পলিহেড্রা প্রাচীনকালেও গণিতবিদ এবং বিজ্ঞানীদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিল। মিশরীয়রা পিরামিড তৈরি করেছিল। এবং গ্রীকরা "নিয়মিত পলিহেড্রা" অধ্যয়ন করেছিল। এগুলিকে কখনও কখনও প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ বলা হয়। "প্রথাগত পলিহেড্রা" সমতল মুখ, সোজা প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দু নিয়ে গঠিত। কিন্তু মূল প্রশ্নটি সর্বদাই ছিল এই পৃথক অংশগুলিকে কোন নিয়মগুলি পূরণ করতে হবে, সেইসাথে কোনও বস্তুকে পলিহেড্রন হিসাবে যোগ্যতা অর্জনের জন্য কী অতিরিক্ত বৈশ্বিক শর্তগুলি পূরণ করতে হবে। এই প্রশ্নের উত্তর নিবন্ধে উপস্থাপন করা হবে৷
সংজ্ঞায় সমস্যা
এই চিত্রটি কী নিয়ে গঠিত? একটি পলিহেড্রন হল একটি বন্ধ শক্ত আকৃতি যার সমতল মুখ এবং সোজা প্রান্ত রয়েছে। অতএব, এর সংজ্ঞার প্রথম সমস্যাটিকে চিত্রের দিকগুলি অবিকল বলা যেতে পারে। প্লেনে শুয়ে থাকা সমস্ত মুখ সবসময় পলিহেড্রনের চিহ্ন নয়। একটি উদাহরণ হিসাবে "ত্রিভুজাকার সিলিন্ডার" নেওয়া যাক। এটা কি গঠিত? এর পৃষ্ঠের অংশ তিন জোড়ায়ছেদকারী উল্লম্ব সমতলগুলিকে বহুভুজ হিসাবে বিবেচনা করা যায় না। কারণ হল এর কোন শীর্ষবিন্দু নেই। একটি বিন্দুতে মিলিত তিনটি রশ্মির ভিত্তিতে এই ধরনের চিত্রের পৃষ্ঠটি গঠিত হয়।
আরো একটি সমস্যা - প্লেন। "ত্রিভুজাকার সিলিন্ডার" এর ক্ষেত্রে এটি তাদের সীমাহীন অংশে রয়েছে। একটি চিত্র উত্তল বলে বিবেচিত হয় যদি সেটের যেকোনো দুটি বিন্দুকে সংযুক্তকারী রেখার অংশটিও এতে থাকে। আসুন তাদের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করি। উত্তল সেটের জন্য, এটি হল যে সেটের সাধারণ বিন্দুগুলির সেট একই। অন্য ধরনের পরিসংখ্যান আছে। এগুলি নন-উত্তল 2D পলিহেড্রা যেগুলির হয় খাঁজ বা ছিদ্র থাকে৷
আকৃতি যা পলিহেড্রা নয়
বিন্দুর সমতল সেট ভিন্ন হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, অ-উত্তল) এবং একটি পলিহেড্রনের স্বাভাবিক সংজ্ঞা পূরণ করতে পারে না। এমনকি এটির মাধ্যমে, এটি লাইনের বিভাগ দ্বারা সীমাবদ্ধ। উত্তল পলিহেড্রনের রেখাগুলি উত্তল চিত্র নিয়ে গঠিত। যাইহোক, সংজ্ঞার এই পদ্ধতিটি অসীমের দিকে যাওয়া একটি চিত্রকে বাদ দেয়। এর একটি উদাহরণ হবে তিনটি রশ্মি যা একই বিন্দুতে মিলিত হয় না। কিন্তু একই সময়ে, তারা অন্য চিত্রের শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত। ঐতিহ্যগতভাবে, একটি পলিহেড্রনের জন্য এটি গুরুত্বপূর্ণ ছিল যে এটি সমতল পৃষ্ঠগুলি নিয়ে গঠিত। কিন্তু সময়ের সাথে সাথে, ধারণাটি প্রসারিত হয়েছে, যার ফলে পলিহেড্রার মূল "সংকীর্ণ" শ্রেণী বোঝার ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য উন্নতি হয়েছে, সেইসাথে একটি নতুন, বৃহত্তর সংজ্ঞার উদ্ভব হয়েছে।
