9ম শ্রেণীতে বিদ্যালয়ে বীজগণিতের সাধারণ কোর্সে "পাটিগণিতের অগ্রগতি" বিষয়টি অধ্যয়ন করা হয়। সংখ্যা সিরিজের গণিতের আরও গভীরভাবে অধ্যয়নের জন্য এই বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ। এই নিবন্ধে, আমরা পাটিগণিতের অগ্রগতি, এর পার্থক্য, সেইসাথে স্কুলছাত্রদের মুখোমুখি হতে পারে এমন সাধারণ কাজগুলির সাথে পরিচিত হব।
বীজগণিতের অগ্রগতির ধারণা
সংখ্যাগত অগ্রগতি হল সংখ্যার একটি ক্রম যাতে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান আগের থেকে পাওয়া যায়, যদি কিছু গাণিতিক নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। দুটি সহজ ধরনের অগ্রগতি রয়েছে: জ্যামিতিক এবং পাটিগণিত, যাকে বীজগণিতও বলা হয়। আসুন আরও বিশদে এটি নিয়ে আলোচনা করা যাক।
আসুন কিছু মূলদ সংখ্যা কল্পনা করা যাক, এটিকে a1 চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করুন, যেখানে সূচকটি বিবেচনাধীন সিরিজে তার ক্রমিক সংখ্যা নির্দেশ করে। আসুন একটি 1 এর সাথে আরও কিছু সংখ্যা যোগ করি, আসুন এটি বোঝাই d. তারপর দ্বিতীয়একটি সিরিজের একটি উপাদান নিম্নরূপ প্রতিফলিত হতে পারে: a2=a1+d। এখন আবার d যোগ করুন, আমরা পাই: a3=a2+d। এই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপটি চালিয়ে, আপনি সংখ্যার একটি সম্পূর্ণ সিরিজ পেতে পারেন, যেটিকে বলা হবে গাণিতিক অগ্রগতি।
যেমন উপরের থেকে বোঝা যায়, এই ক্রমটির n-তম উপাদান খুঁজে পেতে, আপনাকে অবশ্যই সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে: a =a1+ (n -1)d. প্রকৃতপক্ষে, এক্সপ্রেশনে n=1 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই a1=a1, যদি n=2, তাহলে সূত্রটি বোঝায়: a2=a1 + 1d, ইত্যাদি।
উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্য 5 এবং একটি 1=1 হয়, তাহলে এর অর্থ হল প্রশ্নে থাকা প্রকারের সংখ্যা সিরিজটি এরকম দেখাচ্ছে: 1, 6, 11, 16, 21, … আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এর প্রতিটি পদ আগেরটির থেকে 5 দ্বারা বড়।
পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্যের সূত্র
সংখ্যার বিবেচিত সিরিজের উপরের সংজ্ঞা থেকে, এটি অনুসরণ করে যে এটি নির্ধারণ করতে, আপনাকে দুটি সংখ্যা জানতে হবে: a1 এবং d। পরেরটিকে এই অগ্রগতির পার্থক্য বলা হয়। এটি অনন্যভাবে সমগ্র সিরিজের আচরণ নির্ধারণ করে। প্রকৃতপক্ষে, যদি d ধনাত্মক হয়, তাহলে সংখ্যা সিরিজটি ক্রমাগত বৃদ্ধি পাবে, বিপরীতে, ঋণাত্মক d-এর ক্ষেত্রে, সিরিজের সংখ্যাগুলি কেবলমাত্র মডুলো বাড়বে, যখন ক্রমবর্ধমান সংখ্যার সাথে তাদের পরম মান হ্রাস পাবে।
পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্য কী? এই মান গণনা করতে ব্যবহৃত দুটি প্রধান সূত্র বিবেচনা করুন:
- d=an+1-a , এই সূত্রটি সরাসরি প্রশ্নে থাকা সংখ্যা সিরিজের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।
- d=(-a1+a)/(n-1), প্রদত্ত সূত্র থেকে d প্রকাশ করে এই রাশিটি পাওয়া যায় নিবন্ধের পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে। মনে রাখবেন এই রাশিটি অনির্দিষ্ট (0/0) হয়ে যায় যদি n=1 হয়। এটি এই কারণে যে সিরিজের পার্থক্য নির্ণয় করার জন্য কমপক্ষে 2টি উপাদান জানতে হবে৷
এই দুটি মৌলিক সূত্র অগ্রগতি পার্থক্য খুঁজে বের করার যেকোনো সমস্যা সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, আরেকটি সূত্র আছে যেটা সম্পর্কেও আপনাকে জানতে হবে।
প্রথম উপাদানের সমষ্টি
ঐতিহাসিক প্রমাণ অনুসারে বীজগাণিতিক অগ্রগতির যেকোন সদস্যের যোগফল নির্ণয় করার জন্য যে সূত্রটি ব্যবহার করা যেতে পারে, তা 18 শতকের গণিতের "রাজপুত্র" কার্ল গাউস প্রথম পেয়েছিলেন। একজন জার্মান বিজ্ঞানী, গ্রামের স্কুলের প্রাথমিক গ্রেডে পড়ার সময়, লক্ষ্য করেছিলেন যে 1 থেকে 100 পর্যন্ত সিরিজে প্রাকৃতিক সংখ্যা যোগ করার জন্য, আপনাকে প্রথমে প্রথম উপাদান এবং শেষের যোগফল দিতে হবে (ফলে মান সমান হবে উপান্তর এবং দ্বিতীয়, উপান্তর এবং তৃতীয় উপাদানগুলির যোগফল এবং তারপরে এই সংখ্যাটিকে এই রাশিগুলির সংখ্যা দ্বারা গুণ করা উচিত, অর্থাৎ 50 দ্বারা।
যে সূত্রটি একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে উল্লিখিত ফলাফলকে প্রতিফলিত করে তা একটি নির্বিচারে ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। এটি দেখতে এরকম হবে: S =n/2(a +a1)। উল্লেখ্য যে নির্দিষ্ট মান খুঁজে পেতে, পার্থক্য ডি জ্ঞান প্রয়োজন নেই,যদি অগ্রগতির দুটি পদ পরিচিত হয় (a এবং a1)।
উদাহরণ 1। A1 এবং an
সিরিজের দুটি পদ জেনে পার্থক্য নির্ণয় করুন
আসুন নিবন্ধে উপরে উল্লিখিত সূত্রগুলি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা দেখাই। একটি সহজ উদাহরণ দেওয়া যাক: পাটিগণিতের অগ্রগতির পার্থক্য অজানা, এটি নির্ধারণ করা প্রয়োজন যে এটি a13=-5, 6 এবং a1 এর সমান হবে। =-12, 1.
