রেখা এবং সমতল দুটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক উপাদান যা 2D এবং 3D স্পেসে বিভিন্ন আকার তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। সমান্তরাল রেখা এবং সমান্তরাল সমতলের মধ্যে দূরত্ব কীভাবে খুঁজে বের করবেন তা বিবেচনা করুন।
গণিত টাস্ক সরলরেখা
স্কুল জ্যামিতি কোর্স থেকে জানা যায় যে দ্বি-মাত্রিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি লাইন নিম্নলিখিত আকারে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে:
y=kx + b.
যেখানে k এবং b সংখ্যা (প্যারামিটার)। একটি সমতলে একটি রেখার প্রতিনিধিত্ব করার লিখিত রূপ হল একটি সমতল যা ত্রিমাত্রিক স্থানে z-অক্ষের সমান্তরাল। এই বিবেচনায়, এই নিবন্ধে, একটি সরল রেখার গাণিতিক নিয়োগের জন্য, আমরা একটি আরও সুবিধাজনক এবং সর্বজনীন ফর্ম ব্যবহার করব - একটি ভেক্টর।
অনুমান করুন যে আমাদের লাইন কিছু ভেক্টর u¯(a, b, c) এর সমান্তরাল এবং P(x0,) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়y0, z0)। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর আকারে, এর সমীকরণটি নিম্নরূপ উপস্থাপন করা হবে:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c)
এখানে λ যেকোনো সংখ্যা। যদি আমরা লিখিত অভিব্যক্তিকে প্রসারিত করে স্থানাঙ্কগুলিকে স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করি, তাহলে আমরা একটি সরল রেখা লেখার একটি প্যারামেট্রিক ফর্ম পাব৷
সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে প্রয়োজনীয় বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করার সময় একটি ভেক্টর সমীকরণের সাথে কাজ করা সুবিধাজনক।
রেখা এবং তাদের মধ্যকার দূরত্ব
রেখাগুলির মধ্যে দূরত্ব সম্পর্কে কথা বলা তখনই বোঝা যায় যখন তারা সমান্তরাল হয় (ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে, তির্যক রেখাগুলির মধ্যে একটি অ-শূন্য দূরত্বও থাকে)। যদি রেখাগুলিকে ছেদ করে, তবে এটি স্পষ্ট যে তারা একে অপরের থেকে শূন্য দূরত্বে রয়েছে৷
সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব হল তাদের সংযোগকারী লম্বের দৈর্ঘ্য। এই সূচকটি নির্ধারণ করার জন্য, একটি রেখার একটি নির্বিচারে বিন্দু বেছে নেওয়া এবং এটি থেকে অন্যটিতে একটি লম্ব ফেলে দেওয়া যথেষ্ট।
আসুন সংক্ষিপ্তভাবে কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব খোঁজার পদ্ধতি বর্ণনা করা যাক। ধরুন আমরা দুটি রেখার ভেক্টর সমীকরণ জানি, যা নিম্নোক্ত সাধারণ আকারে উপস্থাপিত হয়েছে:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
এই রেখাগুলির উপর একটি সমান্তরাল বৃত্ত তৈরি করুন যাতে একটি বাহুর PQ হয় এবং অন্যটি, উদাহরণস্বরূপ, u। স্পষ্টতই, P বিন্দু থেকে আঁকা এই চিত্রটির উচ্চতা হল প্রয়োজনীয় লম্বের দৈর্ঘ্য। এটি খুঁজে পেতে, আপনি নিম্নলিখিত সহজ আবেদন করতে পারেনসূত্র:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
যেহেতু সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব হল তাদের মধ্যকার লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য, তাহলে লিখিত রাশি অনুসারে, PQ¯ এবং u¯ এর ভেক্টর গুণফলের মডুলাস খুঁজে বের করা এবং ফলাফলটিকে দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট ভেক্টরের দৈর্ঘ্য u¯।
সরল রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণের জন্য একটি টাস্কের উদাহরণ
নিম্নলিখিত ভেক্টর সমীকরণ দ্বারা দুটি সরল রেখা দেওয়া হয়েছে:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3)।
লিখিত অভিব্যক্তি থেকে এটা স্পষ্ট যে আমাদের দুটি সমান্তরাল রেখা রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা প্রথম লাইনের দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে -1 দ্বারা গুণ করি তবে আমরা দ্বিতীয় লাইনের দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি পাব, যা তাদের সমান্তরালতা নির্দেশ করে৷
নিবন্ধের পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে লেখা সূত্র ব্যবহার করে সরল রেখার মধ্যে দূরত্ব গণনা করা হবে। আমাদের আছে:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3)।
তারপর আমরা পাই:
|u¯|=√14 সেমি;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 সেমি।
মনে রাখবেন যে বিন্দু P এবং Q এর পরিবর্তে, এই লাইনগুলির সাথে সম্পর্কিত যেকোন বিন্দু সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আমরা একই দূরত্ব পাব d.