সঠিক
আসুন আরও একটি সংজ্ঞা দেওয়া যাক। একটি নিয়মিত পলিহেড্রন হল এমন একটি যার প্রতিটি মুখ একটি সঙ্গতিপূর্ণ নিয়মিতউত্তল বহুভুজ, এবং সমস্ত শীর্ষবিন্দু "একই"। এর মানে হল যে প্রতিটি শীর্ষে একই সংখ্যক নিয়মিত বহুভুজ রয়েছে। এই সংজ্ঞা ব্যবহার করুন. তাই আপনি পাঁচটি নিয়মিত পলিহেড্রা খুঁজে পেতে পারেন৷
পলিহেড্রার জন্য অয়লারের উপপাদ্যের প্রথম ধাপ
গ্রীকরা বহুভুজ সম্পর্কে জানত, যাকে আজ পেন্টাগ্রাম বলা হয়। এই বহুভুজটিকে নিয়মিত বলা যেতে পারে কারণ এর সমস্ত বাহু সমান দৈর্ঘ্যের। এছাড়াও আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ নোট আছে। পরপর দুটি বাহুর মধ্যে কোণ সর্বদা একই থাকে। যাইহোক, যখন একটি সমতলে আঁকা হয়, এটি একটি উত্তল সেটকে সংজ্ঞায়িত করে না এবং পলিহেড্রনের বাহুগুলি একে অপরকে ছেদ করে। যাইহোক, এটি সবসময় ক্ষেত্রে ছিল না। গণিতবিদরা দীর্ঘকাল ধরে "অ-উত্তল" নিয়মিত পলিহেড্রার ধারণাটি বিবেচনা করেছেন। পেন্টাগ্রাম তাদের মধ্যে একটি ছিল। "তারকা বহুভুজ"ও অনুমোদিত ছিল। "নিয়মিত পলিহেড্রা" এর বেশ কয়েকটি নতুন উদাহরণ আবিষ্কৃত হয়েছে। এখন তাদের কেপলার-পয়নসট পলিহেড্রা বলা হয়। পরে, G. S. M. Coxeter এবং Branko Grünbaum নিয়ম প্রসারিত করেন এবং অন্যান্য "নিয়মিত পলিহেড্রা" আবিষ্কার করেন।
পলিহেড্রাল সূত্র
এই পরিসংখ্যানগুলির পদ্ধতিগত অধ্যয়ন তুলনামূলকভাবে গণিতের ইতিহাসে শুরু হয়েছিল। লিওনহার্ড অয়লারই প্রথম লক্ষ্য করেছিলেন যে উত্তল 3D পলিহেড্রার জন্য তাদের শীর্ষবিন্দু, মুখ এবং প্রান্তের সংখ্যা সম্পর্কিত একটি সূত্র রয়েছে৷
তিনি দেখতে এইরকম:
V + F - E=2, যেখানে V হল পলিহেড্রাল শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা, F হল পলিহেড্রার প্রান্তের সংখ্যা এবং E হল মুখের সংখ্যা৷
লিওনহার্ড অয়লার সুইসগণিতবিদ যিনি সর্বকালের সর্বশ্রেষ্ঠ এবং সবচেয়ে উত্পাদনশীল বিজ্ঞানীদের একজন হিসাবে বিবেচিত হন। তিনি তার জীবনের বেশিরভাগ সময় অন্ধ ছিলেন, কিন্তু তার দৃষ্টিশক্তি হারানো তাকে আরও বেশি উত্পাদনশীল হওয়ার কারণ দিয়েছে। তার নামে নামকরণ করা হয়েছে বেশ কয়েকটি সূত্র, এবং আমরা যেটি দেখেছি তাকে কখনও কখনও অয়লার পলিহেড্রা সূত্র বলা হয়৷
