেরিভেটিভ বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ৷

ডেরিভেটিভ এবং এর ভূমিকা

সব ফাংশন আছেতাদের পরিবর্তনশীল মানের উপর নির্ভর করে, যার মানে তারা যে কোনো সময় তাদের মান পরিবর্তন করতে পারে। গ্রাফে, এটিকে একটি বক্ররেখা হিসেবে চিত্রিত করা হবে যা হয় y-অক্ষ বরাবর নেমে আসে বা উঠে যায় (এটি গ্রাফের উল্লম্ব বরাবর "y" সংখ্যার পুরো সেট)। এবং তাই সর্বাধিক এবং ন্যূনতম ফাংশনের একটি বিন্দুর সংজ্ঞা এই "দোলন" এর সাথে সংযুক্ত। এই সম্পর্ক কি তা ব্যাখ্যা করা যাক।

যেকোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ একটি গ্রাফে আঁকা হয় যাতে এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয় এবং ফাংশনটি কত দ্রুত পরিবর্তিত হয় তা গণনা করা হয় (অর্থাৎ "x" ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে এর মান পরিবর্তন করে)। যে মুহুর্তে ফাংশনটি বাড়বে, তার ডেরিভেটিভের গ্রাফটিও বাড়বে, তবে যে কোনও সেকেন্ডে ফাংশনটি হ্রাস পেতে শুরু করতে পারে এবং তারপরে ডেরিভেটিভের গ্রাফটি হ্রাস পাবে। যে সকল বিন্দুতে ডেরিভেটিভ বিয়োগ থেকে প্লাসে যায় তাদেরকে সর্বনিম্ন বিন্দু বলে। ন্যূনতম পয়েন্টগুলি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা জানার জন্য, আপনাকে ডেরিভেটিভের ধারণাটি আরও ভালভাবে বুঝতে হবে।

কীভাবে ডেরিভেটিভ গণনা করবেন?

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করা এবং গণনা করা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস থেকে বিভিন্ন ধারণাকে বোঝায়। সাধারণভাবে, ডেরিভেটিভের সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে: এটি সেই মান যা ফাংশনের পরিবর্তনের হার দেখায়।

অনেক শিক্ষার্থীর কাছে এটি নির্ণয় করার গাণিতিক উপায় জটিল মনে হলেও বাস্তবে সবকিছুই অনেক সহজ। আপনি শুধু অনুসরণ করতে হবেযেকোনো ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য আদর্শ পরিকল্পনা। নিম্নে বর্ণনা করা হয়েছে যে আপনি কীভাবে পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ না করে এবং ডেরিভেটিভের সারণী মুখস্ত না করে একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু খুঁজে পেতে পারেন৷

1. আপনি একটি গ্রাফ ব্যবহার করে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনাকে ফাংশনটি নিজেই চিত্রিত করতে হবে, তারপরে এটিতে একটি বিন্দু নিন (চিত্রের A বিন্দু) অ্যাবসিসা অক্ষের দিকে উল্লম্বভাবে একটি রেখা আঁকুন (বিন্দু x0_{), এবং A বিন্দুতে গ্রাফিক ফাংশন করার জন্য একটি স্পর্শক আঁকুন। অ্যাবসিসা অক্ষ এবং স্পর্শক একটি কোণ গঠন করে। ফাংশনটি কত দ্রুত বৃদ্ধি পায় তার মান গণনা করতে, আপনাকে এই কোণের স্পর্শক গণনা করতে হবে a.}
2. এটা দেখা যাচ্ছে যে স্পর্শক এবং x-অক্ষের দিকের মধ্যবর্তী কোণের স্পর্শক হল A বিন্দু সহ একটি ছোট এলাকায় ফাংশনের ডেরিভেটিভ। এই পদ্ধতিটি ডেরিভেটিভ নির্ধারণের একটি জ্যামিতিক উপায় হিসাবে বিবেচিত হয়।.

একটি ফাংশন গবেষণার পদ্ধতি

গণিতের স্কুল পাঠ্যক্রমে, দুটি উপায়ে একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু বের করা সম্ভব। আমরা ইতিমধ্যে গ্রাফ ব্যবহার করে প্রথম পদ্ধতি বিশ্লেষণ করেছি, কিন্তু কীভাবে ডেরিভেটিভের সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করবেন? এটি করার জন্য, আপনাকে বেশ কয়েকটি সূত্র শিখতে হবে যা ডেরিভেটিভের বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে এবং "x" এর মতো ভেরিয়েবলকে সংখ্যায় রূপান্তর করতে সহায়তা করে। নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি সর্বজনীন, তাই এটি প্রায় সব ধরনের ফাংশনে (জ্যামিতিক এবং লগারিদমিক উভয় ক্ষেত্রেই) প্রয়োগ করা যেতে পারে।

