পলিহেড্রা শুধুমাত্র জ্যামিতিতে একটি বিশিষ্ট স্থান দখল করে না, প্রতিটি ব্যক্তির দৈনন্দিন জীবনেও এটি ঘটে। বিভিন্ন বহুভুজ আকারে কৃত্রিমভাবে তৈরি করা গৃহস্থালির আইটেমগুলি উল্লেখ না করা, একটি ম্যাচবক্স থেকে শুরু করে এবং স্থাপত্য উপাদান দিয়ে শেষ হয়, একটি ঘনক (লবণ), প্রিজম (ক্রিস্টাল), পিরামিড (স্কিলাইট), অষ্টহেড্রন (হীরা), স্ফটিক আকারে। ইত্যাদি ই.
পলিহেড্রনের ধারণা, জ্যামিতিতে পলিহেড্রার প্রকারগুলি
বিজ্ঞান হিসাবে জ্যামিতিতে স্টেরিওমেট্রির একটি বিভাগ রয়েছে যা ত্রিমাত্রিক চিত্রগুলির বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে। জ্যামিতিক সংস্থাগুলি, যেগুলির পার্শ্বগুলি ত্রিমাত্রিক স্থানে সীমিত সমতল (মুখ) দ্বারা গঠিত হয়, তাকে "পলিহেড্রা" বলা হয়। পলিহেড্রার প্রকারভেদে এক ডজনেরও বেশি প্রতিনিধি রয়েছে, যা সংখ্যা এবং মুখের আকারে ভিন্ন।
তবে, সমস্ত পলিহেড্রার সাধারণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
- তাদের সকলেরই ৩টি অপরিহার্য উপাদান রয়েছে: মুখ(বহুভুজের পৃষ্ঠ), শীর্ষবিন্দু (মুখের সংযোগস্থলে গঠিত কোণ), প্রান্ত (একটি চিত্রের পার্শ্ব বা দুটি মুখের সংযোগস্থলে গঠিত একটি অংশ)।
- প্রতিটি বহুভুজ প্রান্ত দুটি এবং শুধুমাত্র দুটি মুখকে সংযুক্ত করে যা একে অপরের সংলগ্ন।
- উত্তলতার অর্থ হল শরীরটি সম্পূর্ণরূপে সমতলের একপাশে অবস্থিত যেখানে একটি মুখ থাকে। নিয়মটি পলিহেড্রনের সমস্ত মুখের জন্য প্রযোজ্য। স্টেরিওমেট্রিতে এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্রগুলিকে উত্তল পলিহেড্রা বলা হয়। ব্যতিক্রম হল তারা-আকৃতির পলিহেড্রা, যা নিয়মিত পলিহেড্রাল জ্যামিতিক কঠিন পদার্থের ডেরিভেটিভ।
পলিহেড্রাকে শর্তসাপেক্ষে ভাগ করা যায়:
- উত্তল পলিহেড্রার প্রকারগুলি, যা নিম্নলিখিত শ্রেণীগুলি নিয়ে গঠিত: সাধারণ বা শাস্ত্রীয় (প্রিজম, পিরামিড, সমান্তরালপিপযুক্ত), নিয়মিত (প্ল্যাটোনিক ঘনবস্তুও বলা হয়), আধা-নিয়মিত (দ্বিতীয় নাম - আর্কিমিডিয়ান কঠিন)।
- অ-উত্তল পলিহেড্রা (তারা আকৃতির)।
প্রিজম এবং এর বৈশিষ্ট্য
জ্যামিতির একটি শাখা হিসাবে স্টেরিওমেট্রি ত্রিমাত্রিক চিত্র, পলিহেড্রার প্রকারের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে (একটি প্রিজম তাদের মধ্যে একটি)। একটি প্রিজম হল একটি জ্যামিতিক বডি যার অপরিহার্যভাবে দুটি সম্পূর্ণ অভিন্ন মুখ (এগুলিকে বেসও বলা হয়) সমান্তরাল সমতলে থাকা এবং সমান্তরালগ্রাম আকারে পাশের মুখগুলির n-তম সংখ্যা। পরিবর্তে, প্রিজমের বিভিন্ন প্রকার রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে এই ধরনের পলিহেড্রা যেমন:
- Parallelepiped - গঠিত হয় যদি ভিত্তি একটি সমান্তরাল হয় -2 জোড়া সমান বিপরীত কোণ এবং 2 জোড়া সমতুল্য বিপরীত বাহু সহ বহুভুজ৷
- একটি সরল প্রিজমের কিনারা বেসের সাথে লম্ব থাকে।
- কাত প্রিজম মুখমন্ডল এবং ভিত্তির মধ্যে অ-সমকোণ (90 ব্যতীত) উপস্থিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
- একটি নিয়মিত প্রিজম সমান পার্শ্বমুখ সহ একটি নিয়মিত বহুভুজের আকারে বেস দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
প্রিজমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য:
- সঙ্গত ভিত্তি।
- প্রিজমের সব প্রান্ত একে অপরের সমান এবং সমান্তরাল।
- সমস্ত পাশের মুখগুলি সমান্তরাল চতুর্ভুজ আকৃতির৷
পিরামিড
পিরামিড হল একটি জ্যামিতিক বডি, যার মধ্যে একটি বেস এবং এন-ম সংখ্যক ত্রিভুজাকার মুখ থাকে, যা এক বিন্দুতে সংযুক্ত থাকে - শীর্ষে। এটি লক্ষ করা উচিত যে পিরামিডের পার্শ্বমুখগুলি অগত্যা ত্রিভুজ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, তবে ভিত্তিটি হয় একটি ত্রিভুজাকার বহুভুজ, বা একটি চতুর্ভুজ, বা একটি পঞ্চভুজ, এবং তাই বিজ্ঞাপন অসীম হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, পিরামিডের নামটি ভিত্তির বহুভুজের সাথে মিলিত হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ত্রিভুজ একটি পিরামিডের গোড়ায় থাকে তবে এটি একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড, একটি চতুর্ভুজ একটি চতুর্ভুজ ইত্যাদি।
পিরামিডগুলি শঙ্কুর মতো পলিহেড্রা। এই গ্রুপের পলিহেড্রার প্রকারগুলি, উপরে তালিকাভুক্তগুলি ছাড়াও, নিম্নলিখিত প্রতিনিধিগুলিকেও অন্তর্ভুক্ত করে:
- একটি নিয়মিত পিরামিডের গোড়ায় একটি নিয়মিত বহুভুজ থাকে এবং এর উচ্চতা কেন্দ্রে অনুমান করা হয়বেসে খোদাই করা একটি বৃত্ত বা এটির চারপাশে সীমাবদ্ধ।
- একটি আয়তক্ষেত্রাকার পিরামিড গঠিত হয় যখন একটি পার্শ্ব প্রান্ত একটি সমকোণে ভিত্তিটির সাথে ছেদ করে। এই ক্ষেত্রে, এই প্রান্তটিকে পিরামিডের উচ্চতা বলাও ন্যায্য৷
পিরামিড বৈশিষ্ট্য:
- যদি পিরামিডের সমস্ত পার্শ্বের প্রান্তগুলি সঙ্গতিপূর্ণ হয় (একই উচ্চতার), তবে সেগুলি সমস্ত একই কোণে বেসের সাথে ছেদ করে এবং ভিত্তিটির চারপাশে আপনি একটি বৃত্ত আঁকতে পারেন যার কেন্দ্রের অভিক্ষেপের সাথে মিলে যায় পিরামিডের শীর্ষ।
- যদি পিরামিডের ভিত্তিটি একটি নিয়মিত বহুভুজ হয়, তবে সমস্ত পার্শ্বের প্রান্তগুলি সঙ্গতিপূর্ণ এবং মুখগুলি হল সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ৷
নিয়মিত পলিহেড্রন: পলিহেড্রার প্রকার ও বৈশিষ্ট্য
স্টেরিওমেট্রিতে, একটি বিশেষ স্থান জ্যামিতিক বডি দ্বারা দখল করা হয় একেবারে সমান মুখের সাথে, যার শীর্ষবিন্দুতে একই সংখ্যক প্রান্ত সংযুক্ত থাকে। এই কঠিন পদার্থগুলিকে প্লেটোনিক সলিড বা নিয়মিত পলিহেড্রা বলা হয়। এই ধরনের বৈশিষ্ট্য সহ পলিহেড্রার প্রকারের মাত্র পাঁচটি আকার রয়েছে:
- টেট্রাহেড্রন।
- হেক্সহেড্রন।
- অক্টেহেড্রন।
- ডোডেকাহেড্রন।
- আইকোসাহেড্রন।
নিয়মিত পলিহেড্রা তাদের নাম প্রাচীন গ্রীক দার্শনিক প্লেটোর কাছে ঋণী, যিনি এই জ্যামিতিক দেহগুলিকে তাঁর লেখায় বর্ণনা করেছেন এবং প্রাকৃতিক উপাদানগুলির সাথে সংযুক্ত করেছেন: পৃথিবী, জল, আগুন, বায়ু। পঞ্চম চিত্রটিকে মহাবিশ্বের কাঠামোর সাথে সাদৃশ্য দেওয়া হয়েছিল। তার মতে, আকৃতিতে প্রাকৃতিক উপাদানের পরমাণুগুলি নিয়মিত পলিহেড্রার ধরণের অনুরূপ। এর সবচেয়ে উত্তেজনাপূর্ণ সম্পত্তির কারণে -প্রতিসাম্য, এই জ্যামিতিক সংস্থাগুলি শুধুমাত্র প্রাচীন গণিতবিদ এবং দার্শনিকদের জন্যই নয়, সর্বকালের স্থপতি, শিল্পী এবং ভাস্করদের কাছেও খুব আগ্রহের বিষয় ছিল। পরম প্রতিসাম্য সহ শুধুমাত্র 5 ধরনের পলিহেড্রার উপস্থিতি একটি মৌলিক আবিষ্কার হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল, এমনকি তাদের ঐশ্বরিক নীতির সাথে একটি সংযোগ প্রদান করা হয়েছিল।