একটা স্পষ্টীকরণ আছে। অয়লারের সূত্র, তবে, শুধুমাত্র পলিহেড্রার জন্য কাজ করে যা কিছু নিয়ম মেনে চলে। তারা এই সত্যে মিথ্যা বলে যে ফর্মটিতে কোনও গর্ত থাকা উচিত নয়। এবং এটি নিজেকে অতিক্রম করার জন্য এটি অগ্রহণযোগ্য। একটি পলিহেড্রন দুটি অংশকে একত্রিত করে তৈরি করা যায় না, যেমন একই শীর্ষবিন্দু সহ দুটি ঘনক। অয়লার 1750 সালে ক্রিশ্চিয়ান গোল্ডবাখকে লেখা একটি চিঠিতে তার গবেষণার ফলাফল উল্লেখ করেছিলেন। পরে, তিনি দুটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন যাতে তিনি বর্ণনা করেন কিভাবে তিনি তার নতুন আবিষ্কারের প্রমাণ খোঁজার চেষ্টা করেন। প্রকৃতপক্ষে, এমন ফর্ম রয়েছে যা V + F - E এর একটি ভিন্ন উত্তর দেয়। F + V - E=X যোগফলের উত্তরটিকে অয়লার বৈশিষ্ট্য বলা হয়। তার আরেকটি দিক আছে। কিছু আকারের এমনকি একটি অয়লার বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে যা নেতিবাচক
গ্রাফ তত্ত্ব
কখনও কখনও এটা দাবি করা হয় যে ডেসকার্টস অয়লারের উপপাদ্যটি আগে থেকে নিয়েছিলেন। যদিও এই বিজ্ঞানী ত্রি-মাত্রিক পলিহেড্রা সম্পর্কে তথ্য আবিষ্কার করেছিলেন যা তাকে পছন্দসই সূত্রটি বের করতে দেয়, তিনি এই অতিরিক্ত পদক্ষেপ নেননি। আজ, অয়লারকে গ্রাফ তত্ত্বের "পিতা" হিসাবে কৃতিত্ব দেওয়া হয়। তিনি তার ধারণা ব্যবহার করে কোনিগসবার্গ সেতুর সমস্যার সমাধান করেছিলেন। কিন্তু বিজ্ঞানী পলিহেড্রনকে প্রেক্ষাপটে দেখেননিগ্রাফ তত্ত্ব। অয়লার একটি পলিহেড্রনকে সহজতর অংশে বিভক্ত করার উপর ভিত্তি করে একটি সূত্রের প্রমাণ দেওয়ার চেষ্টা করেছিলেন। এই প্রয়াস প্রমাণের জন্য আধুনিক মানদন্ডের থেকে কম পড়ে। যদিও অয়লার তার সূত্রের জন্য প্রথম সঠিক ন্যায্যতা দেননি, কেউ এমন অনুমান প্রমাণ করতে পারে না যা করা হয়নি। যাইহোক, ফলাফলগুলি, যা পরে প্রমাণিত হয়েছিল, বর্তমান সময়েও অয়লারের উপপাদ্য ব্যবহার করা সম্ভব করে তোলে। প্রথম প্রমাণটি পেয়েছিলেন গণিতবিদ অ্যাড্রিয়ান মেরি লেজেন্ড্রে।
অয়লারের সূত্রের প্রমাণ
অয়লার প্রথম পলিহেড্রার উপর একটি উপপাদ্য হিসাবে পলিহেড্রাল সূত্র তৈরি করেন। আজ এটি প্রায়শই সংযুক্ত গ্রাফগুলির আরও সাধারণ প্রসঙ্গে চিকিত্সা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু এবং লাইন সেগমেন্টের সমন্বয়ে গঠিত গঠনগুলি তাদের সংযুক্ত করে, যা একই অংশে রয়েছে। অগাস্টিন লুই কচি প্রথম ব্যক্তি যিনি এই গুরুত্বপূর্ণ সংযোগ খুঁজে পান। এটি অয়লারের উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে কাজ করেছিল। তিনি, সারমর্মে, লক্ষ্য করেছেন যে একটি উত্তল পলিহেড্রনের গ্রাফ (অথবা যা আজকে বলা হয়) একটি গোলকের সাথে টপোলজিকাল হোমোমরফিক, একটি প্ল্যানার সংযুক্ত গ্রাফ রয়েছে। এটা কি? একটি প্ল্যানার গ্রাফ হল এমন একটি যা সমতলে এমনভাবে আঁকা হয়েছে যে এর প্রান্তগুলি শুধুমাত্র একটি শীর্ষে মিলিত হয় বা ছেদ করে। এখানেই অয়লারের উপপাদ্য এবং গ্রাফের মধ্যে সংযোগ পাওয়া গেছে।
