ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র, ষড়ভুজ - এই পরিসংখ্যানগুলি প্রায় সবাই জানে। কিন্তু সবাই জানে না একটি নিয়মিত বহুভুজ কি। কিন্তু এই সব একই জ্যামিতিক আকার. একটি নিয়মিত বহুভুজ হল একটি যার কোণ এবং বাহু সমান। এই ধরনের অনেক পরিসংখ্যান আছে, কিন্তু তাদের সব একই বৈশিষ্ট্য আছে, এবং একই সূত্র তাদের জন্য প্রযোজ্য।
নিয়মিত বহুভুজের বৈশিষ্ট্য
যেকোন নিয়মিত বহুভুজ, তা বর্গক্ষেত্র বা অষ্টভুজ হোক, একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে। একটি চিত্র নির্মাণ করার সময় এই মৌলিক সম্পত্তি প্রায়ই ব্যবহৃত হয়। এছাড়াও, একটি বহুভুজে একটি বৃত্তও খোদাই করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, যোগাযোগের বিন্দুর সংখ্যা তার পক্ষের সংখ্যার সমান হবে। এটি গুরুত্বপূর্ণ যে একটি নিয়মিত বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তের সাথে একটি সাধারণ কেন্দ্র থাকবে। এই জ্যামিতিক পরিসংখ্যান একই উপপাদ্য বিষয়. যে কোন দিকেএকটি নিয়মিত n-gon এর চারপাশে ঘেরা বৃত্তের ব্যাসার্ধ R এর সাথে সম্পর্কিত। অতএব, এটি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: a=2R ∙ sin180°। বৃত্তের ব্যাসার্ধের মাধ্যমে, আপনি কেবল পার্শ্বগুলিই নয়, বহুভুজের পরিধিও খুঁজে পেতে পারেন৷
কীভাবে নিয়মিত বহুভুজের বাহুর সংখ্যা বের করবেন
যেকোন নিয়মিত এন-গন একে অপরের সমান একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক সেগমেন্ট নিয়ে গঠিত, যা সংযুক্ত হলে একটি বন্ধ লাইন তৈরি করে। এই ক্ষেত্রে, গঠিত চিত্রের সমস্ত কোণে একই মান রয়েছে। বহুভুজ সরল এবং জটিল ভাগে বিভক্ত। প্রথম গ্রুপে একটি ত্রিভুজ এবং একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। জটিল বহুভুজের আরও বাহু আছে। তারা তারা আকৃতির পরিসংখ্যান অন্তর্ভুক্ত. জটিল নিয়মিত বহুভুজের জন্য, বাহুগুলিকে একটি বৃত্তে খোদাই করে পাওয়া যায়। একটা প্রমাণ দেওয়া যাক। একটি নিয়মিত বহুভুজ আঁকুন যার একটি নির্বিচারে সংখ্যা n. এর চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করুন। ব্যাসার্ধ R উল্লেখ করুন। এখন কল্পনা করুন যে কিছু n-gon দেওয়া হয়েছে। যদি এর কোণগুলির বিন্দুগুলি একটি বৃত্তের উপর থাকে এবং একে অপরের সমান হয়, তবে বাহুগুলি সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে: a=2R ∙ sinα: 2.
