সেটগুলির উদাহরণে সম্পর্কের একটি বিস্তৃত পরিসরের সাথে প্রচুর সংখ্যক ধারণা রয়েছে, তাদের সংজ্ঞা দিয়ে শুরু হয় এবং প্যারাডক্সের বিশ্লেষণাত্মক বিশ্লেষণের সাথে শেষ হয়। সেটের নিবন্ধে আলোচিত ধারণার বৈচিত্র্য অসীম। যদিও, দ্বৈত প্রকারের কথা বলার সময়, এর অর্থ হল বিভিন্ন মানের মধ্যে বাইনারি সম্পর্ক। এবং বস্তু বা বিবৃতির মধ্যেও।
একটি নিয়ম হিসাবে, বাইনারি সম্পর্কগুলিকে R চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, অর্থাৎ, যদি R ক্ষেত্র থেকে কোনো মানের x এর জন্য xRx হয়, তবে এই জাতীয় সম্পত্তিকে প্রতিবর্তক বলা হয়, যেখানে x এবং x চিন্তার গৃহীত বস্তু, এবং R ব্যক্তিদের মধ্যে সম্পর্কের বা অন্য রূপের একটি চিহ্ন হিসাবে কাজ করে। একই সময়ে, যদি আপনি xRy® বা yRx প্রকাশ করেন, তাহলে এটি প্রতিসাম্যের একটি অবস্থা নির্দেশ করে, যেখানে ® হল মিলনের অনুরূপ একটি অন্তর্নিহিত চিহ্ন "যদি … তারপর …"। এবং অবশেষে, এর ডিকোডিং শিলালিপি (xRy Ùy Rz) ®xRz ট্রানজিটিভ সম্পর্কের কথা বলে, এবং Ù চিহ্নটি একটি সংযোজন।
একটি বাইনারি সম্পর্ক যা প্রতিফলিত, প্রতিসম এবং ট্রানজিটিভ উভয়ই হয় তাকে সমতুল্য সম্পর্ক বলে। সম্পর্ক f একটি ফাংশন, এবং সমতা y=z Î f এবং Î f থেকে অনুসরণ করে। একটি সাধারণ বাইনারি ফাংশন সহজেই প্রয়োগ করা যেতে পারেএকটি নির্দিষ্ট ক্রমে দুটি সাধারণ যুক্তি, এবং শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে এটি একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে নেওয়া এই দুটি অভিব্যক্তিকে নির্দেশিত একটি অর্থ প্রদান করে৷
এটা বলা উচিত যে f মানচিত্র x থেকে y,
if f হল একটি ফাংশন যার রেঞ্জ x এবং রেঞ্জ y। যাইহোক, যখন f x থেকে y, এবং y Í z এক্সট্রাপোলেট করে, এর ফলে f z এ x দেখায়। একটি সাধারণ উদাহরণ: যদি f(x)=2x যেকোন পূর্ণসংখ্যা x এর জন্য সত্য হয়, তাহলে f কে বলা হয় সমস্ত পরিচিত পূর্ণসংখ্যার স্বাক্ষরিত সেটকে একই পূর্ণসংখ্যার সেটে ম্যাপ করে, কিন্তু এবার জোড় সংখ্যা। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, বাইনারি সম্পর্ক যা প্রতিফলিত, প্রতিসম এবং ট্রানজিটিভ উভয়ই সমতুল্য সম্পর্ক।
উপরের উপর ভিত্তি করে, বাইনারি সম্পর্কের সমতুল্য সম্পর্ক বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়:
- রিফ্লেক্সিভিটি - অনুপাত (M ~ N);
- প্রতিসাম্য - যদি সমতা M~N হয়, তাহলে N~M হবে;
- ট্রানজিটিভিটি - যদি দুটি সমতা M~N এবং N~P হয়, তাহলে ফলস্বরূপ M~P.
আসুন আরও বিশদে বাইনারি সম্পর্কের ঘোষিত বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক। রিফ্লেক্সিভিটি নির্দিষ্ট সংযোগের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি, যেখানে অধ্যয়নের অধীনে সেটের প্রতিটি উপাদান নিজেই একটি প্রদত্ত সমতায় রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ, a=c এবং a³ c সংখ্যার মধ্যে রিফ্লেক্সিভ সংযোগ রয়েছে, যেহেতু সবসময় a=a, c=c, a³ a, c³ c। একই সময়ে, অসমতার সম্পর্ক a>c অসমতার অস্তিত্বের অসম্ভবতার কারণে এন্টিরিফ্লেক্সিভ। এই সম্পত্তির স্বতঃসিদ্ধ চিহ্ন দ্বারা এনকোড করা হয়েছে: aRc®aRa Ù cRc, এখানে ® চিহ্নটির অর্থ "অন্তর্ভুক্ত" (বা "অন্তর্ভুক্ত"), এবং চিহ্ন Ù - হল মিলন "এবং" (বা সংযোগ)। এই বিবৃতি থেকে এটি অনুসরণ করা হয় যে যদি aRc রায়টি সত্য হয় তবে aRa এবং cRc অভিব্যক্তিগুলিও সত্য।
প্রতিসাম্য একটি সম্পর্কের উপস্থিতি অন্তর্ভুক্ত করে, এমনকি যদি মানসিক বস্তুর অদলবদল হয়, অর্থাৎ, একটি প্রতিসম সম্পর্কের সাথে, বস্তুর পুনর্বিন্যাস "বাইনারী সম্পর্ক" টাইপের রূপান্তরের দিকে পরিচালিত করে না। উদাহরণস্বরূপ, সমতা a=c সম্পর্কটি প্রতিসম কারণ c=a সম্পর্কের সমতা; a¹c প্রস্তাবনাটিও একই, কারণ এটি¹a-এর সাথে সংযোগের সাথে মিলে যায়।
একটি ট্রানজিটিভ সেট এমন একটি সম্পত্তি যা নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলিকে সন্তুষ্ট করে: y н x, z н y ® z н x, যেখানে ® একটি চিহ্ন যা শব্দগুলি প্রতিস্থাপন করে: "যদি …, তারপর …"। সূত্রটি মৌখিকভাবে নিম্নরূপ পড়া হয়: "যদি y x এর উপর নির্ভর করে, z y এর অন্তর্গত, তাহলে zও x এর উপর নির্ভর করে"।
