মহাকাশে প্লেন। মহাকাশে প্লেনের অবস্থান

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

একটি সমতল একটি জ্যামিতিক বস্তু যার বৈশিষ্ট্যগুলি বিন্দু এবং রেখার অনুমান নির্মাণের পাশাপাশি ত্রিমাত্রিক চিত্রের উপাদানগুলির মধ্যে দূরত্ব এবং দ্বিমুখী কোণ গণনা করার সময় ব্যবহৃত হয়। আসুন এই নিবন্ধে বিবেচনা করি যে মহাকাশে প্লেনের অবস্থান অধ্যয়ন করতে কী সমীকরণ ব্যবহার করা যেতে পারে।

প্লেন সংজ্ঞা

প্রত্যেকে স্বজ্ঞাতভাবে কল্পনা করে যে কোন বস্তু নিয়ে আলোচনা করা হবে। জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি সমতল বিন্দুর সমষ্টি, যেকোন ভেক্টর যার মধ্যে একটি ভেক্টরের সাথে লম্ব হওয়া আবশ্যক। উদাহরণস্বরূপ, যদি মহাকাশে m বিভিন্ন বিন্দু থাকে, তাহলে m(m-1) / 2টি ভিন্ন ভেক্টর তৈরি করা যেতে পারে, বিন্দুগুলিকে জোড়ায় জোড়ায় সংযুক্ত করে। যদি সমস্ত ভেক্টর কোনো একটি দিকে লম্ব হয়, তবে এটি একটি যথেষ্ট শর্ত যে সমস্ত বিন্দু m একই সমতলের অন্তর্গত।

সাধারণ সমীকরণ

স্থানিক জ্যামিতিতে, একটি সমতলকে সমীকরণ ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয় যা সাধারণত x, y এবং z অক্ষের সাথে সম্পর্কিত তিনটি অজানা স্থানাঙ্ক ধারণ করে। প্রতিমহাকাশে সমতল স্থানাঙ্কের সাধারণ সমীকরণ পান, ধরুন একটি ভেক্টর আছে n¯(A; B; C) এবং একটি বিন্দু M(x0_{; y}0 _{; z}0_{)। এই দুটি বস্তু ব্যবহার করে, সমতলকে স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।}

আসলে, ধরুন কিছু দ্বিতীয় বিন্দু P(x; y; z) আছে যার স্থানাঙ্কগুলি অজানা। উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞা অনুসারে, ভেক্টর MP¯ অবশ্যই n¯ এর লম্ব হতে হবে, অর্থাৎ তাদের জন্য স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান। তারপর আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি লিখতে পারি:

(n¯MP¯)=0 বা

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

বন্ধনী খোলা এবং একটি নতুন সহগ D প্রবর্তন করে, আমরা অভিব্যক্তি পাই:

Ax + By + Cz + D=0 যেখানে D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

এই অভিব্যক্তিটিকে সমতলের সাধারণ সমীকরণ বলা হয়। এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে x, y এবং z এর সামনের সহগগুলি সমতলের লম্ব ভেক্টর n¯(A; B; C) এর স্থানাঙ্ক গঠন করে। এটি স্বাভাবিকের সাথে মিলে যায় এবং প্লেনের জন্য একটি গাইড। সাধারণ সমীকরণ নির্ধারণ করতে, এই ভেক্টরটি কোথায় নির্দেশিত তা বিবেচ্য নয়। অর্থাৎ, n¯ এবং -n¯ ভেক্টরে নির্মিত প্লেনগুলো একই হবে।

উপরের চিত্রটি একটি সমতল দেখায়, এটিতে একটি ভেক্টর স্বাভাবিক এবং সমতলে লম্ব একটি রেখা।

অক্ষ এবং সংশ্লিষ্ট সমীকরণের উপর সমতল দ্বারা কাটা অংশগুলি

সাধারণ সমীকরণটি নির্ণয় করতে সহজ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করার অনুমতি দেয়কোন বিন্দুতে সমতল স্থানাঙ্ক অক্ষকে ছেদ করবে। প্লেনের মহাকাশে অবস্থান সম্পর্কে ধারণা পাওয়ার জন্য, সেইসাথে এটি অঙ্কনে চিত্রিত করার সময় এই তথ্যটি জানা গুরুত্বপূর্ণ৷

