জ্যামিতি সুন্দর কারণ, বীজগণিতের বিপরীতে, যেখানে আপনি কী ভাবছেন এবং কেন এটি সর্বদা পরিষ্কার নয়, এটি বস্তুটিকে দৃশ্যমানতা দেয়। বিভিন্ন দেহের এই বিস্ময়কর জগৎ নিয়মিত পলিহেড্রায় সজ্জিত।
নিয়মিত পলিহেড্রা সম্পর্কে সাধারণ তথ্য
অনেকের মতে, নিয়মিত পলিহেড্রা, বা যেগুলিকে প্লেটোনিক কঠিন পদার্থও বলা হয়, এর অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। বেশ কিছু বৈজ্ঞানিক অনুমান এই বস্তুর সাথে যুক্ত। আপনি যখন এই জ্যামিতিক সংস্থাগুলি অধ্যয়ন শুরু করেন, তখন আপনি বুঝতে পারেন যে আপনি নিয়মিত পলিহেড্রার মতো ধারণা সম্পর্কে কার্যত কিছুই জানেন না। স্কুলে এই বস্তুর উপস্থাপনা সবসময় আকর্ষণীয় হয় না, তাই অনেকে তাদের কী বলা হয় তা মনেও রাখে না। অধিকাংশ মানুষ শুধু ঘনক মনে রাখে। জ্যামিতিতে কোনো দেহই নিয়মিত পলিহেড্রার মতো নিখুঁত নয়। এই জ্যামিতিক দেহগুলির সমস্ত নাম প্রাচীন গ্রীস থেকে এসেছে। তারা মুখের সংখ্যা বোঝায়: টেট্রাহেড্রন - চার-পার্শ্বযুক্ত, হেক্সহেড্রন - ছয়-পার্শ্বযুক্ত, অষ্টহেড্রন - অষ্টহেড্রাল, ডোডেকাহেড্রন - বারো-পার্শ্বযুক্ত, আইকোসাহেড্রন - বিশ-পার্শ্বযুক্ত। এই সব জ্যামিতিক শরীরপ্লেটোর মহাবিশ্বের ধারণার একটি গুরুত্বপূর্ণ স্থান দখল করেছে। তাদের মধ্যে চারটি উপাদান বা সত্তাকে ব্যক্ত করেছে: টেট্রাহেড্রন - আগুন, আইকোসাহেড্রন - জল, ঘনক - পৃথিবী, অষ্টহেড্রন - বায়ু। ডোডেকাহেড্রন বিদ্যমান সবকিছুকে মূর্ত করেছে। এটিকে প্রধান হিসেবে বিবেচনা করা হতো, কারণ এটি ছিল মহাবিশ্বের প্রতীক।
পলিহেড্রনের ধারণার সাধারণীকরণ
একটি পলিহেড্রন হল সীমিত সংখ্যক বহুভুজের সমষ্টি যেমন:
- যেকোনো বহুভুজের প্রতিটি বাহু একই সময়ে একই পাশে শুধুমাত্র একটি অন্য বহুভুজের পাশে;
- প্রতিটি বহুভুজ থেকে আপনি এটির সংলগ্ন বহুভুজগুলি দিয়ে অন্যদের কাছে যেতে পারেন৷
বহুভুজগুলি যেগুলি একটি পলিহেড্রন তৈরি করে তা হল এর মুখ এবং তাদের পার্শ্বগুলি প্রান্ত। পলিহেড্রার শীর্ষবিন্দুগুলি বহুভুজের শীর্ষবিন্দু। যদি বহুভুজের ধারণাটিকে সমতল বদ্ধ ভাঙা রেখা হিসাবে বোঝা যায়, তাহলে একটি পলিহেড্রনের একটি সংজ্ঞায় পৌঁছায়। ক্ষেত্রে যখন এই ধারণাটির অর্থ সমতলের একটি অংশ যা ভাঙা রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ, তখন বহুভুজ টুকরা সমন্বিত একটি পৃষ্ঠ বোঝা উচিত। একটি উত্তল পলিহেড্রন হল একটি দেহ যা একটি সমতলের একপাশে তার মুখের পাশে পড়ে থাকে।
পলিহেড্রনের আরেকটি সংজ্ঞা এবং এর উপাদান
একটি পলিহেড্রন হল বহুভুজ সমন্বিত একটি পৃষ্ঠ যা একটি জ্যামিতিক দেহকে সীমাবদ্ধ করে। তারা হল:
- অ-উত্তল;
- উত্তল (সঠিক এবং ভুল)।
একটি নিয়মিত পলিহেড্রন হল সর্বাধিক প্রতিসাম্য সহ উত্তল পলিহেড্রন। নিয়মিত পলিহেড্রার উপাদান:
- টেট্রাহেড্রন: ৬টি প্রান্ত, ৪টি মুখ, ৫টি শীর্ষবিন্দু;
- হেক্সহেড্রন (কিউব): 12, 6, 8;
- ডোডেকাহেড্রন: 30, 12, 20;
- অক্টাহেড্রন: ১২, ৮, ৬;
- icosahedron: 30, 20, 12.