ফলাফলের গুরুত্বের একটি ইঙ্গিত হল যে ডেভিড এপস্টাইন সতেরোটি বিভিন্ন প্রমাণ সংগ্রহ করতে সক্ষম হয়েছিলেন। অয়লারের পলিহেড্রাল সূত্রকে ন্যায্যতা দেওয়ার অনেক উপায় আছে। এক অর্থে, সবচেয়ে সুস্পষ্ট প্রমাণ হল পদ্ধতি যা গাণিতিক আবেশ ব্যবহার করে। ফলাফল প্রমাণিত হতে পারেগ্রাফের প্রান্ত, মুখ বা শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা বরাবর এটি অঙ্কন।
Rademacher এবং Toeplitz এর প্রমাণ
বিশেষত আকর্ষণীয় হল Rademacher এবং Toeplitz-এর নিম্নলিখিত প্রমাণ, ভন স্ট্যাউডের পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে। অয়লারের উপপাদ্যকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য, ধরুন যে G হল একটি সমতলে এম্বেড করা একটি সংযুক্ত গ্রাফ। যদি এটির স্কিমা থাকে, তবে তাদের প্রতিটি থেকে একটি প্রান্ত এমনভাবে বাদ দেওয়া সম্ভব যাতে এটি সংযুক্ত থাকে এমন সম্পত্তি সংরক্ষণ করতে। বন্ধ না করে সংযুক্ত গ্রাফে যাওয়ার জন্য সরানো অংশ এবং যেগুলি অসীম প্রান্ত নয় তাদের মধ্যে এক-এক চিঠিপত্র রয়েছে। এই গবেষণাটি তথাকথিত অয়লার বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে "অরিয়েন্টেবল সারফেস" এর শ্রেণীবিভাগের দিকে পরিচালিত করে।
জর্ডান বক্ররেখা। উপপাদ্য
মূল থিসিস, যা প্রত্যক্ষ বা পরোক্ষভাবে গ্রাফের জন্য অয়লার উপপাদ্যের পলিহেড্রা সূত্রের প্রমাণে ব্যবহৃত হয়, তা জর্ডান বক্ররেখার উপর নির্ভর করে। এই ধারণাটি সাধারণীকরণের সাথে সম্পর্কিত। এটি বলে যে যেকোন সাধারণ বন্ধ বক্ররেখা সমতলকে তিনটি সেটে বিভক্ত করে: এটির ভিতরে এবং বাইরের বিন্দু। উনবিংশ শতাব্দীতে অয়লারের পলিহেড্রাল সূত্রের প্রতি আগ্রহ তৈরি হওয়ায় এটিকে সাধারণীকরণের অনেক চেষ্টা করা হয়েছিল। এই গবেষণা বীজগণিতের টপোলজির বিকাশের ভিত্তি স্থাপন করেছিল এবং এটিকে বীজগণিত এবং সংখ্যা তত্ত্বের সাথে সংযুক্ত করেছিল৷
মোবিয়াস গ্রুপ
এটি শীঘ্রই আবিষ্কৃত হয়েছিল যে কিছু পৃষ্ঠতল শুধুমাত্র স্থানীয়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ উপায়ে "অভিমুখী" হতে পারে, বিশ্বব্যাপী নয়। সুপরিচিত Möbius গ্রুপ যেমন একটি দৃষ্টান্ত হিসাবে কাজ করেপৃষ্ঠতল এটি জোহান লিস্টিং দ্বারা কিছুটা আগে আবিষ্কৃত হয়েছিল। এই ধারণাটি একটি গ্রাফের জেনাসের ধারণা অন্তর্ভুক্ত করে: সর্বনিম্ন সংখ্যক বর্ণনাকারী g। এটি অবশ্যই গোলকের পৃষ্ঠে যোগ করতে হবে এবং এটি প্রসারিত পৃষ্ঠে এমনভাবে এমবেড করা যেতে পারে যাতে প্রান্তগুলি শুধুমাত্র শীর্ষে মিলিত হয়। দেখা যাচ্ছে যে ইউক্লিডীয় স্থানের যেকোন প্রাচ্যযোগ্য পৃষ্ঠকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক হ্যান্ডেল সহ একটি গোলক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।