একটি খোদাইকৃত নিয়মিত ত্রিভুজের বাহুর সংখ্যা বের করা
একটি সমবাহু ত্রিভুজ একটি নিয়মিত বহুভুজ। বর্গক্ষেত্র এবং এন-গনের ক্ষেত্রে একই সূত্রগুলি প্রযোজ্য। একটি ত্রিভুজ সঠিক বলে বিবেচিত হবে যদি এর দৈর্ঘ্যের দিকগুলি একই থাকে। এই ক্ষেত্রে, কোণগুলি 60⁰। প্রদত্ত বাহুর দৈর্ঘ্য a সহ একটি ত্রিভুজ তৈরি করুন। এর মাঝামাঝি এবং উচ্চতা জেনে,আপনি এর পক্ষের মান খুঁজে পেতে পারেন। এটি করার জন্য, আমরা a \u003d x: cosα সূত্রের মাধ্যমে খোঁজার পদ্ধতি ব্যবহার করব, যেখানে x হল মধ্যক বা উচ্চতা। যেহেতু ত্রিভুজের সব বাহু সমান তাই আমরা a=b=c পাই। তাহলে নিচের বক্তব্যটি সত্য হবে a=b=c=x: cosα। একইভাবে, আপনি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহুর মান খুঁজে পেতে পারেন, কিন্তু x হবে প্রদত্ত উচ্চতা। একই সময়ে, এটি চিত্রের ভিত্তিতে কঠোরভাবে প্রক্ষিপ্ত করা উচিত। সুতরাং, x উচ্চতা জেনে, আমরা a \u003d b \u003d x: cosα সূত্রটি ব্যবহার করে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু খুঁজে পাই। a এর মান বের করার পর, আপনি বেস c এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারেন। আসুন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করি। আমরা অর্ধেক বেসের মান দেখব c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα। তারপর c=2xtanα. যেকোন খোদাই করা বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে বের করার একটি সহজ উপায় এখানে।
একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি বর্গক্ষেত্রের দিকগুলি গণনা করুন
অন্য যেকোন খোদাইকৃত নিয়মিত বহুভুজের মতো, একটি বর্গক্ষেত্রের সমান বাহু এবং কোণ রয়েছে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও একই সূত্র প্রযোজ্য। আপনি তির্যকের মান ব্যবহার করে একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলি গণনা করতে পারেন। আসুন আরো বিস্তারিতভাবে এই পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক। এটি জানা যায় যে তির্যকটি কোণটিকে দ্বিখণ্ডিত করে। প্রাথমিকভাবে, এর মান ছিল 90 ডিগ্রি। এইভাবে, বিভাজনের পরে, দুটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়। তাদের ভিত্তি কোণ হবে 45 ডিগ্রি। তদনুসারে, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি দিক সমান হবে, অর্থাৎ: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, যেখানে e হল বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বা ভিত্তি বিভাজনের পরে গঠিত সমকোণী ত্রিভুজ। এটি একমাত্র উপায় নয়একটি বর্গক্ষেত্রের দিক খুঁজে বের করা। আসুন একটি বৃত্তে এই চিত্রটি লিখি। এই বৃত্ত R-এর ব্যাসার্ধ জেনে আমরা বর্গক্ষেত্রের দিকটি খুঁজে পাই। আমরা এটিকে নিম্নরূপ a4=R√2 হিসাবে গণনা করব। নিয়মিত বহুভুজের ব্যাসার্ধ R=a: 2tg (360o: 2n) দ্বারা গণনা করা হয়, যেখানে a হল পাশের দৈর্ঘ্য।
কীভাবে একটি এন-গনের পরিধি গণনা করবেন
একটি এন-গনের পরিধি হল এর সমস্ত বাহুর সমষ্টি। এটা হিসাব করা সহজ। এটি করার জন্য, আপনাকে সমস্ত পক্ষের মানগুলি জানতে হবে। কিছু ধরণের বহুভুজের জন্য, বিশেষ সূত্র রয়েছে। তারা আপনাকে অনেক দ্রুত ঘের খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়। এটা জানা যায় যে যেকোনো নিয়মিত বহুভুজের সমান বাহু আছে। অতএব, এর পরিধি গণনা করার জন্য, তাদের মধ্যে অন্তত একটি জানা যথেষ্ট। সূত্রটি নির্ভর করবে চিত্রের বাহুর সংখ্যার উপর। সাধারণভাবে, এটি এইরকম দেখায়: P \u003d an, যেখানে a হল পাশের মান এবং n হল কোণের সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, 3 সেমি বাহুর একটি নিয়মিত অষ্টভুজের পরিধি খুঁজে পেতে, আপনাকে এটিকে 8 দ্বারা গুণ করতে হবে, অর্থাৎ, P=3 ∙ 8=24 সেমি। 5 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি ষড়ভুজের জন্য, আমরা গণনা করি নিম্নরূপ: P=5 ∙ 6=30 সেমি। এবং তাই প্রতিটি বহুভুজের জন্য।