অয়লারের উপপাদ্য
এটি প্রান্ত, শীর্ষবিন্দু এবং মুখের সংখ্যার মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে যা টপোলজিক্যালভাবে একটি গোলকের সমতুল্য। বিভিন্ন নিয়মিত পলিহেড্রার শীর্ষবিন্দু এবং মুখের সংখ্যা (B + D) যোগ করে এবং প্রান্তের সংখ্যার সাথে তাদের তুলনা করে, একটি প্যাটার্ন স্থাপন করা যেতে পারে: মুখ এবং শীর্ষবিন্দুর সংখ্যার যোগফল প্রান্তের সংখ্যা (P) বৃদ্ধির সমান। 2 দ্বারা। আপনি একটি সহজ সূত্র বের করতে পারেন:
B + D=R + 2
এই সূত্রটি সমস্ত উত্তল পলিহেড্রার জন্য সত্য৷
মৌলিক সংজ্ঞা
নিয়মিত পলিহেড্রনের ধারণাটি এক বাক্যে বর্ণনা করা যায় না। এটি আরও অর্থবহ এবং বিশাল। একটি দেহকে এইভাবে স্বীকৃত করার জন্য, এটিকে অবশ্যই বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা পূরণ করতে হবে। সুতরাং, একটি জ্যামিতিক বডি একটি নিয়মিত পলিহেড্রন হবে যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়:
- এটি উত্তল;
- প্রত্যেকটি শীর্ষে একই সংখ্যক প্রান্ত একত্রিত হয়;
- এর সমস্ত মুখ নিয়মিত বহুভুজ, একে অপরের সমান;
- এর সমস্ত ডাইহেড্রাল কোণ সমান৷
রেগুলার পলিহেড্রার বৈশিষ্ট্য
নিয়মিত পলিহেড্রার ৫টি বিভিন্ন প্রকার রয়েছে:
- কিউব (হেক্সাহেড্রন) - এটির শীর্ষে একটি সমতল কোণ রয়েছে 90°।এটি একটি 3-পার্শ্বযুক্ত কোণ আছে. শীর্ষে সমতল কোণের সমষ্টি হল 270°৷
- টেট্রাহেড্রন - শীর্ষে সমতল কোণ - 60°। এটি একটি 3-পার্শ্বযুক্ত কোণ আছে. শীর্ষে সমতল কোণের সমষ্টি হল 180°৷
- অক্টেহেড্রন - সমতল শীর্ষ কোণ - 60°। এটির একটি 4-পার্শ্বযুক্ত কোণ রয়েছে। শীর্ষে সমতল কোণের সমষ্টি হল 240°৷
- ডোডেকাহেড্রন - শীর্ষবিন্দুতে সমতল কোণ 108°। এটি একটি 3-পার্শ্বযুক্ত কোণ আছে. শীর্ষে সমতল কোণের সমষ্টি হল ৩২৪°৷
- আইকোসাহেড্রন - এটির শীর্ষে একটি সমতল কোণ রয়েছে - 60°৷ এটির একটি 5-পার্শ্বযুক্ত কোণ রয়েছে। শীর্ষে সমতল কোণের সমষ্টি হল 300°৷
নিয়মিত পলিহেড্রার ক্ষেত্রফল
এই জ্যামিতিক সংস্থাগুলির (S) পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে একটি নিয়মিত বহুভুজের ক্ষেত্রফল হিসাবে গণনা করা হয় যা এর মুখের সংখ্যা (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের আয়তন
এই মানটি একটি নিয়মিত পিরামিডের আয়তনকে গুণ করে গণনা করা হয়, যার গোড়ায় একটি নিয়মিত বহুভুজ রয়েছে, মুখের সংখ্যা দ্বারা এবং এর উচ্চতা হল খোদাই করা গোলকের ব্যাসার্ধ (r):
V=1: 3rS
নিয়মিত পলিহেড্রার ভলিউম
অন্য যেকোন জ্যামিতিক বডির মতো, নিয়মিত পলিহেড্রার বিভিন্ন আয়তন থাকে। নীচের সূত্রগুলি রয়েছে যার দ্বারা আপনি তাদের গণনা করতে পারেন:
- টেট্রাহেড্রন: α x 3√2: 12;
- অক্টাহেড্রন: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- হেক্সাহেড্রন (কিউব): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- ডোডেকাহেড্রন: α x 3 (15 + 7√5): 4.