হেক্সহেড্রন এবং এর বৈশিষ্ট্য
একটি ষড়ভুজ আকারে, প্লেটোর উত্তরসূরিরা পৃথিবীর পরমাণুর গঠনের সাথে একটি মিল ধরে নিয়েছিল। অবশ্যই, বর্তমানে, এই অনুমানটি সম্পূর্ণরূপে খণ্ডন করা হয়েছে, যা যাইহোক, আধুনিক সময়ে বিখ্যাত ব্যক্তিদের মনকে তাদের নান্দনিকতার সাথে আকর্ষণ করা থেকে পরিসংখ্যানগুলিকে বাধা দেয় না।
জ্যামিতিতে, একটি হেক্সাহেড্রন, যা একটি ঘনক নামেও পরিচিত, একটি সমান্তরাল পাইপের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে বিবেচিত হয়, যা ঘুরেফিরে এক ধরনের প্রিজম। তদনুসারে, ঘনক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রিজমের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত, একমাত্র পার্থক্য হল যে ঘনক্ষেত্রের সমস্ত মুখ এবং কোণ একে অপরের সমান। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি এর থেকে অনুসরণ করে:
- ঘনকের সমস্ত প্রান্তগুলি সঙ্গতিপূর্ণ এবং একে অপরের সাপেক্ষে সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত৷
- সমস্ত মুখগুলি সমসাময়িক বর্গক্ষেত্র (একটি ঘনক্ষেত্রে মোট ৬টি আছে), যার যেকোনো একটিকে ভিত্তি হিসেবে নেওয়া যেতে পারে।
- সমস্ত ইন্টারফেস কোণ 90।
- প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে সমান সংখ্যক প্রান্ত নির্গত হয়, যথা 3.
- ঘনকটির প্রতিসাম্যের 9টি অক্ষ রয়েছে, যেগুলি সমস্ত হেক্সহেড্রনের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে প্রতিসাম্যের কেন্দ্র বলা হয়।
টেট্রাহেড্রন
একটি টেট্রাহেড্রন হল ত্রিভুজ আকারে সমান মুখবিশিষ্ট একটি টেট্রাহেড্রন, যার প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতিনটি মুখের সংযোগ বিন্দু।
নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:
- একটি টেট্রাহেড্রনের সমস্ত মুখগুলি সমবাহু ত্রিভুজ, যার অর্থ হল একটি টেট্রাহেড্রনের সমস্ত মুখ সমসাময়িক৷
- যেহেতু ভিত্তিটি একটি নিয়মিত জ্যামিতিক চিত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, অর্থাৎ এটির সমান বাহু রয়েছে, তাই টেট্রাহেড্রনের মুখগুলি একই কোণে একত্রিত হয়, অর্থাৎ, সমস্ত কোণ সমান৷
- প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে সমতল কোণের সমষ্টি 180, যেহেতু সমস্ত কোণ সমান, তাহলে নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের যেকোন কোণ 60।
- প্রতিটি শীর্ষবিন্দু বিপরীত (অর্থোসেন্টার) মুখের উচ্চতার ছেদ বিন্দুতে অভিক্ষিপ্ত।
অষ্টহেড্রন এবং এর বৈশিষ্ট্য
নিয়মিত পলিহেড্রার প্রকারগুলি বর্ণনা করতে গিয়ে, কেউ অষ্টহেড্রনের মতো একটি বস্তুকে লক্ষ্য করতে ব্যর্থ হতে পারে না, যেটিকে চাক্ষুষরূপে দুটি চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিড হিসাবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে যা বেস দ্বারা আঠালো।
অষ্টহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:
- একটি জ্যামিতিক শরীরের নামই এর মুখের সংখ্যা নির্দেশ করে। অষ্টহেড্রন 8টি সমবাহু সমবাহু ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে সমান সংখ্যক মুখ একত্রিত হয়, যথা 4.