একটি সমান্তরালগ্রাম, একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি রম্বসের পরিধি খুঁজে বের করা
একটি নিয়মিত বহুভুজের কয়টি বাহু আছে তার উপর নির্ভর করে, এর পরিধি গণনা করা হয়। এটি কাজটিকে অনেক সহজ করে তোলে। প্রকৃতপক্ষে, অন্যান্য পরিসংখ্যানগুলির বিপরীতে, এই ক্ষেত্রে এটির সমস্ত দিকগুলি সন্ধান করার প্রয়োজন নেই, কেবল একটিই যথেষ্ট। একই নীতি দ্বারা, আমরা পরিসীমা খুঁজেচতুর্ভুজ, অর্থাৎ একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি রম্বস। এইগুলি ভিন্ন পরিসংখ্যান হওয়া সত্ত্বেও, তাদের জন্য সূত্রটি একই P=4a, যেখানে a হল পাশ। একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। যদি একটি রম্বস বা বর্গক্ষেত্রের বাহু 6 সেমি হয়, তাহলে আমরা নিম্নরূপ পরিধি খুঁজে পাই: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 সেমি। একটি সমান্তরালগ্রামের শুধুমাত্র বিপরীত বাহু রয়েছে। অতএব, এর পরিধি একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়। সুতরাং, আমাদের চিত্রটির দৈর্ঘ্য a এবং প্রস্থ b জানতে হবে। তারপরে আমরা P=(a + c) ∙ 2 সূত্রটি প্রয়োগ করি। একটি সমান্তরালগ্রাম, যার মধ্যে সমস্ত বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণগুলি সমান, তাকে রম্বস বলা হয়।
একটি সমবাহু ও সমকোণী ত্রিভুজের পরিধি খোঁজা
একটি নিয়মিত সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি P=3a সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়, যেখানে a হল বাহুর দৈর্ঘ্য। এটি অজানা হলে, এটি মধ্যম মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। একটি সমকোণী ত্রিভুজে, মাত্র দুটি বাহু সমান। ভিত্তি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের মাধ্যমে পাওয়া যাবে। তিনটি বাহুর মান জানা হয়ে যাওয়ার পরে, আমরা পরিধি গণনা করি। এটি P \u003d a + b + c সূত্র প্রয়োগ করে পাওয়া যেতে পারে, যেখানে a এবং b সমান বাহু এবং c হল ভিত্তি। মনে রাখবেন যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে a \u003d b \u003d a, অতএব, a + b \u003d 2a, তারপর P \u003d 2a + c। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু 4 সেমি, এর ভিত্তি এবং পরিধি খুঁজুন। আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 সেমি ব্যবহার করে কর্ণের মান গণনা করি। এখন আমরা পরিধি গণনা করি Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 সেমি।
কীভাবে নিয়মিত বহুভুজের কোণগুলি খুঁজে বের করবেন
নিয়মিত বহুভুজআমাদের জীবনে প্রতিদিন ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ বর্গক্ষেত্র, ত্রিভুজ, অষ্টভুজ। দেখে মনে হবে যে এই চিত্রটি নিজেকে তৈরি করার চেয়ে সহজ আর কিছুই নেই। কিন্তু এই শুধু প্রথম নজরে. যেকোন এন-গন গঠন করার জন্য আপনাকে এর কোণের মান জানতে হবে। কিন্তু আপনি কিভাবে তাদের খুঁজে পাবেন? এমনকি প্রাচীনকালের বিজ্ঞানীরাও নিয়মিত বহুভুজ তৈরি করার চেষ্টা করেছিলেন। তারা তাদের চেনাশোনা মধ্যে মাপসই অনুমান. এবং তারপরে প্রয়োজনীয় পয়েন্টগুলি এটিতে চিহ্নিত করা হয়েছিল, সরল রেখা দ্বারা সংযুক্ত। সাধারণ পরিসংখ্যানের জন্য, নির্মাণ সমস্যা সমাধান করা হয়েছে। সূত্র ও উপপাদ্য পাওয়া গেছে। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিড তার বিখ্যাত রচনা "দ্য বিগিনিং"-এ 3-, 4-, 5-, 6- এবং 15-গনের সমস্যা সমাধানে নিযুক্ত ছিলেন। তিনি তাদের নির্মাণ এবং কোণ খুঁজে বের করার উপায় খুঁজে পেয়েছেন। 