নিয়মিত পলিহেড্রার উপাদান
হেক্সহেড্রন এবং অষ্টহেড্রন হল দ্বৈত জ্যামিতিক বডি। অন্য কথায়, এগুলি একে অপরের কাছ থেকে পাওয়া যেতে পারে যদি একজনের মুখের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রটিকে অন্যটির শীর্ষবিন্দু হিসাবে নেওয়া হয় এবং এর বিপরীতে। আইকোসাহেড্রন এবং ডোডেকাহেড্রনও দ্বৈত। শুধুমাত্র টেট্রাহেড্রন নিজেই দ্বৈত। ইউক্লিড পদ্ধতি অনুসারে, আপনি একটি ঘনক্ষেত্রের মুখে "ছাদ" তৈরি করে একটি হেক্সাহেড্রন থেকে একটি ডোডেকাহেড্রন পেতে পারেন। একটি টেট্রাহেড্রনের শীর্ষবিন্দুগুলি একটি ঘনকের যেকোন 4টি শীর্ষবিন্দু হবে যা একটি প্রান্ত বরাবর জোড়ায় সংলগ্ন নয়। হেক্সহেড্রন (কিউব) থেকে আপনি অন্যান্য নিয়মিত পলিহেড্রা পেতে পারেন। অগণিত নিয়মিত বহুভুজ থাকা সত্ত্বেও, শুধুমাত্র 5টি নিয়মিত পলিহেড্রা রয়েছে৷
নিয়মিত বহুভুজের ব্যাসার্ধ
এই জ্যামিতিক বডিগুলির প্রতিটির সাথে যুক্ত 3টি সমকেন্দ্রিক গোলক রয়েছে:
- বর্ণিত, তার চূড়া অতিক্রম করে;
- লিখিত, তার প্রতিটি মুখকে তার কেন্দ্রে স্পর্শ করছে;
- মিডিয়ান, মাঝখানের সব প্রান্ত স্পর্শ করছে।
বর্ণিত গোলকের ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
একটি খোদাই করা গোলকের ব্যাসার্ধ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
যেখানে θ হল সংলগ্ন মুখের মধ্যে ডিহেড্রাল কোণ৷
মিডিয়ান গোলকের ব্যাসার্ধ নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
যেখানে h মান=4, 6, 6, 10 বা 10। পরিধিকৃত এবং খোদাই করা রেডিআই এর অনুপাত p এবং q এর সাপেক্ষে প্রতিসম। এটাসূত্র দ্বারা গণনা করা হয়েছে:
R/r=tg π/p x tg π/q
পলিহেড্রার প্রতিসাম্য
নিয়মিত পলিহেড্রার প্রতিসাম্য এই জ্যামিতিক সংস্থাগুলির প্রধান আগ্রহের কারণ হয়৷ এটি মহাকাশে শরীরের এমন একটি নড়াচড়া হিসাবে বোঝা যায়, যা একই সংখ্যক শীর্ষবিন্দু, মুখ এবং প্রান্ত ছেড়ে যায়। অন্য কথায়, একটি প্রতিসাম্য রূপান্তরের প্রভাবে, একটি প্রান্ত, শীর্ষবিন্দু, মুখ হয় তার আসল অবস্থান ধরে রাখে বা অন্য প্রান্ত, শীর্ষবিন্দু বা মুখের আসল অবস্থানে চলে যায়।
নিয়মিত পলিহেড্রার প্রতিসাম্যের উপাদানগুলি এই ধরনের সব ধরনের জ্যামিতিক বডির বৈশিষ্ট্য। এখানে আমরা একটি অভিন্ন রূপান্তরের কথা বলছি যা যেকোনো বিন্দুকে তার আসল অবস্থানে রেখে দেয়। সুতরাং, যখন আপনি একটি বহুভুজ প্রিজম ঘোরান, আপনি বেশ কয়েকটি প্রতিসাম্য পেতে পারেন। তাদের যে কোনো একটি প্রতিফলন একটি পণ্য হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে. একটি প্রতিসাম্য যা একটি জোড় সংখ্যক প্রতিফলনের গুণফলকে সরলরেখা বলে। যদি এটি একটি বিজোড় সংখ্যক প্রতিফলনের গুণফল হয়, তাহলে একে বলা হয় বিপরীত। সুতরাং, একটি রেখা সম্পর্কে সমস্ত ঘূর্ণন সরাসরি প্রতিসাম্য। পলিহেড্রনের যেকোনো প্রতিফলন একটি বিপরীত প্রতিসাম্য।