1. এটি ফাংশনটিকে ডেরিভেটিভ ফাংশনের সাথে সমান করা প্রয়োজন, এবং তারপর নিয়ম ব্যবহার করে অভিব্যক্তিটিকে সরল করুনপার্থক্য।
2. শূন্য দিয়ে ভাগ করুন)।
3. তারপর, আপনার ফাংশনের মূল ফর্মটিকে একটি সাধারণ সমীকরণে রূপান্তর করা উচিত, সমগ্র অভিব্যক্তিটিকে শূন্যে সমান করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি ফাংশনটি এরকম দেখায়: f(x)=2x³+38x, তাহলে পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে, এর ডেরিভেটিভ f'(x)=3x এর সমান ^{2 +1। তারপরে আমরা এই রাশিটিকে নিম্নলিখিত ফর্মের একটি সমীকরণে রূপান্তরিত করি: 3x}2^+1=0.
4. সমীকরণটি সমাধান করার পরে এবং "x" বিন্দুগুলি খুঁজে পাওয়ার পরে, আপনার সেগুলিকে x-অক্ষে আঁকতে হবে এবং চিহ্নিত বিন্দুগুলির মধ্যে এই অঞ্চলগুলির ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক না ঋণাত্মক কিনা তা নির্ধারণ করতে হবে। নামকরণের পরে, এটি স্পষ্ট হয়ে যাবে যে কোন সময়ে ফাংশনটি কমতে শুরু করে, অর্থাৎ, এটি বিয়োগ থেকে বিপরীতে চিহ্ন পরিবর্তন করে। এইভাবে আপনি সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ উভয় পয়েন্ট খুঁজে পেতে পারেন।

পার্থক্যের নিয়ম

একটি ফাংশন শেখার সবচেয়ে মৌলিক অংশ এবং এর ডেরিভেটিভ হল পার্থক্যের নিয়মগুলি জানা। শুধুমাত্র তাদের সাহায্যে এটি কষ্টকর অভিব্যক্তি এবং বড় জটিল ফাংশন রূপান্তর করা সম্ভব। আসুন তাদের সাথে পরিচিত হই, তাদের মধ্যে অনেকগুলিই রয়েছে, কিন্তু শক্তি এবং লগারিদমিক উভয় ফাংশনের নিয়মিত বৈশিষ্ট্যের কারণে এগুলি খুব সহজ।

1. যেকোন ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ হল শূন্য (f(x)=0)। অর্থাৎ, ডেরিভেটিভ f(x)=x⁵+ x - 160 নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করবে: f' (x)=5x^4+1.
2. দুটি পদের যোগফলের ডেরিভেটিভ: (f+w)'=f'w + fw'।
3. একটি লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ: (লগ_{ad)'=d/ln ad। এই সূত্রটি সব ধরনের লগারিদমের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।}
4. ডিগ্রীর উদ্ভূত: (x)'=nx^n-1। উদাহরণস্বরূপ, (9x^{2)'=92x=18x।}
5. একটি সাইনোসয়েডাল ফাংশনের ডেরিভেটিভ: (sin a)'=cos a. a কোণের পাপ যদি 0.5 হয়, তাহলে এর ডেরিভেটিভ √3/2।

এক্সট্রিম পয়েন্ট

আমরা ইতিমধ্যেই ন্যূনতম পয়েন্টগুলি কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা বের করেছি, তবে একটি ফাংশনের সর্বাধিক পয়েন্টের ধারণা রয়েছে। যদি ন্যূনতম সেই বিন্দুগুলিকে বোঝায় যেখানে ফাংশনটি বিয়োগ থেকে প্লাসে যায়, তাহলে সর্বাধিক পয়েন্টগুলি হল x-অক্ষের সেই বিন্দু যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্লাস থেকে বিপরীত - বিয়োগে পরিবর্তিত হয়।

আপনি উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সর্বাধিক পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে পারেন, শুধুমাত্র এটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত যে তারা সেই অঞ্চলগুলিকে নির্দেশ করে যেখানে ফাংশনটি হ্রাস পেতে শুরু করে, অর্থাৎ, ডেরিভেটিভটি শূন্যের চেয়ে কম হবে৷

গণিতে, উভয় ধারণাকে সাধারণীকরণ করার প্রথা রয়েছে, সেগুলিকে "চরম পয়েন্ট" বাক্যাংশ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। যখন টাস্কটি এই পয়েন্টগুলি নির্ধারণ করতে বলে, এর মানে হল এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করা এবং সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন৷