প্লেন সমীকরণ। দুটি প্লেনের মধ্যে কোণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-31 15:43

একটি সমতল, একটি বিন্দু এবং একটি সরল রেখা সহ, একটি মৌলিক জ্যামিতিক উপাদান। এর ব্যবহারে, স্থানিক জ্যামিতির অনেকগুলি পরিসংখ্যান নির্মিত হয়। এই নিবন্ধে, আমরা দুটি সমতলের মধ্যে একটি কোণ কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় সেই প্রশ্নটি আরও বিশদে বিবেচনা করব৷

ধারণা

> চলুন পরিভাষা বুঝতে পারি। একটি সমতল হল মহাকাশে বিন্দুর একটি অন্তহীন সংগ্রহ, যা সংযুক্ত করে আমরা ভেক্টর পাই। পরবর্তীটি কোনো একটি ভেক্টরের সাথে লম্ব হবে। এটাকে সাধারণত প্লেনের স্বাভাবিক বলা হয়।

উপরের চিত্রটি একটি সমতল এবং এটিতে দুটি সাধারণ ভেক্টর দেখায়। এটি দেখা যায় যে উভয় ভেক্টর একই সরলরেখায় অবস্থান করে। তাদের মধ্যে কোণ হল 180o.

সমীকরণ

বিবেচিত জ্যামিতিক উপাদানটির গাণিতিক সমীকরণ জানা থাকলে দুটি সমতলের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করা যেতে পারে। এই ধরনের সমীকরণ বিভিন্ন ধরনের আছে,যাদের নাম নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

• সাধারণ প্রকার;
• ভেক্টর;
• সেগমেন্টে।

এই তিনটি প্রকার বিভিন্ন ধরণের সমস্যা সমাধানের জন্য সবচেয়ে সুবিধাজনক, তাই এগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়৷

একটি সাধারণ টাইপ সমীকরণ এইরকম দেখায়:

Ax + By + Cz + D=0.

এখানে x, y, z প্রদত্ত সমতলের অন্তর্গত একটি নির্বিচার বিন্দুর স্থানাঙ্ক। পরামিতি A, B, C এবং D হল সংখ্যা। এই স্বরলিপির সুবিধার মধ্যে রয়েছে যে সংখ্যাগুলি A, B, C সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক।

প্লেনটির ভেক্টর ফর্মটি নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a _২, b₂, c_2).

এখানে (a₂, b₂, c₂) এবং (a ₁, b₁, c₁) - দুটি স্থানাঙ্ক ভেক্টরের পরামিতি যা বিবেচিত সমতলের অন্তর্গত। বিন্দু (x₀, y₀, z_{0) এই সমতলে অবস্থিত। প্যারামিটার α এবং β স্বাধীন এবং নির্বিচারে মান নিতে পারে।}

অবশেষে, অংশে সমতলের সমীকরণ নিম্নলিখিত গাণিতিক আকারে উপস্থাপিত হয়:

x/p + y/q + z/l=1.

এখানে p, q, l নির্দিষ্ট সংখ্যা (ঋণাত্মক সংখ্যা সহ)। এই ধরনের সমীকরণ কার্যকর হয় যখন একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সমতলকে চিত্রিত করার প্রয়োজন হয়, যেহেতু p, q, l সংখ্যাগুলি x, y এবং z অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি দেখায়প্লেন।

উল্লেখ্য যে প্রতিটি ধরণের সমীকরণকে সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে অন্য যে কোনওটিতে রূপান্তর করা যেতে পারে।

দুটি সমতলের মধ্যে কোণের সূত্র

এখন নিম্নলিখিত সূক্ষ্মতা বিবেচনা করুন। ত্রিমাত্রিক মহাকাশে, দুটি প্লেন শুধুমাত্র দুটি উপায়ে অবস্থিত হতে পারে। হয় ছেদ বা সমান্তরাল হতে. দুটি সমতলের মধ্যে, কোণটি হল যা তাদের গাইড ভেক্টরের (স্বাভাবিক) মধ্যে অবস্থিত। ছেদ করে, 2টি ভেক্টর 2টি কোণ গঠন করে (সাধারণ ক্ষেত্রে তীব্র এবং স্থূল)। প্লেনগুলির মধ্যে কোণটি তীব্র বলে মনে করা হয়। সমীকরণটি বিবেচনা করুন।

দুটি সমতলের মধ্যে কোণের সূত্র হল:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(n₁ ¯||n_2¯|))।

এটা সহজেই অনুমান করা যায় যে এই রাশিটি স্বাভাবিক ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সরাসরি ফলাফল n₁¯ এবং n₂ ¯ বিবেচিত প্লেনের জন্য। লবটিতে ডট পণ্যের মডুলাস নির্দেশ করে যে কোণ θ শুধুমাত্র 0^o o থেকে 90^{o পর্যন্ত মান গ্রহণ করবে। হর-এ সাধারণ ভেক্টরের মডিউলির গুণফল মানে তাদের দৈর্ঘ্যের গুণফল।}

দ্রষ্টব্য, যদি (n₁¯n_{2¯)=0, তাহলে প্লেনগুলি একটি সমকোণে ছেদ করে।}

উদাহরণ সমস্যা

দুটি সমতলের মধ্যবর্তী কোণ কাকে বলে তা বের করার পর, আমরা নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করব। উদাহরণ হিসেবে। সুতরাং, এই ধরনের প্লেনের মধ্যে কোণ গণনা করা প্রয়োজন:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3)।

সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনাকে প্লেনের দিক ভেক্টর জানতে হবে। প্রথম সমতলের জন্য, সাধারণ ভেক্টর হল: n₁¯=(2, -3, 0)। দ্বিতীয় সমতল স্বাভাবিক ভেক্টর খুঁজে পেতে, একজনকে α এবং β পরামিতিগুলির পরে ভেক্টরগুলিকে গুণ করা উচিত। ফলাফল হল একটি ভেক্টর: n_{2¯=(5, -3, 2)।}

কোণ θ নির্ণয় করতে, আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে সূত্রটি ব্যবহার করি। আমরা পাই:

θ=আরকোস (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0.5455 rad.

রেডিয়ানে গণনা করা কোণটি 31.26^o এর সাথে মিলে যায়। এইভাবে, সমস্যার অবস্থা থেকে প্লেনগুলি 31, 26^{o. একটি কোণে ছেদ করে।}