রেগুলার পলিহেড্রার প্রতিসাম্য উপাদানগুলি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আমরা একটি টেট্রাহেড্রনের উদাহরণ নিতে পারি। যেকোন সরলরেখা যা একটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে এবং এই জ্যামিতিক চিত্রের কেন্দ্রটিও এর বিপরীত মুখের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাবে। প্রতিটি 120° এবং 240° রেখার চারপাশে ঘুরে বহুবচন।টেট্রাহেড্রনের প্রতিসাম্য। যেহেতু এটির 4টি শীর্ষবিন্দু এবং 4টি মুখ রয়েছে, তাই শুধুমাত্র আটটি প্রত্যক্ষ প্রতিসাম্য রয়েছে। প্রান্ত এবং এই শরীরের কেন্দ্রের মাঝখান দিয়ে যাওয়া রেখাগুলির যে কোনও একটি বিপরীত প্রান্তের মাঝখান দিয়ে যায়। যেকোন 180° ঘূর্ণন, যাকে বলা হয় অর্ধেক টার্ন, একটি সরলরেখার চারপাশে একটি প্রতিসাম্য। যেহেতু টেট্রাহেড্রনের তিন জোড়া প্রান্ত রয়েছে, তাই আরও তিনটি প্রত্যক্ষ প্রতিসাম্য রয়েছে। পূর্বোক্তের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে অভিন্ন রূপান্তর সহ প্রত্যক্ষ প্রতিসাম্যের মোট সংখ্যা বারোটিতে পৌঁছাবে। টেট্রাহেড্রনের অন্য কোনো প্রত্যক্ষ প্রতিসাম্য নেই, তবে এর 12টি বিপরীত প্রতিসাম্য রয়েছে। অতএব, টেট্রাহেড্রন মোট 24টি প্রতিসাম্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। স্বচ্ছতার জন্য, আপনি কার্ডবোর্ড থেকে একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের একটি মডেল তৈরি করতে পারেন এবং নিশ্চিত করতে পারেন যে এই জ্যামিতিক শরীরে সত্যিই মাত্র 24টি প্রতিসাম্য রয়েছে৷
ডোডেকাহেড্রন এবং আইকোসাহেড্রন দেহের গোলকের সবচেয়ে কাছাকাছি। আইকোসাহেড্রনের মুখের সংখ্যা সবচেয়ে বেশি, সবচেয়ে বড় ডাইহেড্রাল কোণ এবং এটি একটি খোদাই করা গোলকের বিরুদ্ধে সবচেয়ে শক্তভাবে চাপা যেতে পারে। ডোডেকাহেড্রনের সবচেয়ে ছোট কৌণিক ত্রুটি রয়েছে, শীর্ষে সবচেয়ে বড় কঠিন কোণ। তিনি তার বর্ণিত গোলকটি সর্বাধিক পূরণ করতে পারেন৷
পলিহেড্রার ঝাড়ু
নিয়মিত মোড়কযুক্ত পলিহেড্রা, যা আমরা সবাই শৈশবে একসাথে আঠালো, এর অনেকগুলি ধারণা রয়েছে। যদি বহুভুজের একটি সংগ্রহ থাকে, যার প্রতিটি পাশ শুধুমাত্র পলিহেড্রনের একটি পাশ দিয়ে চিহ্নিত করা হয়, তাহলে বাহুগুলির সনাক্তকরণ দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে:
- প্রতিটি বহুভুজ থেকে, আপনি যে বহুভুজ আছে তার উপরে যেতে পারেনচিহ্নিত দিক;
- শনাক্ত করা দিকগুলির দৈর্ঘ্য অবশ্যই একই হতে হবে।
এটি বহুভুজের সেট যা এই শর্তগুলি পূরণ করে যাকে বলা হয় পলিহেড্রনের বিকাশ। এই শরীরের প্রতিটি তাদের বেশ কিছু আছে. সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘনক্ষেত্রের মধ্যে 11টি রয়েছে৷