নামিত ছেদ বিন্দু নির্ধারণ করতে, সেগমেন্টে একটি সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। এটিকে বলা হয় কারণ এটি বিন্দু (0; 0; 0) থেকে গণনা করার সময় স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে সমতল দ্বারা কাটা অংশগুলির দৈর্ঘ্যের মানগুলি স্পষ্টভাবে ধারণ করে। আসুন এই সমীকরণটি জেনে নেওয়া যাক।

নিম্নলিখিতভাবে সমতলের সাধারণ অভিব্যক্তি লিখুন:

Ax + By + Cz=-D

সমতা লঙ্ঘন না করে বাম এবং ডান অংশগুলিকে -D দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে। আমাদের আছে:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 বা

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

প্রতিটি পদের হরকে একটি নতুন প্রতীক দিয়ে ডিজাইন করুন, আমরা পাই:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C তারপর

x/p + y/q + z/r=1

এটি সেগমেন্টে উপরে উল্লিখিত সমীকরণ। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি পদের হরটির মান সমতলের সংশ্লিষ্ট অক্ষের সাথে ছেদটির স্থানাঙ্ক নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, এটি বিন্দুতে y-অক্ষকে ছেদ করে (0; q; 0)। আপনি যদি সমীকরণে শূন্য x এবং z স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করেন তবে এটি বোঝা সহজ।

মনে রাখবেন যে অংশগুলির সমীকরণে যদি কোনও পরিবর্তনশীল না থাকে তবে এর অর্থ হল সমতলটি সংশ্লিষ্ট অক্ষকে ছেদ করে না। উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি দেওয়া হয়েছে:

x/p + y/q=1

এর অর্থ হল প্লেনটি যথাক্রমে x এবং y অক্ষের p এবং q অংশগুলিকে কেটে ফেলবে, তবে এটি z অক্ষের সমান্তরাল হবে।

যখন বিমানের আচরণ সম্পর্কে উপসংহারতার সমীকরণে কিছু ভেরিয়েবলের অনুপস্থিতি একটি সাধারণ টাইপ এক্সপ্রেশনের জন্যও সত্য, যেমনটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

ভেক্টর প্যারামেট্রিক সমীকরণ

একটি তৃতীয় ধরণের সমীকরণ রয়েছে যা মহাকাশে একটি বিমানকে বর্ণনা করতে দেয়। এটিকে প্যারামেট্রিক ভেক্টর বলা হয় কারণ এটি সমতলে থাকা দুটি ভেক্টর এবং দুটি প্যারামিটার দ্বারা দেওয়া হয় যা নির্বিচারে স্বাধীন মান নিতে পারে। আসুন দেখাই কিভাবে এই সমীকরণটি পাওয়া যায়।

ধরুন কিছু পরিচিত ভেক্টর আছে u ¯(a₁; b₁; c₁) এবং v¯(a₂; b₂; c₂)। যদি এগুলি সমান্তরাল না হয়, তাহলে একটি পরিচিত বিন্দু M(x₀; y_{0 এ এই ভেক্টরগুলির একটির শুরুতে স্থির করে একটি নির্দিষ্ট সমতল সেট করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।}; z_{0)। যদি একটি নির্বিচারে ভেক্টর MP¯ কে u¯ এবং v¯ রৈখিক ভেক্টরের সংমিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যায়, তাহলে এর অর্থ হল P(x; y; z) বিন্দুটি u¯, v¯ এর মতো একই সমতলের অন্তর্গত। এইভাবে, আমরা সমতা লিখতে পারি:}

MP¯=αu¯ + βv¯

অথবা স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে এই সমতা লিখলে আমরা পাই:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

উপস্থাপিত সমতা সমতলের জন্য একটি প্যারামেট্রিক ভেক্টর সমীকরণ। ATসমতল u¯ এবং v¯ এর ভেক্টর স্থানকে জেনারেটর বলা হয়।

পরবর্তী, সমস্যাটি সমাধান করার সময়, এটি দেখানো হবে কিভাবে এই সমীকরণটি একটি প্লেনের জন্য একটি সাধারণ আকারে হ্রাস করা যেতে পারে৷

মহাকাশে প্লেনের মধ্যে কোণ

স্বজ্ঞাতভাবে, 3D স্পেসে প্লেন ছেদ করতে পারে বা না পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, তাদের মধ্যে কোণ খুঁজে পেতে আগ্রহের বিষয়। এই কোণের গণনা লাইনের মধ্যে কোণের চেয়ে বেশি কঠিন, যেহেতু আমরা একটি ডাইহেড্রাল জ্যামিতিক বস্তুর কথা বলছি। যাইহোক, বিমানের জন্য ইতিমধ্যে উল্লিখিত গাইড ভেক্টর উদ্ধারে আসে৷