অয়লার ডায়াগ্রাম
বিজ্ঞানী আরেকটি আবিষ্কার করেছেন, যা আজও ব্যবহৃত হয়। এই তথাকথিত অয়লার চিত্রটি বৃত্তের একটি গ্রাফিক উপস্থাপনা, সাধারণত সেট বা গোষ্ঠীর মধ্যে সম্পর্ক চিত্রিত করতে ব্যবহৃত হয়। চার্টে সাধারণত এমন রং অন্তর্ভুক্ত থাকে যা বৃত্তগুলি ওভারল্যাপ করে এমন এলাকায় মিশ্রিত হয়। সেটগুলিকে বৃত্ত বা ডিম্বাকৃতি দ্বারা সুনির্দিষ্টভাবে উপস্থাপন করা হয়, যদিও অন্যান্য পরিসংখ্যানগুলিও তাদের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। অয়লার বৃত্ত নামক উপবৃত্তগুলির একটি ওভারল্যাপ দ্বারা একটি অন্তর্ভুক্তি প্রতিনিধিত্ব করা হয়৷
এরা সেট এবং উপসেটের প্রতিনিধিত্ব করে। ব্যতিক্রম হল অ-ওভারল্যাপিং চেনাশোনা। অয়লার ডায়াগ্রামগুলি অন্যান্য গ্রাফিক উপস্থাপনার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। তারা প্রায়ই বিভ্রান্ত হয়. এই গ্রাফিক উপস্থাপনাকে ভেন ডায়াগ্রাম বলা হয়। প্রশ্নে সেটের উপর নির্ভর করে, উভয় সংস্করণ একই রকম হতে পারে। যাইহোক, ভেন ডায়াগ্রামে, ওভারল্যাপিং চেনাশোনাগুলি অগত্যা সেটগুলির মধ্যে সাধারণতা নির্দেশ করে না, তবে শুধুমাত্র একটি সম্ভাব্য যৌক্তিক সম্পর্ক যদি তাদের লেবেলগুলি না থাকেছেদকারী বৃত্ত 1960-এর দশকের নতুন গাণিতিক আন্দোলনের অংশ হিসাবে সেট তত্ত্ব শেখানোর জন্য উভয় বিকল্প গৃহীত হয়েছিল।
ফার্মাট এবং অয়লারের উপপাদ্য
অয়লার গাণিতিক বিজ্ঞানে একটি লক্ষণীয় চিহ্ন রেখে গেছেন। বীজগণিতীয় সংখ্যা তত্ত্বটি তার নামে নামকরণ করা একটি উপপাদ্য দ্বারা সমৃদ্ধ হয়েছিল। এটি আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কারের ফল। এটি তথাকথিত সাধারণ বীজগণিত ল্যাগ্রেঞ্জ উপপাদ্য। অয়লারের নামও ফার্মাটের ছোট্ট উপপাদ্যের সাথে যুক্ত। এটি বলে যে যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং a একটি পূর্ণসংখ্যা হয় যা p দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাহলে:
ap-1 - 1 p দ্বারা বিভাজ্য।
কখনও কখনও একই আবিষ্কারের একটি ভিন্ন নাম থাকে, যা প্রায়শই বিদেশী সাহিত্যে পাওয়া যায়। এটা Fermat এর ক্রিসমাস উপপাদ্য মত শোনাচ্ছে. জিনিসটি হল যে আবিষ্কারটি 25 ডিসেম্বর, 1640 এর প্রাক্কালে পাঠানো একজন বিজ্ঞানীর একটি চিঠির জন্য পরিচিত হয়ে ওঠে। কিন্তু এর আগেও খোদ বক্তব্যের সম্মুখীন হয়েছেন। এটি আলবার্ট জিরার্ড নামে আরেক বিজ্ঞানী ব্যবহার