- যেহেতু একটি অষ্টহেড্রনের সমস্ত মুখ সমান, তাই এর ইন্টারফেস কোণগুলিও সমান, যার প্রত্যেকটি 60 এর সমান এবং যেকোনো শীর্ষবিন্দুর সমতল কোণের সমষ্টি এইভাবে 240৷
ডোডেকাহেড্রন
যদি আমরা কল্পনা করি যে একটি জ্যামিতিক শরীরের সমস্ত মুখ একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ, তাহলে আমরা একটি ডোডেকাহেড্রন পাই -12টি বহুভুজের একটি চিত্র৷
ডোডেকাহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:
- প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে তিনটি মুখ ছেদ করে৷
- সমস্ত মুখ সমান এবং একই প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে।
- ডোডেকাহেড্রনে 15টি অক্ষ এবং প্রতিসাম্যের সমতল রয়েছে এবং তাদের যেকোনো একটি মুখের শীর্ষবিন্দু এবং বিপরীত প্রান্তের মাঝখান দিয়ে যায়।
আইকোসাহেড্রন
ডোডেকাহেড্রনের চেয়ে কম আকর্ষণীয় নয়, আইকোসাহেড্রনের চিত্রটি 20টি সমান মুখের সাথে একটি ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক বডি। নিয়মিত বিশ-হেড্রনের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, নিম্নলিখিতগুলি উল্লেখ করা যেতে পারে:
- আইকোসাহেড্রনের সমস্ত মুখই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ৷
- পলিহেড্রনের প্রতিটি শীর্ষে পাঁচটি মুখ একত্রিত হয় এবং শীর্ষবিন্দুর সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 300।
- আইকোসাহেড্রন, ডোডেকাহেড্রনের মতো, 15টি অক্ষ এবং প্রতিসাম্যের সমতলগুলি বিপরীত মুখের মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়৷
আধা-নিয়মিত বহুভুজ
প্ল্যাটোনিক কঠিন পদার্থের পাশাপাশি, উত্তল পলিহেড্রার গোষ্ঠীতে আর্কিমিডিয়ান কঠিন পদার্থও রয়েছে, যা নিয়মিত পলিহেড্রাকে কাটা হয়। এই গ্রুপের পলিহেড্রার প্রকারের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
- জ্যামিতিক দেহগুলির বিভিন্ন ধরণের জোড়ায় সমান মুখ থাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি কাটা টেট্রাহেড্রনের 8টি মুখ থাকে, একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের মতো, তবে একটি আর্কিমিডিয়ান কঠিনের ক্ষেত্রে, 4টি মুখ হবে ত্রিভুজাকার এবং 4টি ষড়ভুজাকার।
- এক শীর্ষবিন্দুর সমস্ত কোণ সঙ্গতিপূর্ণ।
স্টার পলিহেড্রা
নন-ভলিউম্যাট্রিক ধরনের জ্যামিতিক বডির প্রতিনিধিরা স্টেলেটেড পলিহেড্রা যাদের মুখ একে অপরকে ছেদ করে। এগুলি দুটি নিয়মিত 3D সলিড একত্রিত করে বা তাদের মুখ প্রসারিত করে গঠিত হতে পারে৷
অতএব, এই ধরনের নক্ষত্রযুক্ত পলিহেড্রন নামে পরিচিত: অষ্টহেড্রন, ডোডেকাহেড্রন, আইকোসাহেড্রন, কিউবোকটাহেড্রন, আইকোসোডোডেকাহেড্রন।