যেহেতু আমরা সাংখ্যিক অনুক্রমের দুটি উপাদানের মান জানি এবং তাদের মধ্যে একটি হল প্রথম সংখ্যা, তাই পার্থক্য নির্ধারণ করতে আমরা সূত্র নং 2 ব্যবহার করতে পারি। আমাদের আছে: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167। অভিব্যক্তিতে, আমরা n=13 মান ব্যবহার করেছি, যেহেতু এই ক্রমিক নম্বর সহ সদস্য পরিচিত।
ফলিত পার্থক্য ইঙ্গিত করে যে অগ্রগতি বাড়ছে, সমস্যাটির শর্তে দেওয়া উপাদানগুলির একটি নেতিবাচক মান থাকা সত্ত্বেও। দেখা যায় যে a13>a1, যদিও |a13|<|a 1 |।
উদাহরণ 2। অগ্রগতির ইতিবাচক সদস্য উদাহরণ 1
আসুন একটি নতুন সমস্যা সমাধানের জন্য আগের উদাহরণে প্রাপ্ত ফলাফলটি ব্যবহার করা যাক। এটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: কোন ক্রম সংখ্যা থেকে উদাহরণ 1 এ অগ্রগতির উপাদানগুলি ইতিবাচক মান নিতে শুরু করে?
যেমন দেখানো হয়েছে, অগ্রগতি যেখানে a1=-12, 1 এবং d=0. 54167 বাড়ছে, তাই কিছু সংখ্যা থেকে সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র ইতিবাচক হতে শুরু করবে মান এই সংখ্যা n নির্ধারণ করতে, একজনকে একটি সাধারণ অসমতা সমাধান করতে হবে, যা হলগাণিতিকভাবে নিম্নরূপ লিখিত: a >0 বা, উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা অসমতা পুনরায় লিখি: a1 + (n-1)d>0। এটি অজানা n খুঁজে বের করা প্রয়োজন, আসুন এটি প্রকাশ করা যাক: n>-1a1/d + 1। এখন এটি পার্থক্যের পরিচিত মান এবং প্রথম সদস্যকে প্রতিস্থাপন করতে রয়ে গেছে অনুক্রমের আমরা পাই: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 বা n>23, 338। যেহেতু n শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার মান নিতে পারে, তাই এটি ফলাফলের অসমতা থেকে অনুসরণ করে যে সিরিজের যে কোনো সদস্য 23-এর বেশি নম্বর থাকলে ইতিবাচক হবে৷
এই গাণিতিক অগ্রগতির 23তম এবং 24তম উপাদানগুলি গণনা করতে উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে আপনার উত্তরটি পরীক্ষা করুন। আমাদের আছে: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (ঋণাত্মক সংখ্যা); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (ধনাত্মক মান)। সুতরাং, প্রাপ্ত ফলাফলটি সঠিক: n=24 থেকে শুরু করে, সংখ্যা সিরিজের সমস্ত সদস্য শূন্যের চেয়ে বেশি হবে।
উদাহরণ 3। কয়টি লগ ফিট হবে?
আসুন একটি কৌতূহলী সমস্যা দেওয়া যাক: লগিং করার সময়, নীচের চিত্রে দেখানো হিসাবে করাত লগগুলি একে অপরের উপরে স্ট্যাক করার সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল। মোট 10টি সারি ফিট হবে জেনে এইভাবে কতগুলি লগ স্ট্যাক করা যেতে পারে?
এইভাবে লগ স্ট্যাক করার ক্ষেত্রে, আপনি একটি আকর্ষণীয় জিনিস লক্ষ্য করতে পারেন: প্রতিটি পরবর্তী সারিতে আগেরটির চেয়ে একটি কম লগ থাকবে, অর্থাৎ, একটি বীজগণিতীয় অগ্রগতি রয়েছে, যার পার্থক্য হল d=1। ধরে নিচ্ছি যে প্রতিটি সারিতে লগের সংখ্যা এই অগ্রগতির সদস্য,এবং এটিও দেওয়া হয়েছে যে a1=1 (শুধুমাত্র একটি লগ একেবারে উপরে মাপসই হবে), আমরা সংখ্যাটি খুঁজে পাই a10। আমাদের আছে: a10=1 + 1(10-1)=10। অর্থাৎ, 10 তম সারিতে, যা মাটিতে রয়েছে, সেখানে 10টি লগ থাকবে।
এই "পিরামিডাল" নির্মাণের মোট পরিমাণ গাউস সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যেতে পারে। আমরা পাই: S10=10/2(10+1)=55 লগ।