করেছিলেন। Fermat শুধুমাত্র তার তত্ত্ব প্রমাণ করার চেষ্টা করেছেন। লেখক অন্য একটি চিঠিতে ইঙ্গিত দিয়েছেন যে তিনি অসীম বংশধর পদ্ধতি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিলেন। কিন্তু তিনি কোনো প্রমাণ দেননি। পরবর্তীতে এডারও একই পদ্ধতির দিকে ঝুঁকেছেন। এবং তার পরে - ল্যাগ্রেঞ্জ, গাউস এবং মিনকোস্কি সহ আরও অনেক বিখ্যাত বিজ্ঞানী।
পরিচয়ের বৈশিষ্ট্য
ফর্ম্যাটের ছোট্ট উপপাদ্যকে অয়লারের কারণে সংখ্যা তত্ত্ব থেকে একটি উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রেও বলা হয়। এই তত্ত্বে, অয়লার আইডেন্টিটি ফাংশন একটি প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা n পর্যন্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা গণনা করে। তারা সম্মান সঙ্গে coprime হয়n সংখ্যা তত্ত্বে অয়লারের উপপাদ্যটি গ্রীক অক্ষর φ ব্যবহার করে লেখা হয়েছে এবং দেখতে φ(n) এর মতো। এটিকে আরও আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে 1 ≦ k ≦ n পরিসরে k পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা যার জন্য সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক gcd(n, k) হল 1। স্বরলিপি φ(n) কে অয়লারের phi ফাংশনও বলা যেতে পারে। এই ফর্মের k পূর্ণসংখ্যাকে কখনও কখনও টোটেটিভ বলা হয়। সংখ্যা তত্ত্বের কেন্দ্রস্থলে, অয়লার আইডেন্টিটি ফাংশনটি গুনগত, যার অর্থ হল যদি দুটি সংখ্যা m এবং n কপ্রাইম হয়, তাহলে φ(mn)=φ(m)φ(n)। এটি RSA এনক্রিপশন সিস্টেমকে সংজ্ঞায়িত করার ক্ষেত্রেও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে৷
অয়লার ফাংশনটি 1763 সালে চালু করা হয়েছিল। তবে, সেই সময়ে গণিতবিদ এর জন্য কোনও নির্দিষ্ট প্রতীক বেছে নেননি। 1784 সালের একটি প্রকাশনায়, অয়লার এই ফাংশনটি আরও বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করেন এবং এটির প্রতিনিধিত্ব করার জন্য গ্রীক অক্ষর π বেছে নেন। জেমস সিলভেস্টার এই বৈশিষ্ট্যটির জন্য "টোটাল" শব্দটি তৈরি করেছিলেন। তাই, একে অয়লারের মোট হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। 1-এর বেশি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর মোট φ(n) হল n-এর চেয়ে কম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা যা n.φ(1) পর্যন্ত তুলনামূলকভাবে প্রাইম 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অয়লার ফাংশন বা phi(φ) ফাংশন হল একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যা-তাত্ত্বিক একটি ফাংশন গভীরভাবে মৌলিক সংখ্যা এবং তথাকথিত পূর্ণসংখ্যার ক্রম সম্পর্কিত।