জ্যামিতিতে একটি প্লেন সেট করা
রেখার মধ্যে দূরত্বের প্রশ্নটি উপরে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। এখন দেখা যাক কিভাবে সমান্তরাল প্লেনের মধ্যে দূরত্ব বের করা যায়।
প্রত্যেকে প্রতিনিধিত্ব করে যে একটি প্লেন কি। গাণিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, নির্দিষ্ট জ্যামিতিক উপাদান হল বিন্দুর সংগ্রহ। তদুপরি, আপনি যদি এই বিন্দুগুলি ব্যবহার করে সমস্ত সম্ভাব্য ভেক্টর রচনা করেন, তবে তাদের সমস্ত একটি একক ভেক্টরের সাথে লম্ব হবে। পরেরটিকে সাধারণত প্লেনের স্বাভাবিক বলা হয়।
ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি সমতলের সমীকরণ নির্দিষ্ট করতে, সমীকরণের সাধারণ রূপটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। এটা এই মত দেখাচ্ছে:
Ax + By + Cz + D=0.
যেখানে বড় ল্যাটিন অক্ষর কিছু সংখ্যা। এই ধরণের সমতল সমীকরণ ব্যবহার করা সুবিধাজনক কারণ এতে সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি স্পষ্টভাবে দেওয়া আছে। তারা হল A, B, C.
এটা দেখা সহজ যে দুটি প্লেন সমান্তরাল তখনই যখন তাদের স্বাভাবিকগুলি সমান্তরাল হয়৷
কীভাবে দুটি সমান্তরাল প্লেনের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করবেন?
নির্দিষ্ট দূরত্ব নির্ধারণ করতে, আপনার স্পষ্টভাবে বুঝতে হবে যে কী ঝুঁকি রয়েছে। একে অপরের সমান্তরাল সমতলগুলির মধ্যে দূরত্ব তাদের লম্ব অংশের দৈর্ঘ্য হিসাবে বোঝা যায়। এই সেগমেন্টের প্রান্তগুলি প্লেনের অন্তর্গত৷
এই ধরনের সমস্যা সমাধানের অ্যালগরিদম সহজ। এটি করার জন্য, আপনাকে দুটি প্লেনের একটির অন্তর্গত একেবারে যেকোন বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে হবে। তারপর, আপনার এই সূত্রটি ব্যবহার করা উচিত:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2)।
যেহেতু দূরত্ব একটি ধনাত্মক মান, মডুলাস চিহ্নটি লবটিতে রয়েছে। লিখিত সূত্রটি সর্বজনীন, কারণ এটি আপনাকে সমতল থেকে একেবারে যেকোন জ্যামিতিক উপাদানের দূরত্ব গণনা করতে দেয়। এই উপাদানটির একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা যথেষ্ট।
পূর্ণতার স্বার্থে, আমরা লক্ষ্য করি যে দুটি প্লেনের স্বাভাবিকতা যদি একে অপরের সমান্তরাল না হয়, তাহলে এই ধরনের প্লেন ছেদ করবে। তাদের মধ্যে দূরত্ব তখন শূন্য হবে।
প্লেনগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণের সমস্যা
এটা জানা যায় যে দুটি সমতল নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন যে প্লেনগুলি সমান্তরাল, এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করাও।
সমস্যার প্রথম অংশের উত্তর দিতে, আপনাকে প্রথম সমীকরণটিকে একটি সাধারণ ফর্মে আনতে হবে। উল্লেখ্য যে এটি অংশে একটি সমীকরণের তথাকথিত আকারে দেওয়া হয়েছে। এর বাম এবং ডান অংশগুলিকে 15 দ্বারা গুণ করুন এবং সমস্ত পদকে সমীকরণের একপাশে নিয়ে যান, আমরা পাই:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
আসুন প্লেনের দুটি স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক লিখি:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3)।
এটা দেখা যায় যে যদি n2¯ কে 5 দিয়ে গুণ করা হয়, তাহলে আমরা ঠিক n1¯ পাব। এইভাবে, বিবেচিত প্লেন হয়সমান্তরাল।
সমান্তরাল সমতলগুলির মধ্যে দূরত্ব গণনা করতে, তাদের মধ্যে প্রথমটির একটি নির্বিচারী বিন্দু নির্বাচন করুন এবং উপরের সূত্রটি ব্যবহার করুন। উদাহরণস্বরূপ, আসুন বিন্দুটি (0, 0, 1) নেওয়া যাক যা প্রথম সমতলের অন্তর্গত। তারপর আমরা পাই:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + ডি
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 সেমি।
কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব হল ৩১ মিমি।
প্লেন এবং লাইনের মধ্যে দূরত্ব
প্রদত্ত তাত্ত্বিক জ্ঞান আমাদের একটি সরল রেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণের সমস্যা সমাধান করতে দেয়। এটি ইতিমধ্যে উপরে উল্লেখ করা হয়েছে যে প্লেনগুলির মধ্যে গণনার জন্য বৈধ সূত্রটি সর্বজনীন। এটি সমস্যা সমাধানের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, প্রদত্ত লাইনের অন্তর্গত যে কোনও বিন্দু নির্বাচন করুন৷
বিবেচিত জ্যামিতিক উপাদানগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণে প্রধান সমস্যা হল তাদের সমান্তরালতার প্রমাণ (যদি না হয় তবে d=0)। যদি আপনি স্বাভাবিকের স্কেলার গুণফল এবং রেখাটির দিকনির্দেশ ভেক্টর গণনা করেন তাহলে সমান্তরালতা প্রমাণ করা সহজ। যদি বিবেচনাধীন উপাদানগুলি সমান্তরাল হয়, তাহলে এই পণ্যটি শূন্যের সমান হবে৷