এটি জ্যামিতিকভাবে প্রতিষ্ঠিত যে দুটি ছেদকারী সমতলের মধ্যে ডাইহেড্রাল কোণ তাদের গাইড ভেক্টরের মধ্যে কোণের ঠিক সমান। আসুন এই ভেক্টরগুলিকে n₁¯(a₁; b₁; c_{1 হিসাবে চিহ্নিত করি}) এবং n₂¯(a₂; b₂; c_{2)। তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন স্কেলার গুণফল থেকে নির্ধারিত হয়। অর্থাৎ, প্লেনের মধ্যবর্তী স্থানের কোণটি সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(n₁ ¯||n_2¯|))

এখানে ডিনোমিনেটরের মডুলাসটি স্থূলকোণটির মান বাতিল করতে ব্যবহৃত হয় (ছেদকারী সমতলগুলির মধ্যে এটি সর্বদা 90o এর চেয়ে কম বা সমান)।

সমন্বিত আকারে, এই অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁²+ c₁²)(এ 22⁾⁾⁾

প্লেনগুলি লম্ব এবং সমান্তরাল

যদি সমতলগুলিকে ছেদ করে এবং তাদের দ্বারা গঠিত ডিহেড্রাল কোণ 90o হয়, তাহলে তারা লম্ব হবে। এই ধরনের সমতলগুলির একটি উদাহরণ হল একটি আয়তক্ষেত্রাকার প্রিজম বা একটি ঘনক। এই পরিসংখ্যান ছয় প্লেন দ্বারা গঠিত হয়. নাম দেওয়া চিত্রগুলির প্রতিটি শীর্ষে একে অপরের সাথে লম্বভাবে তিনটি সমতল রয়েছে৷

বিবেচিত প্লেনগুলি লম্ব কিনা তা খুঁজে বের করতে, তাদের স্বাভাবিক ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনা করাই যথেষ্ট। প্লেনগুলির স্থানের লম্বতার জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত হল এই পণ্যটির মান শূন্য৷

সমান্তরালকে ছেদবিহীন সমতল বলা হয়। কখনও কখনও এটাও বলা হয় যে সমান্তরাল সমতলগুলি অসীমে ছেদ করে। প্লেনের স্থানের সমান্তরালতার শর্তটি n₁¯ এবং n_{2¯ অভিমুখ ভেক্টরের সেই শর্তের সাথে মিলে যায়। আপনি এটি দুটি উপায়ে পরীক্ষা করতে পারেন:}

স্কেলার গুণফল ব্যবহার করে ডাইহেড্রাল কোণের কোসাইন (cos(φ)) গণনা করুন। যদি সমতলগুলি সমান্তরাল হয়, তাহলে মান হবে 1।

কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করে একটি ভেক্টরকে অন্যটির মাধ্যমে উপস্থাপন করার চেষ্টা করুন, যেমন n₁¯=kn_{2¯। যদি এটি করা যায়, তাহলে সংশ্লিষ্ট প্লেনগুলি হয়সমান্তরাল।}

চিত্রটি দুটি সমান্তরাল সমতল দেখায়।

এখন প্রাপ্ত গাণিতিক জ্ঞান ব্যবহার করে দুটি আকর্ষণীয় সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেওয়া যাক।

কিভাবে একটি ভেক্টর সমীকরণ থেকে একটি সাধারণ ফর্ম পেতে হয়?

এটি একটি সমতলের জন্য একটি প্যারামেট্রিক ভেক্টর এক্সপ্রেশন। অপারেশনের প্রবাহ এবং ব্যবহৃত গাণিতিক কৌশলগুলি বোঝা সহজ করতে, একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করুন:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

এই অভিব্যক্তিটি প্রসারিত করুন এবং অজানা পরামিতিগুলি প্রকাশ করুন:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

তারপর:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

শেষ এক্সপ্রেশনে বন্ধনী খুললে আমরা পাই:

z=2x-2 + 3y - 6 বা

2x + 3y - z - 8=0

আমরা ভেক্টর আকারে সমস্যা বিবৃতিতে নির্দিষ্ট সমতলের সমীকরণের সাধারণ ফর্ম পেয়েছি

কীভাবে তিনটি পয়েন্টের মাধ্যমে একটি প্লেন তৈরি করবেন?

এই বিন্দুগুলো কোনো একক সরলরেখার অন্তর্গত না হলে তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি একক সমতল আঁকা সম্ভব। এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলির ক্রম নিয়ে গঠিত: