একটি ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি কী তা বোঝার জন্য, প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের উপস্থিতি সম্পর্কে জানা এবং তাদের শারীরিক অর্থ বোঝার প্রয়োজন নেই৷ প্রথমে আপনাকে নিম্নলিখিতটি বুঝতে হবে:
- ফাংশন এক্সট্রিমা সর্বোচ্চ বা, বিপরীতভাবে, একটি ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট আশেপাশে ফাংশনের মান হ্রাস করুন;
- এক্সট্রিম পয়েন্টে কোনো ফাংশন বিরতি থাকা উচিত নয়।
এবং এখন একই, শুধুমাত্র সরল ভাষায়। বলপয়েন্ট কলমের ডগাটা দেখুন। যদি কলমটি উল্লম্বভাবে স্থাপন করা হয়, লেখাটি শেষ হয়ে যায়, তবে বলের একেবারে মাঝখানে হবে চরম বিন্দু - সর্বোচ্চ বিন্দু। এই ক্ষেত্রে, আমরা সর্বাধিক সম্পর্কে কথা বলি। এখন, আপনি যদি লেখার শেষ দিয়ে কলমটি ঘুরিয়ে দেন, তাহলে বলের মাঝখানে ইতিমধ্যে একটি ন্যূনতম ফাংশন থাকবে। এখানে দেওয়া চিত্রটির সাহায্যে, আপনি একটি স্টেশনারি পেন্সিলের জন্য তালিকাভুক্ত ম্যানিপুলেশনগুলি কল্পনা করতে পারেন। সুতরাং, একটি ফাংশনের প্রান্ত সর্বদা গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু: এর সর্বোচ্চ বা মিনিমা। চার্টের সংলগ্ন অংশটি নির্বিচারে তীক্ষ্ণ বা মসৃণ হতে পারে, তবে এটি অবশ্যই উভয় দিকে বিদ্যমান থাকতে হবে, শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে বিন্দুটি একটি চরম। যদি চার্টটি শুধুমাত্র একপাশে থাকে, তবে এই বিন্দুটি একপাশে থাকলেও চরম হবে নাচরম শর্ত পূরণ করা হয়. এখন আসুন বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিকোণ থেকে ফাংশনের চরমতা অধ্যয়ন করা যাক। একটি বিন্দুকে চরম বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে:
- প্রথম ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান ছিল বা বিন্দুতে বিদ্যমান ছিল না;
- প্রথম ডেরিভেটিভ এই মুহুর্তে তার চিহ্ন পরিবর্তন করেছে।
হায়ার-অর্ডার ডেরিভেটিভের দৃষ্টিকোণ থেকে শর্তটি কিছুটা ভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে: একটি বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য একটি ফাংশনের জন্য, এটি যথেষ্ট যে একটি বিজোড়-ক্রম ডেরিভেটিভ রয়েছে যা শূন্যের সমান নয়, যখন সমস্ত লোয়ার-অর্ডার ডেরিভেটিভ অবশ্যই বিদ্যমান এবং শূন্যের সমান হতে হবে। এটি উচ্চতর গণিতের পাঠ্যপুস্তক থেকে উপপাদ্যগুলির সহজতম ব্যাখ্যা। তবে সবচেয়ে সাধারণ মানুষের জন্য, একটি উদাহরণ দিয়ে এই বিষয়টি ব্যাখ্যা করা মূল্যবান। ভিত্তি হল একটি সাধারণ প্যারাবোলা। অবিলম্বে একটি রিজার্ভেশন করুন, জিরো পয়েন্টে এটি একটি সর্বনিম্ন আছে। একটুখানি গণিত:
- প্রথম ডেরিভেটিভ (X2)|=2X, শূন্য বিন্দু 2X=0 এর জন্য;
- সেকেন্ড ডেরিভেটিভ (2X)|=2, শূন্য পয়েন্ট 2=2 এর জন্য।
এটি শর্তগুলির একটি সাধারণ চিত্র যা প্রথম-অর্ডার ডেরিভেটিভ এবং উচ্চ-অর্ডার ডেরিভেটিভের জন্য উভয় ফাংশনের প্রান্ত নির্ধারণ করে। আমরা এটি যোগ করতে পারি যে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি একটি বিজোড় আদেশের একই ডেরিভেটিভ, শূন্যের সাথে অসম, যা একটু বেশি আলোচনা করা হয়েছিল। যখন দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা আসে, তখন উভয় আর্গুমেন্টের শর্ত পূরণ করতে হবে। কখনসাধারণীকরণ ঘটে, তারপর আংশিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। অর্থাৎ, একটি বিন্দুতে এক্সট্রিমিয়ামের উপস্থিতির জন্য এটি প্রয়োজনীয় যে উভয় প্রথম-ক্রম ডেরিভেটিভই শূন্যের সমান, বা তাদের মধ্যে অন্তত একটির অস্তিত্ব নেই। একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতির পর্যাপ্ততার জন্য, একটি অভিব্যক্তি তদন্ত করা হয়, যা দ্বিতীয়-ক্রম ডেরিভেটিভের গুণফল এবং ফাংশনের মিশ্র দ্বিতীয়-ক্রম ডেরিভেটিভের বর্গক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্য। যদি এই অভিব্যক্তিটি শূন্যের চেয়ে বড় হয়, তাহলে একটি এক্সট্রিমম আছে, এবং যদি শূন্য থাকে, তাহলে প্রশ্নটি খোলা থাকে এবং অতিরিক্ত গবেষণার প্রয়োজন হয়৷