15-gon এর জন্য এটি কীভাবে করা যায় তা দেখা যাক। প্রথমে আপনাকে এর অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল গণনা করতে হবে। সূত্র S=180⁰(n-2) ব্যবহার করা প্রয়োজন। সুতরাং, আমাদের একটি 15-গন দেওয়া হয়েছে, যার অর্থ হল n সংখ্যাটি 15। আমরা আমাদের জানা তথ্যটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ পাই। আমরা একটি 15-গনের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি খুঁজে পেয়েছি। এখন আমাদের তাদের প্রতিটির মূল্য পেতে হবে। মোট 15টি কোণ আছে। আমরা গণনা করি 2340⁰: 15=156⁰। এর মানে হল প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণ হল 156⁰, এখন একটি শাসক এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করে, আপনি একটি নিয়মিত 15-gon তৈরি করতে পারেন। কিন্তু আরো জটিল এন-গন সম্পর্কে কি? কয়েক শতাব্দী ধরে, বিজ্ঞানীরা এই সমস্যা সমাধানের জন্য সংগ্রাম করেছেন। এটি শুধুমাত্র 18 শতকে কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস দ্বারা পাওয়া যায়। তিনি একটি 65537-গন তৈরি করতে সক্ষম হন। তারপর থেকে, সমস্যাটি আনুষ্ঠানিকভাবে সম্পূর্ণরূপে সমাধান বলে বিবেচিত হয়৷
n-গনের কোণের গণনারেডিয়ানে
অবশ্যই, বহুভুজগুলির কোণগুলি খুঁজে পাওয়ার বিভিন্ন উপায় রয়েছে৷ প্রায়শই এগুলি ডিগ্রীতে গণনা করা হয়। কিন্তু আপনি তাদের রেডিয়ানেও প্রকাশ করতে পারেন। এটা কিভাবে করতে হবে? এটি নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন. প্রথমে, আমরা একটি নিয়মিত বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে বের করি, তারপর এটি থেকে 2 বিয়োগ করি। সুতরাং, আমরা মানটি পাই: n - 2। পাওয়া পার্থক্যটিকে n (“pi”=3, 14) সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন। এখন এটি শুধুমাত্র এন-গনের কোণের সংখ্যা দ্বারা ফলিত পণ্যকে ভাগ করতে রয়ে গেছে। একই পনের-পার্শ্বের উদাহরণ ব্যবহার করে এই গণনাগুলি বিবেচনা করুন। সুতরাং, n সংখ্যাটি 15। সূত্রটি প্রয়োগ করুন S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72। এটি অবশ্যই, রেডিয়ানে কোণ গণনা করার একমাত্র উপায় নয়। আপনি কেবলমাত্র 57, 3 নম্বর দিয়ে কোণের আকারকে ডিগ্রীতে ভাগ করতে পারেন। সর্বোপরি, অনেকগুলি ডিগ্রী একটি রেডিয়ানের সমতুল্য।
ডিগ্রীতে কোণের মান গণনা করুন
ডিগ্রী এবং রেডিয়ান ছাড়াও, আপনি গ্র্যাডে নিয়মিত বহুভুজের কোণের মান খুঁজে বের করার চেষ্টা করতে পারেন। এটি নিম্নলিখিত উপায়ে করা হয়। কোণের মোট সংখ্যা থেকে 2 বিয়োগ করুন, একটি নিয়মিত বহুভুজের বাহুর সংখ্যা দ্বারা ফলাফলের পার্থক্যকে ভাগ করুন। আমরা প্রাপ্ত ফলাফলকে 200 দ্বারা গুণ করি। যাইহোক, শিলাবৃষ্টির মতো কোণ পরিমাপের একটি ইউনিট কার্যত ব্যবহার করা হয় না।
n-গনের বাহ্যিক কোণের গণনা
যেকোন নিয়মিত বহুভুজের জন্য, অভ্যন্তরীণ একটি ব্যতীত, আপনি বাহ্যিক কোণটিও গণনা করতে পারেন। এর মান অন্যান্য পরিসংখ্যানের মতোই পাওয়া যায়। সুতরাং, একটি নিয়মিত বহুভুজের বাহ্যিক কোণ খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজনভিতরের অর্থ জান। আরও, আমরা জানি যে এই দুটি কোণের যোগফল সর্বদা 180 ডিগ্রি। অতএব, আমরা নিম্নরূপ গণনা করি: 180⁰ বিয়োগ অভ্যন্তরীণ কোণের মান। আমরা পার্থক্য খুঁজে. এটি সংলগ্ন কোণের মানের সমান হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের ভিতরের কোণটি 90 ডিগ্রি, তাই বাইরের কোণটি হবে 180⁰ - 90⁰=90⁰। আমরা দেখতে পাচ্ছি, এটি খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়। বাহ্যিক কোণ যথাক্রমে +180⁰ থেকে -180⁰ পর্যন্ত একটি মান নিতে পারে।
